广东省2025年成人高考数学(理)复习题库及答案

广东省2025年成人高考[数学(理)]复习题库及答案一、集合与简易逻辑（一）选择题1.设集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\(\{2,3\}\)B.\(\{1,2,3,4\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)答案：A解析：根据交集的定义，\(A\capB\)是由既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的所有元素组成的集合。在集合\(A=\{1,2,3\}\)和集合\(B=\{2,3,4\}\)中，共同的元素是\(2\)和\(3\)，所以\(A\capB=\{2,3\}\)。2.命题“若\(x>2\)，则\(x^2>4\)”的逆否命题是（）A.若\(x^2>4\)，则\(x>2\)B.若\(x\leqslant2\)，则\(x^2\leqslant4\)C.若\(x^2\leqslant4\)，则\(x\leqslant2\)D.若\(x^2\leqslant4\)，则\(x>2\)答案：C解析：原命题为“若\(p\)，则\(q\)”，其逆否命题为“若非\(q\)，则非\(p\)”。在命题“若\(x>2\)，则\(x^2>4\)”中，\(p\)：\(x>2\)，\(q\)：\(x^2>4\)，那么非\(q\)：\(x^2\leqslant4\)，非\(p\)：\(x\leqslant2\)，所以逆否命题是“若\(x^2\leqslant4\)，则\(x\leqslant2\)”。（二）填空题3.已知集合\(A=\{x|-1<x<3\}\)，\(B=\{x|x\geqslant1\}\)，则\(A\cupB=\)______。答案：\(\{x|x>-1\}\)解析：根据并集的定义，\(A\cupB\)是由所有属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的元素组成的集合。集合\(A=\{x|-1<x<3\}\)，集合\(B=\{x|x\geqslant1\}\)，综合起来就是\(x>-1\)，所以\(A\cupB=\{x|x>-1\}\)。4.命题“存在\(x\inR\)，使得\(x^2-2x+3\leqslant0\)”的否定是______。答案：“对任意\(x\inR\)，都有\(x^2-2x+3>0\)”解析：特称命题“存在\(x\inM\)，\(p(x)\)”的否定是全称命题“对任意\(x\inM\)，非\(p(x)\)”。原命题是特称命题，\(p(x)\)：\(x^2-2x+3\leqslant0\)，那么其否定就是“对任意\(x\inR\)，都有\(x^2-2x+3>0\)”。（三）解答题5.已知集合\(A=\{x|x^2-5x+6=0\}\)，\(B=\{x|mx-1=0\}\)，且\(A\cupB=A\)，求实数\(m\)的值。解：先求解集合\(A\)中的方程\(x^2-5x+6=0\)，因式分解得\((x-2)(x-3)=0\)，则\(x-2=0\)或\(x-3=0\)，解得\(x=2\)或\(x=3\)，所以\(A=\{2,3\}\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。情况一：当\(B=\varnothing\)时，方程\(mx-1=0\)无解，此时\(m=0\)。情况二：当\(B\neq\varnothing\)时，\(B=\{x|mx-1=0\}=\{\frac{1}{m}\}\)。若\(\frac{1}{m}=2\)，则\(m=\frac{1}{2}\)；若\(\frac{1}{m}=3\)，则\(m=\frac{1}{3}\)。综上，实数\(m\)的值为\(0\)或\(\frac{1}{2}\)或\(\frac{1}{3}\)。二、函数（一）选择题6.函数\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定义域是（）A.\([1,+\infty)\)B.\([1,2)\cup(2,+\infty)\)C.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)D.\((2,+\infty)\)答案：B解析：要使函数\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)有意义，则根号下的数须大于等于\(0\)，且分母不为\(0\)。对于\(\sqrt{x-1}\)，有\(x-1\geqslant0\)，即\(x\geqslant1\)；对于\(\frac{1}{x-2}\)，有\(x-2\neq0\)，即\(x\neq2\)。综合可得\(x\geqslant1\)且\(x\neq2\)，所以定义域是\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。7.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上为增函数的是（）A.\(y=-x^2\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)答案：C解析：A选项，对于二次函数\(y=-x^2\)，其图象开口向下，对称轴为\(y\)轴，在\((0,+\infty)\)上是减函数。B选项，反比例函数\(y=\frac{1}{x}\)，在\((0,+\infty)\)上\(y\)随\(x\)的增大而减小，是减函数。C选项，指数函数\(y=2^x\)，底数\(2>1\)，在\(R\)上是增函数，所以在\((0,+\infty)\)上也是增函数。D选项，对数函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)，底数\(0<\frac{1}{2}<1\)，在\((0,+\infty)\)上是减函数。（二）填空题8.已知函数\(f(x)=x^2+2x-3\)，则\(f(2)=\)______。答案：5解析：将\(x=2\)代入函数\(f(x)=x^2+2x-3\)中，可得\(f(2)=2^2+2\times2-3=4+4-3=5\)。9.函数\(y=3^{x-1}\)的反函数是______。答案：\(y=\log_3x+1(x>0)\)解析：先由\(y=3^{x-1}\)解出\(x\)：对\(y=3^{x-1}\)两边取以\(3\)为底的对数，得\(\log_3y=x-1\)，则\(x=\log_3y+1\)。然后将\(x,y\)互换，得到反函数为\(y=\log_3x+1\)，因为原函数的值域为\((0,+\infty)\)，所以反函数的定义域为\(x>0\)。（三）解答题10.已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象经过点\((-1,0)\)，\((3,0)\)，\((0,3)\)。（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该函数的对称轴和顶点坐标。解：（1）因为二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象经过点\((-1,0)\)，\((3,0)\)，\((0,3)\)，将这三个点分别代入函数中可得：\(\begin{cases}a-b+c=0\\9a+3b+c=0\\c=3\end{cases}\)将\(c=3\)代入前两个方程得：\(\begin{cases}a-b+3=0\\9a+3b+3=0\end{cases}\)由\(a-b+3=0\)可得\(b=a+3\)，将其代入\(9a+3b+3=0\)中：\(9a+3(a+3)+3=0\)\(9a+3a+9+3=0\)\(12a+12=0\)\(12a=-12\)解得\(a=-1\)。把\(a=-1\)代入\(b=a+3\)，得\(b=-1+3=2\)。所以二次函数的解析式为\(y=-x^2+2x+3\)。（2）对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)，其对称轴公式为\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点坐标公式为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。在\(y=-x^2+2x+3\)中，\(a=-1\)，\(b=2\)，\(c=3\)。对称轴\(x=-\frac{2}{2\times(-1)}=1\)。\(\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times(-1)\times3-2^2}{4\times(-1)}=\frac{-12-4}{-4}=\frac{-16}{-4}=4\)。所以顶点坐标为\((1,4)\)。三、不等式和不等式组（一）选择题11.不等式\(x^2-3x+2<0\)的解集是（）A.\(\{x|x<1\}\)B.\(\{x|1<x<2\}\)C.\(\{x|x>2\}\)D.\(\{x|x<1或x>2\}\)答案：B解析：先求解方程\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，则\(x-1=0\)或\(x-2=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。对于二次函数\(y=x^2-3x+2\)，其图象开口向上，要使\(y<0\)，即\(x^2-3x+2<0\)，则\(1<x<2\)，所以解集是\(\{x|1<x<2\}\)。12.已知\(a>b\)，\(c>0\)，则下列不等式中一定成立的是（）A.\(a+c<b+c\)B.\(ac>bc\)C.\(ac<bc\)D.\(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)答案：B解析：根据不等式的性质：A选项，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，因为\(a>b\)，两边同时加\(c\)，应该是\(a+c>b+c\)，所以A错误。B选项，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，因为\(a>b\)，\(c>0\)，所以\(ac>bc\)，B正确。C选项，由B选项的分析可知C错误。D选项，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，因为\(a>b\)，\(c>0\)，所以\(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)，D错误。（二）填空题13.不等式\(|2x-1|<3\)的解集是______。答案：\(\{x|-1<x<2\}\)解析：由\(|2x-1|<3\)可得\(-3<2x-1<3\)。先解\(-3<2x-1\)，移项得\(-3+1<2x\)，即\(-2<2x\)，解得\(x>-1\)。再解\(2x-1<3\)，移项得\(2x<3+1\)，即\(2x<4\)，解得\(x<2\)。综合可得\(-1<x<2\)，所以解集是\(\{x|-1<x<2\}\)。14.若不等式\(ax^2+bx+2>0\)的解集是\(\{x|-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{3}\}\)，则\(a+b=\)______。答案：-14解析：因为不等式\(ax^2+bx+2>0\)的解集是\(\{x|-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{3}\}\)，所以\(-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\)是方程\(ax^2+bx+2=0\)的两个根。根据韦达定理：\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)（这里\(x_1=-\frac{1}{2}\)，\(x_2=\frac{1}{3}\)，\(c=2\)）。\(x_1x_2=-\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{a}\)，解得\(a=-12\)。\(x_1+x_2=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{b}{a}=-\frac{b}{-12}=\frac{b}{12}\)，\(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}\)，则\(\frac{b}{12}=-\frac{1}{6}\)，解得\(b=-2\)。所以\(a+b=-12-2=-14\)。（三）解答题15.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量\(x\)（吨）与每吨产品的价格\(P\)（元/吨）之间的关系式为\(P=24200-\frac{1}{5}x^2\)，且生产\(x\)吨的成本为\(R=50000+200x\)元。问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解：设利润为\(L\)元，根据利润\(=\)收入\(-\)成本，收入为\(xP\)。则\(L=xP-R=x(24200-\frac{1}{5}x^2)-(50000+200x)\)\(=24200x-\frac{1}{5}x^3-50000-200x\)\(=-\frac{1}{5}x^3+24000x-50000(x>0)\)。对\(L\)求导得\(L^\prime=-\frac{3}{5}x^2+24000\)。令\(L^\prime=0\)，即\(-\frac{3}{5}x^2+24000=0\)。移项得\(\frac{3}{5}x^2=24000\)，\(x^2=40000\)，解得\(x=200\)或\(x=-200\)（舍去，因为\(x>0\)）。再求\(L\)的二阶导数\(L^{\prime\prime}=-\frac{6}{5}x\)，当\(x=200\)时，\(L^{\prime\prime}=-\frac{6}{5}\times200=-240<0\)，所以当\(x=200\)时，\(L\)取得极大值，也是最大值。将\(x=200\)代入\(L\)中：\(L=-\frac{1}{5}\times200^3+24000\times200-50000\)\(=-\frac{1}{5}\times8000000+4800000-50000\)\(=-1600000+4800000-50000\)\(=3150000\)（元）。所以该工厂每月生产\(200\)吨产品才能使利润达到最大，最大利润是\(3150000\)元。四、数列（一）选择题16.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，则公差\(d\)等于（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：B解析：在等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=a_1+(n-1)d\)，那么\(a_3=a_1+2d\)。已知\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，所以\(6=2+2d\)，移项可得\(2d=6-2=4\)，解得\(d=2\)。17.等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_4=8\)，则\(a_3\)等于（）A.\(\pm4\)B.\(4\)C.\(-4\)D.\(16\)答案：A解析：在等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3^2=a_2a_4\)。已知\(a_2=2\)，\(a_4=8\)，则\(a_3^2=2\times8=16\)，所以\(a_3=\pm4\)。（二）填空题18.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_5=9\)，则\(S_5=\)______。答案：25解析：等差数列的前\(n\)项和公式为\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。已知\(n=5\)，\(a_1=1\)，\(a_5=9\)，则\(S_5=\frac{5\times(1+9)}{2}=\frac{5\times10}{2}=25\)。19.等比数列\(\{a_n\}\)的公比\(q=2\)，\(a_1=3\)，则\(a_6=\)______。答案：96解析：等比数列的通项公式为\(a_n=a_1q^{n-1}\)。已知\(a_1=3\)，\(q=2\)，\(n=6\)，则\(a_6=3\times2^{6-1}=3\times2^5=3\times32=96\)。（三）解答题20.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=2n^2+3n\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）令\(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。解：（1）当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=2\times1^2+3\times1=5\)。当\(n\geqslant2\)时，\(a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]\)\(=2n^2+3n-(2(n^2-2n+1)+3n-3)\)\(=2n^2+3n-(2n^2-4n+2+3n-3)\)\(=2n^2+3n-(2n^2-n-1)\)\(=2n^2+3n-2n^2+n+1\)\(=4n+1\)。当\(n=1\)时，\(4\times1+1=5=a_1\)，所以\(a_n=4n+1(n\inN^)\)。（2）因为\(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{(4n+1)(4n+5)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+5})\)。则\(T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n\)\(=\frac{1}{4}[(\frac{1}{5}-\frac{1}{9})+(\frac{1}{9}-\frac{1}{13})+\cdots+(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+5})]\)\(=\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{4n+5})\)\(=\frac{n}{5(4n+5)}\)。五、三角函数（一）选择题21.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B解析：根据三角函数的平方关系\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，则\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}\)。已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\pm\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}=\pm\frac{4}{5}\)。又因为\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，在这个区间内\(\cos\alpha<0\)，所以\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)。22.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：B解析：对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（\(\omega>0\)）。在函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)中，\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。（二）填空题23.已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\)______。答案：3解析：将\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同时除以\(\cos\alpha\)（因为\(\cos\alpha\neq0\)，若\(\cos\alpha=0\)，则\(\tan\alpha\)不存在），得到\(\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)。已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3\)。24.函数\(y=2\cos^2x-1\)的单调递减区间是______。答案：\([k\pi,k\pi+\frac{\pi}{2}](k\inZ)\)解析：根据二倍角公式\(\cos2x=2\cos^2x-1\)，所以\(y=2\cos^2x-1=\cos2x\)。对于函数\(y=\cost\)，其单调递减区间是\([2k\pi,2k\pi+\pi](k\inZ)\)。令\(t=2x\)，则\(2k\pi\leqslant2x\leqslant2k\pi+\pi\)，解得\(k\pi\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)。所以函数\(y=2\cos^2x-1\)的单调递减区间是\([k\pi,k\pi+\frac{\pi}{2}](k\inZ)\)。（三）解答题25.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)。（1）求\(c\)的值；（2）求\(\sinA\)的值。解：（1）根据余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)。已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，\(\cosC=\frac{1}{2}\)。则\(c^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times\frac{1}{2}\)\(=9+16-12\)\(=13\)。所以\(c=\sqrt{13}\)。（2）由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)。已知\(a=3\)，\(c=\sqrt{13}\)，\(\sinC=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。则\(\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{3\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{39}}{26}\)。六、平面向量（一）选择题26.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4)\)，则\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\)（）A.\((4,6)\)B.\((-2,-2)\)C.\((2,2)\)D.\((-4,-6)\)答案：A解析：对于向量\(\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)\)，\(\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4)\)，则\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1+3,2+4)=(4,6)\)。27.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,6)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(x\)的值为（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(9\)D.\(-9\)答案：A解析：若两个向量\(\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)\)平行，则\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,6)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(2\times6-3x=0\)，即\(12-3x=0\)，解得\(x=4\)。（二）填空题28.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,1)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\)______。答案：\(-1\)解析：对于向量\(\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)\)，\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=x_1x_2+y_1y_2\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,1)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times3+(-2)\times1=3-2=1\)。29.已知\(|\overrightarrow{a}|=3\)，\(|\overrightarrow{b}|=4\)，且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，则\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\)______。答案：\(\sqrt{13}\)解析：先求\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)。因为\(\overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|^2=9\)，\(\overrightarrow{b}^2=|\overrightarrow{b}|^2=16\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos60^{\circ}=3\times4\times\frac{1}{2}=6\)。所以\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=9-2\times6+16=9-12+16=13\)。则\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}\)。（三）解答题30.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,2)\)，当\(k\)为何值时，\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\)垂直？解：首先计算\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{