（人教A版）必修一高一数学上册期中复习训练第二章 一元二次函数、方程和不等式 高频考题实战（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式高频考题实战目录高频考点一：比较两个代数式的大小 1高频考点二：利用基本不等式求最值 1高频考点三：基本不等式在实际中的应用 8高频考点四：一元二次不等式（含参）的求解 10高频考点五：一元二次不等式与对应函数、方程的关系 13高频考点六：分式不等式的解法 15高频考点七：不等式恒成立问题 16高频考点八：一元二次不等式的实际问题 20高频考点一：比较两个代数式的大小1．设，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【详解】解：因为，，所以，∴，故选：A2．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，且，故；由且，故；且，故.所以，故选：B.3．已知，，则，的大小关系是________．【答案】【详解】,故答案为：.高频考点二：利用基本不等式求最值1．已知，，若，则的最大值为（

）．A． B． C． D．1【答案】A【详解】，当且仅当，即，时，等号成立．故选：A．2．函数的最小值为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【详解】因为，所以，当且仅当即时取等，故选：C3．若，则函数的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以.故选：C4．若，则当取最大值时的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】变形，可得，，，原式，当且仅当，即时取等号，因此，取最大值时.故选D.5．已知正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，∴，当且仅当,即，时，取等号.故选：C.6．已知，则的最小值为（

）A．50 B．49 C．25 D．7【答案】B【详解】因为，所以，根据基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为49.故选：B.7．（多选）已知，，且，则（

）A．的取值范围是B．的取值范围是C．的最小值是3D．的最小值是【答案】BD【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，即，解得，即，A错误；对于B,由，,，当且仅当时取等号，得，所以,又，所以，B正确；对于C,由，，，得，则，当且仅当，即时等号成立,但，所以．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：，,,，当且仅当，即时等号成立，D正确，故选：BD8．（多选）已知实数，，，则的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BCD【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时取等号，所以，可能为8,9,10.故选：BCD9．已知，若且，则的最大值为___________.【答案】##0.25【详解】因为且，，当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为.故答案为：.10．若正数满足，则的最大值为______．【答案】【详解】正数满足，，解得，，当且仅当时，即等号成立，的最大值为．故答案为：11．若正实数满足，则的最小值为___________.【答案】##【详解】，当且仅当时，即时，的最小值为.故答案为：.12．已知，，且点在直线上，则的最小值为______.【答案】16【详解】由题意，故，当且仅当，即，时取等号.故答案为：1613．已知，且，的最小值是___________.【答案】【详解】，当且仅当时，即，时，等号成立.故答案为：14．已知，，且，则的最小值为__．【答案】3【详解】解：因为，，且，所以，则，当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值．故答案为：．15．已知集合​.(1)求集合​(2)若函数​，求​的最大值.【答案】(1)(2)2(1)解不等式​，得​，所以​(2)​，由均值不等式得:​（当且仅当​时取等），故​的最大值为2.16．（1）已知，求的最小值；【答案】（1）9；【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9．17．求下列函数的最小值（1）；（2）；（3）.【答案】（1）3；（2）；（3）10.【详解】（1）∵（当且仅当，即x=1时取“=”）即的最小值为3；（2）令，则在是单增，∴当t=2时，y取最小值；即y的最小值为（3）令，则可化为：当且仅当t=3时取“=”即y的最小值为1018．（1）求函数的最小值及此时的值；（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时.【详解】（1）∵，∴，当且仅当即时，等号成立.故函数的最小值为5，此时；（2）令，将代入得：，∵，∴，当且仅当，即，即时，等号成立.故函数的最小值为5，此时.高频考点三：基本不等式在实际中的应用1．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（

）A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能【答案】A【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为由杠杠平衡原理可得，，所以，这样可知称出的黄金大于.故选:A2．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（

）A．20m B．50m C．m D．100m【答案】B【详解】设，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当BC的长度为50m时，整个项目占地面积最小．故选：B．3．某批救灾物资随41辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（

）A．70 B．80 C．90 D．100【答案】C【详解】第一辆汽车到达灾区所用的时间为，由题意，知最短每隔到达一辆，则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为，要使这批物资尽快全部到达灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短.又，当且仅当，即时等号成立.故选：C4．珍珠棉是一种新型环保的包装材料．某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入（）万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨珍珠棉还需要投入其他成本万元．当______万元时，该公司在本季度增加的利润y最大，最大利润为______万元．【答案】

4

8【详解】因为，所以由题意得，当且仅当，即时等号成立，所以当万元时，该公司在本季度增加的利润最大，为8万元，故答案为：4；8高频考点四：一元二次不等式（含参）的求解1．关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由得，若，则不等式无解．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．综上，满足条件的的取值范围是故选：C．2．设函数.(1)若不等式的解集为，求a，b的值；(2)若时，，求的最小值；(3)若，求不等式的解集.【答案】(1)，(2)(3)详见解析.（1）由题知：的两个根分别是，代入方程得：，解得：.（2）时，，即，所以有：，那么==，此时，且，即时，有最小值.（3）若，则，，即，①当时，即，解得：，不等式解集为：当时，令，解得：，②当时，若，不等式解集为：；若，不等式解集为：若，不等式解集为：③当时，不等式解集为：3．已知函数的定义域为，且在区间上有最大值5，最小值1．(1)求实数a，b的值；(2)若函数，求的解集．【答案】(1)(2)答案见解析(1)∵，在上单调递减，在上单调递增，∴即解得(2)由（1）知，①时，的解集为；②时，，则或，故时，的解集为或；③时，，则或，故时，的解集为或．综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为或．4．已知二次函数.(1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式（其中）.【答案】(1)(2)答案见解析(1)不等式即为：，当时，不等式可变形为：，因为，当且仅当时取等号，所以，所以实数a的取值范围是；(2)不等式，即，等价于，转化为；当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.高频考点五：一元二次不等式与对应函数、方程的关系1．若不等式的解集为，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】不等式的解集为，则方程根为、，则，解得，，故选：D2．若不等式的解集是，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为不等式的解集是，∴和是方程的两个实数根，由，解得：，，

故不等式即，即，即，解得：，所以所求不等式的解集是：.故选：C．3．（多选）不等式的解集是，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】解：因为不等式的解集是，所以，且，所以所以，，，故AC正确，D错误．因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，所以当时，，故B正确．故选：ABC．4．如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______.【答案】【详解】关于的不等式的解集为，是方程的两实数根，且，由韦达定理得，，不等式化为，即，解得或，故答案为：．高频考点六：分式不等式的解法1．不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，解得，所以不等式的解集为.故选：B.2．不等式的解集为__________.【答案】或【详解】因为，所以，即，等价于，解得或，所以不等式的解集为或.故答案为：或3．不等式的解集是_______.【答案】【详解】由可得，即，即解得所以不等式的解集是故答案为：4．解关于的不等式：【答案】.【详解】；等价变形为：且；（注意分母）解得所以原不等式的解集为高频考点七：不等式恒成立问题1．已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对任意，不等式恒成立，即对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，所以对任意，，所以，解得，故实数x的取值范围是．故选：D．2．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：恒成立，即，对任意得恒成立，令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.3．若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题可得对于恒成立，即解得:.故选：B.4．设，若关于的不等式在上有解，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由在上有解，得在上有解，则，由于，而在单调递增，故当时，取最大值为，故，故选：C5．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由不等式在上有实数解，等价于不等式在上有实数解，因为函数在上单调递减，在单调递增，又由，所以，所以，即实数的取值范围是.故选：A.6．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，开口向上，对称轴为直线，所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可，即，得，所以实数a的取值范围为，故选：D7．若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】解：，使关于的不等式成立，则，即，，令，，则对勾函数在上单调递增，所以，故故答案为：8．关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．【答案】【详解】在内有解，，其中；设，则当时，，，解得：，的取值范围为.故答案为：.9．已知函数.(1)当时，求关于x的不等式的解集；(2)若在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)，1）（2，.(2).(1)解：当时，则，由，得，令，解得，或，原不等式的解集为，1）（2，；(2)解：由即在上恒成立，从而有：，令，则，当且仅当时取等号，，故实数的取值范围是.10．设函数.(1)若不等式的解集为，求实数a，b的值；(2)若，且存在，使成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)或.(1)解：因为的解集为，所以，解得；(2)（2）因为，所以，因为存在，成立，即存在，成立，当时，，成立；当时，函数图象开口向下，成立；当时，，即，解得或，此时，或，综上：实数a的取值范围或.高频考点八：一元二次不等式的实际问题1．（多选）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（

）A．60