【5】高中数学解答题讲义 圆锥曲线（学生版）

圆锥曲线目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】轨迹 10【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹 11【题型三】直线所过定点不在坐标轴上 12【题型四】面积比值范围型 13【题型五】非常规型四边形面积最值型 15【题型六】“三定”型：圆过定点 16【题型七】“三定”型：斜率和定 17【题型八】“三定”型：斜率积定 18【题型九】圆锥曲线切线型 19【题型十】“韦达定理”不能直接用 21【题型十一】“非韦达”型：点带入型 22题型方法梳理一、圆锥曲线大题基本步骤第一步：设点设线1.设线与设点的选择标准双动点设A单动点设Px0，2.正设直线与反设直线正设直线①先考虑直线斜率不存在的情况（易忽视），要么求解结果，要么直接证明；②当已知条件中未出现直线过定点时，一般设为；若题目条件中指明直线过定点，则设为．③若题目已知条件中，直线所过定点在轴上，优选正设直线，在计算量上会简单很多.反设直线①先考虑直线斜率为的情况（易忽视），要么求解结果，要么直接证明；②当已知条件中未出现直线过定点时，一般设为；若题目条件中指明直线过定点，则设为．③若题目已知条件中，直线所过定点在轴上，优选反设直线，在计算量上会简单很多.④直线与联立时，通常设，计算要简单多．多数题目，两种思路通用，不过有繁简之别；少数题目，只能用一种思路，还需在平时做题中加以区分．第二步：题目信息转化为坐标BABAO1．弦长AB=AB=BAOF2BAOFBAOFBAOF当直线l过焦点F(0，c)时，BAOCM3．若弦AB中点M(xBAOCM若AB过定点C，则kAB4．以AB为直径的圆过点O⇔OA⊥OB⇔⇔xBAOBAOF①∠AOB为钝角⇔OA∙OB<0；②【上面的点O也可以是其它的定点（如焦点F(−c，5．弦AB的垂直平分线经过点C或设弦AB的中点为M(x0，y0弦AB的垂直平分线经过点Cp，q，设出弦AB6．A，B两点关于直线y=px+q对称(或弦7．证明动弦AB的斜率为定值，这个定值实际上是将AB平移到与圆锥曲线相切时切线的斜率．8．证明A、B、第三步：坐标到韦达1.韦达化处理一：代换——即消去x或y中的一个用直线换（椭圆、双曲线、抛物线）2.韦达化处理二：配凑配凑法进行韦达化处理，一个经典案例就是弦长中的．对于前述坐标化后的部分式子，也需要作配凑处理：（1），即，其中k为直线AB斜率，再用直线代换，即，得．（2）．（3），此处考虑直线代换，，再代入上式即可得．（4），而，整理得．（5）此形式可以配凑倒数关系，，故，配凑可得．3.韦达化处理三：利用韦达定理构造“和积消去”型此外，在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可得：，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．第四步：联立直线与曲线，得坐标与参数关系由方程y=kx+m，Fx，则x1+二、面积问题1.面积问题的解决策略（1）面积公式的选择:常用的面积公式是S=（2）面积的分割：一种常见的分割是S2.相关公式（1）弦长公式的两种形式①若A,B是直线y=px2+②若A,B是直线x=py2（2）三角形面积的三种常用形式①S②S=③设Ax1,证明:S==（3）四边形面积公式设四边形的两条对角线长度为m,n,夹角为θ,则四边形面积互相垂直时,有S=三、最值与范围问题(1)基本不等式法(2)导数法(3)判别式法(4)换元法(5)配方法(6)三角函数有界性(7)函数单调性四、节选最值与范围问题实战1.2b2=42.S△ABC=13.λ=18tt24.fk=−165.fk=k16.S△TBCS△7.S=721+8.S=k9.T=12⋅10.k1k2=−11.PB⋅PM=−12.fk=1+13.已知x024+y五、定点问题1．对直线过定点的理解如：①直线恒过定点；②对于直线，若，则直线方程为，显然过定点；③无论取任何实数，直线必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____．【解析】直线可化为，令，故定点坐标为．2．直线过定点问题的基本解法方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为：①设直线方程为(或)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系；②结合韦达定理和已知条件，得到或的关系，或者解出的值；③将②的结果代入(或)，得到定点坐标．方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为：①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点的坐标(含参)；②特殊位置入手，找到定点(有时可考虑对称性)；③证明三点共线，从而直线过定点．(其中一个方法是证明)3．定点问题的常见类型（1）由斜率关系求定点（2）由倾斜角关系求定点（3）圆过定点（4）相交弦过定点（5）切点弦过定点4．切线方程及切点弦方程（圆锥曲线的极点与极线）：当点在二次曲线上时，过点可作一条切线，若点为切点，则切线方程如下：(替换规则：)①圆，则切线只有一条，共方程是；②椭圆，则切线方程是；③双曲线，则切线方程是；④抛物线，则切线方程是．若点不在二次曲线上时，且过点可作两条切线，可得切点弦所在直线方程：①圆的切点弦方程为；②椭圆的切点弦方程是；③双曲线的切点弦方程是；④抛物线的切点弦方程是．六、定值问题1.定值问题的解法（1）常规解法:选定参数,求出题目所需的代数表达式,然后对表达式进行计算、化简、消参,从而得到定值.步骤为:一选（选好参数）、二求(化简消参）、三定值（得到定值）.（2）特殊解法:曲线系法,仿射变换法等.2.定值问题的处理技巧（1）思路：可从特殊情况入手(如直线斜率不存在时）,求出定值,再证明这个值与变量无关;（2）运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数,以利于向目标靠拢.3.三个定值模型（1）圆锥曲线定义相关的定值（2）圆锥曲线垂径定理（3）椭圆的共轭直径性质4.八类常见的定值问题（1）斜率为定值（2）斜率之和（积）为定值（3）斜率之比为定值（4）角度为定值（5）距离为定值（6）面积为定值（7）数量积为定值（8）系数和为定值【题型一】轨迹求轨迹方程的常见方法有:（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.1.（2024·重庆·模拟预测）已知点和直线，点到的距离.(1)求点的轨迹方程；(2)不经过圆点的直线与点的轨迹交于，两点.设直线，的斜率分别为，，记，是否存在值使得的面积为定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.2.（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点到定点的距离比到定直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)点为上的两个动点，若恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为，求证：.3.（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系xOy中，点.点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆相切，记点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)设点，直线AM，AN分别与曲线C交于点S，T(S，T异于A)，过点A作，垂足为H，求的最大值.【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹1.（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．2.（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.3.（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0．(1)证明是一个双曲线并求其离心率；(2)设的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：；(3)设的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．【题型三】直线所过定点不在坐标轴上存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．1.已知点M是抛物线的对称轴与准线的交点，过M作抛物线的一条切线，切点为P，且满足．(1)求抛物线C的方程；(2)过作斜率为2的直线与抛物线C相交于点B，点，直线AT与BT分别交抛物线C于点E，F，设直线EF的斜率为k，是否存在常数，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．2.已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．(1)求双曲线的方程；(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．3.已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.【题型四】面积比值范围型圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.1.（2022·全国·高三专题练习）是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于.(1)求的标准方程；(2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围.2.（2023下·福建福州·高三校考）如图，已知圆的左顶点，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线轴时，.(1)求椭圆C的方程；(2)记的面积分别为，求的取值范围.3.（2022·湖北黄冈·蕲春县第一高级中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，圆，椭圆与圆交于点，且.(1)求椭圆方程.(2)若过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，与圆交于两点，且，求的取值范围.【题型五】非常规型四边形面积最值型求非常规型四边形的面积最大值，首先要选择合适的面积公式，对于非常规四边形，如果使用的面积公式为，为此计算，代入转化为的函数求最大值.1.（2023·全国·高三专题练习）已知圆为坐标原点，点在圆上运动，为过点的圆的切线，以为准线的拋物线恒过点，抛物线的焦点为，记焦点的轨迹为．(1)求的方程；(2)过动点的两条直线均与曲线相切，切点分别为，且的斜率之积为，求四边形面积的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为．(1)求椭圆的方程；(2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值．3.（2023·全国·高三专题练习）如图．已知圆，圆．动圆与这两个圆均内切．

(1)求圆心的轨迹的方程；(2)若、是曲线上的两点，是曲线C上位于直线两侧的动点．若直线的斜率为，求四边形面积的最大值．【题型六】“三定”型：圆过定点圆过定点思维：1.可以根据特殊性，计算出定点，然后证明2.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明。4.通过推导求出定点（计算推导难度较大）1.已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.2.已知椭圆经过点，且右焦点为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于两个不同的点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问以为直径的圆是否过轴上的定点，若是求出定点坐标，若不是说明理由．3.已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.【题型七】“三定”型：斜率和定设抛物线，其上有不同的三点：，当的斜率满足：①时，过定点②时，过定点或者1.已知点F是椭圆的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且.（1）求椭圆的离心率e；（2）已知，，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线，的斜率分别为，，若，求椭圆E的方程.2..在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与的斜率依次为、，若，求证：直线MN恒过定点.3.已知右焦点为的椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）经过的直线与椭圆分别交于、（不与点重合），直线、分别与轴交于、，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【题型八】“三定”型：斜率积定给定椭圆，与椭圆上定点，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有①若，则直线过定点②若，则直线过定点1.已知椭圆经过点，其左焦点为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，证明：直线PQ过定点.2.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆交于M，N两点，M在N的左侧．(1)若直线l的斜率，求原点O到直线l的距离；(2)记直线AM，BN的斜率分别为，，证明：为定值．3.．已知椭圆的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，原点O为的重心；①如果直线AB，OC的斜率都存在，求证：为定值；②试判断的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.【题型九】圆锥曲线切线型在利用椭圆（双曲线）的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；（2）椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切.双曲线的以为切点的切线方程为抛物线的切线：（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：；（2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．1.已知椭圆E：的焦距为，且经过点．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值．2.已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，上一点到距离之和为6.(1)求的方程；(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.3.法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.【题型十】“韦达定理”不能直接用1.利用公式，可消