2025年高二物理上学期弹性碰撞与非弹性碰撞计算题

2025年高二物理上学期弹性碰撞与非弹性碰撞计算题一、碰撞问题基本公式应用1.1弹性碰撞速度公式推导质量为m₁的小球以速度v₁与静止的质量m₂小球发生弹性碰撞，根据动量守恒定律有：m₁v₁=m₁v₁'+m₂v₂'根据机械能守恒定律有：(1/2)m₁v₁²=(1/2)m₁v₁'²+(1/2)m₂v₂'²联立解得碰撞后速度：v₁'=(m₁-m₂)v₁/(m₁+m₂)v₂'=2m₁v₁/(m₁+m₂)典型例题：质量2kg的滑块A以5m/s的速度在光滑水平面上运动，与静止的1kg滑块B发生弹性正碰。求碰撞后两滑块的速度。解：代入公式得v₁'=(2-1)×5/(2+1)=5/3m/s≈1.67m/sv₂'=2×2×5/(2+1)=20/3m/s≈6.67m/s1.2完全非弹性碰撞能量损失计算完全非弹性碰撞中两物体共速，系统动量守恒但机械能损失最大。损失的机械能转化为内能、声能等其他形式能量，计算公式：ΔE=(1/2)m₁v₁²-(1/2)(m₁+m₂)v共²其中v共=m₁v₁/(m₁+m₂)典型例题：质量3kg的物体以4m/s的速度与质量1kg的静止物体发生完全非弹性碰撞，求系统损失的机械能。解：v共=3×4/(3+1)=3m/sΔE=0.5×3×4²-0.5×4×3²=24-18=6J二、多物体碰撞问题分析2.1连续弹性碰撞模型阶梯碰撞问题：光滑水平面上依次排列质量为m、2m、4m的三个小球，初始时均静止。现给第一个小球初速度v₀，求所有碰撞结束后各球的速度。分析过程：第一次碰撞：m与2m弹性碰撞v₁'=(m-2m)v₀/(m+2m)=-v₀/3（反弹）v₂'=2mv₀/(m+2m)=2v₀/3第二次碰撞：2m与4m弹性碰撞v₂''=(2m-4m)(2v₀/3)/(2m+4m)=-2v₀/9v₃'=2×2m×(2v₀/3)/(2m+4m)=8v₀/9最终速度分布：m球-v₀/3，2m球-2v₀/9，4m球8v₀/92.2碰撞与平抛运动结合复合运动问题：质量m的小球A从半径R的光滑圆弧轨道顶端静止释放，在轨道底端与质量3m的静止小球B发生弹性碰撞，碰撞后B球水平抛出，落地点距轨道底端水平距离x=2m，轨道底端距地面高度h=5m，求圆弧轨道半径R。（g=10m/s²）解题步骤：平抛运动求B球速度：h=(1/2)gt²→t=√(2h/g)=√(2×5/10)=1svB=x/t=2m/s弹性碰撞速度关系：vB=2mvA/(m+3m)→vA=2vB=4m/s机械能守恒求半径：mgR=(1/2)mvA²→R=vA²/(2g)=16/20=0.8m三、非对心碰撞问题3.1二维弹性碰撞分解质量m的小球以速度v沿x轴正方向运动，与静止的等质量小球发生弹性斜碰，碰撞后两球速度方向与x轴夹角分别为θ₁和θ₂。根据动量守恒：x方向：mv=mv₁cosθ₁+mv₂cosθ₂y方向：0=mv₁sinθ₁-mv₂sinθ₂机械能守恒：(1/2)mv²=(1/2)mv₁²+(1/2)mv₂²联立可得θ₁+θ₂=90°（等质量弹性斜碰速度方向垂直）典型例题：两质量均为0.5kg的小球在光滑水平面上发生弹性斜碰，入射球初速度4m/s，碰撞后一球速度方向与原方向成30°角，求两球碰撞后的速度大小及另一球速度方向。解：设v₁与原方向成30°，v₂与原方向成60°x方向：4=v₁cos30°+v₂cos60°y方向：0=v₁sin30°-v₂sin60°解得v₁=4cos30°=2√3≈3.46m/sv₂=4sin30°=2m/s3.2碰撞中的动量矩守恒在光滑水平面上，质量m的小球以速度v撞击质量M、半径R的静止光滑圆环，碰撞点距地面高度h=R/2，求碰撞后圆环的角速度（假设碰撞为弹性碰撞，小球不粘连）。分析：碰撞过程对环心动量矩守恒mvh=Iω（I=MR²为圆环转动惯量）ω=mvh/(MR²)=mv(R/2)/(MR²)=mv/(2MR)四、碰撞中的临界问题4.1避免二次碰撞条件质量m₁=2kg的物体以v₁=6m/s速度向右运动，与前方同向运动的m₂=1kg物体（速度v₂=2m/s）发生弹性碰撞，为避免碰撞后两物体再次相撞，求地面动摩擦因数μ的取值范围。解题步骤：弹性碰撞后速度：v₁'=(2×6+1×2-1×6)/(2+1)=(12+2-6)/3=8/3≈2.67m/sv₂'=(2×2×6+(1-2)×2)/(2+1)=(24-2)/3=22/3≈7.33m/s减速到停止的位移：s₁=v₁'²/(2μg)，s₂=v₂'²/(2μg)避免二次碰撞条件：s₁≤s₂（恒成立，因v₁'<v₂'且动摩擦因数相同）4.2最大压缩量问题在光滑水平面上，质量m的物体以速度v撞击连接轻质弹簧（劲度系数k）的静止质量M物体，求弹簧的最大压缩量。分析：弹簧压缩量最大时两物体共速，系统动量守恒：mv=(m+M)v共→v共=mv/(m+M)机械能守恒：(1/2)mv²=(1/2)(m+M)v共²+(1/2)kx²解得x=v√[mM/(k(m+M))]典型例题：质量1kg的滑块以3m/s速度撞击连接k=100N/m弹簧的2kg静止滑块，求弹簧最大压缩量。解：v共=1×3/(1+2)=1m/sx=3√[1×2/(100×3)]=3√(2/300)=3√(1/150)=√(3/50)≈0.245m五、碰撞实验数据处理5.1验证动量守恒实验在“验证碰撞中动量守恒”实验中，用半径相同的两小球做平抛运动，记录入射球质量m₁、被碰球质量m₂，入射球单独下落水平位移OP，碰撞后入射球和被碰球水平位移分别为OM和ON。动量守恒验证式：m₁·OP=m₁·OM+m₂·ON实验数据处理：某次实验数据如下：m₁=30g，m₂=20g，OP=50.0cm，OM=20.0cm，ON=45.0cm验证：左侧=30×50=1500g·cm右侧=30×20+20×45=600+900=1500g·cm左侧=右侧，动量守恒成立5.2恢复系数测定恢复系数e=(v₂'-v₁')/(v₁-v₂)，弹性碰撞e=1，完全非弹性碰撞e=0。通过斜槽轨道实验测得两球碰撞前后速度，计算恢复系数。数据处理实例：两球质量比3:1，入射球从h=0.45m高度释放，碰撞后入射球反弹到h₁=0.05m高度，被碰球上升到h₂=0.8m高度（g=10m/s²）v₁=√(2gh)=√(2×10×0.45)=3m/sv₁'=-√(2gh₁)=-√(2×10×0.05)=-1m/sv₂'=√(2gh₂)=√(2×10×0.8)=4m/se=(4-(-1))/(3-0)=5/3≈1.67（实验误差导致e>1，实际应检查数据合理性）六、综合应用题6.1多过程碰撞问题质量m=1kg的小球从高H=1.8m的光滑轨道由静止释放，进入水平轨道后与静止的质量M=2kg的滑块发生完全非弹性碰撞，滑块与水平轨道间动摩擦因数μ=0.2，求滑块在水平轨道上滑行的距离。（g=10m/s²）完整解题过程：下滑过程机械能守恒：mgH=(1/2)mv₁²→v₁=√(2gH)=√(2×10×1.8)=6m/s完全非弹性碰撞：v共=mv₁/(m+M)=1×6/3=2m/s滑行过程动能定理：-μ(m+M)gs=0-(1/2)(m+M)v共²s=v共²/(2μg)=4/(2×0.2×10)=1m6.2含弹簧的多次碰撞光滑水平面上，质量m₁=1kg的物体连接k=100N/m的轻质弹簧，静止在原点O，质量m₂=2kg的物体以v₀=6m/s速度向右运动压缩弹簧。求：（1）弹簧最大压缩量；（2）两物体最终速度。解答：（1）共速时压缩量最大：v共=m₂v₀/(m₁+m₂)=2×6/3=4m/s(1/2)m₂v₀²=(1/2)(m₁+m₂)v共²+(1/2)kx²x=√[(m₂v₀²-(m₁+m₂)v共²)/k]=√[(2×36-3×16)/100]=√(72-48)/10=√24/10≈0.49m（2）弹簧恢复原长时相当于弹性碰撞：v₁=2m₂v₀/(m₁+m₂)=2×2×6/3=8m/sv₂=(m₂-m₁)v₀/(m₁+m₂)=(2-1)×6/3=2m/s七、碰撞问题常见错误分析7.1动量守恒条件判断失误错误案例：粗糙水平面上两物体碰撞，未考虑摩擦力冲量是否可忽略。若碰撞时间极短（t<0.01s），摩擦力冲量I=ft可忽略，动量守恒成立；若碰撞过程持续时间较长，则动量不守恒。7.2机械能守恒适用错误典型错误：完全非弹性碰撞中应用机械能守恒。正确处理：只有弹性碰撞机械能守恒，非弹性碰撞需用能量守恒（考虑能量损失），完全非弹性碰撞按共速模型计算。7.3矢量方向处理错误计算失误：未规定正方向导致动量守恒方程列错。正确做法：建立坐标系，规定正方向，与正方向相反的速度取负值代入方程。八、拓展训练题追及碰撞问题：质量5kg的物体以10m/s速度追赶前方2kg物体（速度4m/s），动摩擦因数μ=0.2，为使两物体不相撞，求两物体间的最小初始距离。（答案：9m）爆炸问题：静止的爆竹炸裂成质量比3:2的两块，其中质量小的碎片以30m/s速度水平飞出，求另一碎片速度及爆炸释放的能量。（答案：-20m/s，1500J）传送带碰撞：水平传送带以2m/s速度匀速运动，质量1kg的物体无初速放在传送带上，运动0.5m后与前方静止的1