2025年下学期高中数学竞赛团队合作试卷

2025年下学期高中数学竞赛团队合作试卷第一部分：基础协作题（共60分）题型一：接力填空题（30分，每小题5分）合作要求：3人一组，每人负责2小题，前一题结果作为后一题条件，需按顺序完成并提交中间过程。若函数$f(x)=\log_a(9x)$，$\log_a(27x)$，$\log_a(3x)$成等差数列（$a>0$且$a\neq1$），则正数$x$的值为______。已知集合$A={1,2,3,\cdots,100}$，$B={a^2+2a\mida\inA}$，则$A\cupB$的元素个数为______。在椭圆$\frac{x^2}{2025}+\frac{y^2}{144}=1$中，$F_1,F_2$为左右焦点，点$P$在椭圆上，线段$PF_1$交椭圆于点$Q$，若$\triangleF_2PQ$的周长为8，则线段$F_2Q$的长度为______。设函数$g(x)=(x-1)f(x)$为奇函数，$h(x)=f(x)+x$为偶函数，定义域均为$\mathbb{R}$，则$f(x)$的最大值为______。正整数$k$满足$\frac{\sin20^\circ}{\cos25^\circ}+\frac{\sin25^\circ}{\cos20^\circ}=k$，则$k$的最小值为______。在四棱柱的12条棱中随机选取两条不同棱，它们异面的概率为______。题型二：分工解答题（30分）合作要求：团队任选2题，每人负责1个小问，需共同讨论解题思路后独立书写过程，最终整合答案。第1题（代数综合）设$m,n,k$为正整数，$m\geq2$，$n\geqk\geq2$，实数$x_1\geqx_2\geq\cdots\geqx_n\geq0$满足：①$x_1^m+x_2^m+\cdots+x_n^m\geq1$②$x_1+x_2+\cdots+x_n\leqk$证明：$x_1+x_2+\cdots+x_k\geq1$。第2题（几何证明）在$\triangleABC$中，$D$为$BC$中点，延长$AD$交$\triangleABC$外接圆于点$P$。过$B,P$作圆与$AC$相切于$E$，过$C,P$作圆与$AB$相切于$F$。证明：$AD,BE,CF$三线共点。第3题（组合数学）求所有正整数$n$，存在$n$的倍数$N$，其十进制表示含数码1-9（无0），且对任意$i\in{1,2,\cdots,9}$，删去一个数码$i$后仍为$n$的倍数。第二部分：团队挑战题（共90分）题型三：项目式探究题（40分）合作要求：团队共同完成问题建模、数据计算与结论推导，需提交分工说明（200字以内）和完整解答。问题背景：某物流公司用无人机向山区运送物资，无人机在海拔1000米处沿水平方向匀速飞行，速度为$v$米/秒。当无人机与目标位置$A$的水平距离为$d$米时，开始投放物资（忽略空气阻力，重力加速度$g=10m/s^2$）。建立物资落地时间$t$与$d,v$的函数关系，并求出$d=500$米时$v$的取值范围（物资需落在以$A$为圆心，100米为半径的圆内）。若无人机同时携带3个物资，计划在同一铅垂面内投放至$A,B,C$三点（$A,B,C$共线，$AB=BC=200$米），为使物资同时落地，设计无人机的飞行速度与投放时间间隔方案。题型四：策略协作题（50分）合作要求：团队扮演“解题顾问”，为以下问题提供两种不同解法，并评估各自适用场景。问题：给定整数$t>10000$，甲乙两人玩猜数游戏：乙想一个正整数$N$（满足$\tau(N)\leq2\sqrt{t}+100$，$\tau(N)$为正约数个数），告知甲$\tau(N)$的值，并提供$k$个不同正约数。求最小的$k$，使甲一定能确定$N$。解法一：从数论角度分析$\tau(N)$的奇偶性、质因数分解形式与约数分布规律。解法二：通过构造特殊数集（如完全平方数、素数幂）验证极端情况下的$k$值。评估报告：对比两种解法的复杂度、适用$t$的范围及团队协作中的角色分配建议（300字以内）。第三部分：创新开放题（共50分）合作要求：团队自选主题，完成以下任一项任务，提交书面报告（800字左右）。选题1：跨学科应用以“斐波那契数列与植物生长”为主题，用数学建模方法解释向日葵种子排列的螺线数量规律，需包含：数列递推公式推导黄金分割率的几何意义实际数据采集与模型验证（可附手绘图表）选题2：历史问题新解研究“哥德巴赫猜想”的弱化形式（如“每个充分大的偶数可表为两个素数之和”），设计一种基于筛法的计算机验证方案，说明：算法伪代码（可用自然语言描述）团队成员的分工（如数据处理、程序逻辑、结果分析）预期验证范围与时间复杂度估算选题3：原创题设计模仿本试卷结构，命制1道“团队合作型”题目，要求：涉及代数与组合数学交叉内容包含3个递进式小问（基础计算、证明、开放探究）附评分标准（说明各环节的合作贡献占比）答题规范与评分说明过程分：基础题按步骤给分，挑战题需体现团队讨论痕迹（如中间草稿、分工记录）。协作分：根据任务分配合理性、解法多样性及报告完整性评分（占总分20%）。创新分：开放题中提出新颖思路或跨学科应用可获额外加分（最高10分）。（全卷共200分，