（人教A版）选择性必修二高二数学上册同步精讲精练4.3.2 等比数列的前n项和公式（原卷版）

4.3.2等比数列的前n项和公式一、等比数列的前n项和公式已知量首项与公比首项，末项与公比公式二、等比数列前n项和的函数特征1、与的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。2、与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。三、等比数列前n项和的性质1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则.2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。四、等比数列前n项和运算的技巧1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。题型一等比数列前n项和与基本量【例1】已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则（）A．31B．C．31或5D．或5【变式1-1】已知递增的等比数列中，，，则（）A．25B．31C．37D．41【变式1-2】已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（）A．B．2C．D．3【变式1-3】设等比数列的前n项和为，若，且，则__________.【变式1-4】设等比数列的前n项和为．（1）若公比，，，求n；（2）若，求公比q．题型二等比数列片段和性质及应用【例2】已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（）A．B．C．12D．15【变式2-1】设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（）A．B．C．D．【变式2-2】等比数列的前n项和为，已知，，则（）A．B．C．D．【变式2-3】设等比数列的前项和为，若，则（）A．B．C．D．【变式2-4】设为等比数列的前项和，且则等于（）A．B．C．D．题型三等比数列奇偶项和的性质应用【例3】已知等比数列中，，，，则（）A．2B．3C．4D．5【变式3-1】已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（）A．B．2C．D．【变式3-2】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A．B．C．D．【变式3-3】在数列中，，，若，则（）A．3B．4C．5D．6【变式3-4】在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．题型四等比数列前n项和的其他性质【例4】设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（）①数列具有单调性；②数列有最小值为；③前n项和Sn有最小值④前n项和Sn有最大值A．0B．1C．2D．3【变式4-1】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（）A．

B．C．是数列中的最大值

D．数列无最大值【变式4-2】设为等比数列，设和分别为的前n项和与前n项积，则下列选项错误的是（）A．若，则不一定是递增数列B．若，则不一定是递增数列C．若为递增数列，则可能存在D．若是递增数列，则一定成立【变式4-3】已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中错误的是（）A．B．C．，，成等比数列D．“”是“，，成等差数列”的充要条件题型五等比数列中Sn与an的关系【例5】等比数列的前n项和，则k的值为（）A．全体实数B．C．1D．3【变式5-1】在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（）A．B．C．D．【变式5-2】已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【变式5-3】已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（）A．B．C．D．题型六等比数列前n项和的实际应用【例6】有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍初日屠五两，今三十日居讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫最后5天所屠肉的总两数为（）A．B．C．D．【变式6-1】《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺.问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（）A．B．C．D．【变式6-2】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（）A．192里B．96里C．48里D．24里【变式6-3】在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（）A．4B．12C．16D．20【变式6-4】如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了n个正方形，设这n个正方形的面积之和为，则（）A．B．C．D．4.3.2等比数列的前n项和公式【题组1等比数列的前n项和与基本量】1、设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（）A．2B．C．2或D．2或2、记正项等比数列的前n项和为，若，则该数列的公比（）A．B．C．2D．33、设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（）A．5B．4C．3D．24、已知等比数列的前n项和为，若，，则______．5、在等比数列中，，.（1）求的通项公式；（2）记为的前项和，若，求.【题组2等比数列片段和性质及应用】1、等比数列的前n项和为，若，，则（）A．24B．12C．24或－12D．－24或122、若等比数列的前n项和为，，，则（）A．B．C．D．3、为等比数列的前项和，且，则（）A．B．C．D．4、设等比数列的前项和为，若，则的值是（）A．B．C．D．45、一个等比数列共有项，若前项之和为15，后项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（）A．63B．72C．75D．87【题组3等比数列奇偶项和的性质应用】1、已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（）A．30B．60C．90D．1202、已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（）A．15B．30C．45D．603、已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5B．7C．9D．114、已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（）A．B．C．D．5、等比数列中，，，则的值为（）A．B．C．D．【题组4等比数列前n项和的其他性质】1、设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）A．

B．C．的最大值为D．的最大值为2、已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则3、设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（）A．q>1B．C．D．是数列中的最大项4、已知等比数列的前n项和为，若，，则（）A．9B．10C．12D．17【题组5等比数列中Sn与an的关系】1、已知等比数列的前n项和，则（）A．B．C．D．2、等比数列的前n项和，则（）A．B．2C．1D．3、设数列的前n项和为，若，则（）A．B．C．D．4、设为数列的前n项和．若，则（）A．48B．81C．96D．2435、已知数列的前项和，则数列的前项和________.【题组6等比数列前n项和的实际应用】1、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈.问日益几何？”意思是：女子从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则该女子第5天所织的布的尺数为（）A．7B．C．D．2、在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）A．42B．56C．63D．703、《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”，则前6天两只老鼠一共穿城墙________尺．4、