山东中考数学三年（2023-2025）真题分类汇编：专题07 不等式与不等式组（解析版）

专题07不等式与不等式组

考点01不等关系

1．（2025·山东济南·中考真题）已知ab，则下列不等式一定成立的是（）

ab

A．a1b1B．C．abD．2aab

22

【答案】D

【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，

不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一

个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根

据不等式的性质即可得出答案．

【详解】解：A、ab，则a1b1，选项错误，不符合题意；

ab

B、ab，则，选项错误，不符合题意；

22

C、ab，则ab，选项错误，不符合题意；

D、ab，则aaab，即2aab，选项正确，符合题意，

故选：D．

2．（2023·山东临沂·中考真题）在实数a,b,c中，若ab0,bcca0，则下列结论：①|a|>|b|，

②a0，③b0，④c0，正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【分析】根据相反数的性质即可判断①，根据已知条件得出bca，即可判断②③，根据ba，代入已

知条件得出c0，即可判断④，即可求解．

【详解】解：∵ab0

∴ab，故①错误，

∵ab0,bcca0

∴bca，

又ab0

∴a0,b0，故②③错误，

∵ab0

∴ba

∵bcca0

∴acca

∴cc

∴c0，故④正确

或借助数轴，如图所示，

故选：A．

【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的大小比较，借助数轴比较是解题的关键．

3．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（）

A．若ab，则acbc

B．若ab，则acbc

C．两个有理数的积仍为有理数

D．两个无理数的积仍为无理数

【答案】AC

【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了等式及不等式的性质、无理数及有理数的积．利用等

式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、由等式的性质可得，若ab，则acbc，原命题为真命题；

B、由不等式的性质可得，若ab，且c0，则acbc，原命题为假命题；

C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题；

D、两个无理数的积不一定为无理数，比如222，原命题为假命题．

故选：AC．

考点02求不等式（组）的解集

7x89x,①

1．（2023·山东·中考真题）解不等式组x1时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是

x②

2

（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示解集的方法判断即可．

【详解】解：解不等式①得：x4，

解不等式②得：x1，

不等式①②的解集在同一条数轴上表示为：

故选：B．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示

出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点

表示．

2x73x1

2．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组11，并把它的解集表示在数轴上；

x1x1

23

x21

（2）解分式方程1．

2x112x

【答案】（1）4x3，数轴表示见解析；（2）x0

【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方

法是解题的关键；

（1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表

示解集即可；

（2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案．

2x73x1①

【详解】解：（1）11，

x1x1②

23

解不等式①，得x4，

解不等式②，得x3，

所以不等式组的解集是4x3，

不等式组的解集在数轴上表示为：

x21

（2）1

2x112x

去分母，得x22x11，

解得：x0，

经检验：x0是原方程的解，

所以原方程的解是x0．

3．（2023·山东淄博·中考真题）若实数m，n分别满足下列条件：

2

（1）2m175；

（2）n30．

3nm

试判断点P2m3,所在的象限．

2

【答案】点P在第一象限或点P在第二象限

3nm

【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定2m3，的符

2

号确定点P所在象限解题即可．

2

【详解】解：2m175

2

2m157

2

m11

m11或m11

m12，m20；

n30，

解得：n3；

3nm

∴当m2，n3时，2m30，0，点P在第一象限；

2

3nm

当m0，n3时，2m30，0，点P在第二象限；

2

【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐

标特征是解题的关键．

1x

4．（2023·山东临沂·中考真题）（1）解不等式52x，并在数轴上表示解集．

2

a2

（2）下面是某同学计算a1的解题过程：

a1

a2

解：a1

a1

a2(a1)2

①

a1a1

a2(a1)2

②

a1

a2a2a1

③

a1

a1

1④

a1

上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．

【答案】（1）x3（2）从第①步开始出错，过程见解析

【分析】（1）根据解不等式的步骤，解不等式即可；

（2）根据分式的运算法则，进行计算即可．

1x

【详解】解：（1）52x，

2

去分母，得：104x1x，

移项，合并，得：3x9，

系数化1，得：x3；

（2）从第①步开始出错，正确的解题过程如下：

a2a2a1a1

a1

a1a1a1

a2a21

a1a1

1

．

a1

【点睛】本题考查解一元一次不等式，分式的加减运算．熟练掌握解不等式的步骤，分式的运算法则，是

解题的关键．

考点03不等式（组）的整数解

4x2(1x)

①

1．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组x27x并写出它的所有整数解．

②

23

【答案】2x4，整数解为：1，0，1，2，3．

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式

组的解集，即可得到整数解．

【详解】解：解不等式①，得x2，

解不等式②，得x4

原不等式组的解集是2x4

整数解为1，0，1，2，3

13

2xx4

2．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：22并求所有整数解的和．

x312x

【答案】4x1，6

【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取

值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论．

13

2xx4①

【详解】解：22，

x312x②

解不等式①得：x1；

解不等式②得：x4，

∴原不等式组的解集4x1，

∴不等式组所有整数解的和为32106．

x21

3．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组的一个整数解．

2x15

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出

一元一次不等式组的解集为1x3，然后即可得出整数解．

x21①

【详解】解：，

2x15②

由①得：x1，

由②得：x3，

∴不等式组的解集为：1x3，

∴不等式组的一个整数解为：1；

故答案为：1（答案不唯一）.

a2a2

4．（2023·山东枣庄·中考真题）先化简，再求值：a22，其中a的值从不等式组1a5的

a1a1

解集中选取一个合适的整数．

2

【答案】aa1，1

a2

【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．

a3aa2a2

【详解】解：原式222

a1a1a1

2

aaa1a21

a21a2

a2a1

；

a

∵a20,a210，

∴a0,a1，

∵42593，

∴1a5的整数解有：0,1,2，

∵a0,a1，

22211

∴a2，原式．

22

【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是

解题的关键．

考点04已知不等式的解求参数

x1x2

1．（2023·山东聊城·中考真题）若不等式组23的解集为xm，则m的取值范围是．

2xmx

【答案】m1/1m

【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．

x1x2

①

【详解】解：23，

2xmx②

解不等式①得：x1，

解不等式②得：xm，

∵不等式组的解集为：xm，

∴m1．

故答案为：m1．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集

的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．

xa>0,

2．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（）

72x>5

A．－4≤a＜－2B．－3＜a≤－2

C．－3≤a≤－2D．－3≤a＜－2

【答案】D

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答．

xa>0①

【详解】解：

72x>5②

由①得，xa

由②得，x1

因不等式组有3个整数解

ax1

3a2

故选：D．

【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键．

考点05实际应用

1．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，

购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单

价低3万元．

(1)求A型、B型两种机器人的单价；

(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备

1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．

【答案】(1)A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元

(2)方案一：A型机器人1台，B型机器人9台；方案二：A型机器人2台，B型机器人8台；方案三：A型

机器人3台，B型机器人7台

【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是

解题的关键：

（1）设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为x3万元，根据采购了相同数量的A型、B型两

种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，列出方程进行

求解即可；

（2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人10y台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70

万元，列出不等式进行求解即可．

【详解】（1）解：设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为x3万元，

9060

根据题意，得，

xx3

解得x9，

经检验，x9是原分式方程的根，且符合题意，

所以，x36．

所以，A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元．

（2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人10y台，

根据题意，得9y610y70，

10

解得y，

3

∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数

∴y的取值为1，2，3，共有3种方案：

方案一：A型机器人1台，B型机器人9台；

方案二：A型机器人2台，B型机器人8台；

方案三：A型机器人3台，B型机器人7台．

2．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、

航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是

4

用1800元购买航海模型数量的．

5

(1)求航空和航海模型的单价；

(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航

空模型数量不少于航海模型数量的1，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？

2

【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；

(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：

（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为x35元，根据用2000元购买航空模型的数量是用

4

1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可；

5

（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型120m个，先根据航空模型数量不少于航海模

1

型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解

2

即可．

【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为x35元，

200041800

由题意得，，

x5x35

解得x125，

检验，当x125时，xx350，

∴x125是原方程的解，且符合题意，

∴x3590，

答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；

（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型120m个，

1

由题意得，m120m，

2

解得m40，

y1250.8m90120m10m10800，

∵100，

∴y随m增大而增大，

∴当m40时，y有最小值，最小值为10401080011200，

此时有120m80，

答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．

3．（2024·山东·中考真题）根据以下对话，

给出下列三个结论：

①1班学生的最高身高为180cm；

②1班学生的最低身高小于150cm；

③2班学生的最高身高大于或等于170cm．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【答案】D

【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2

班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，根据1班班长的对话，得x180，xa350，然后利用不

等式性质可求出a170，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得b140，yb290，然后利用不等

式性质可求出y150，即可判断②．

【详解】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，

根据1班班长的对话，得x