线性代数课件 第6章 二次型 第2节

第六章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CLinearAlgebra二次型线性代数第二节化二次型为标准形在二次型的讨论中,非常重要的问题之一就是:一个一般形式的实二次型可否等价转化为只包含平方项的二次型?本小节将回答这个问题,并介绍常用的转化方法。

若二次型经过可逆线性变换转化为如下只包含平方项的形式

,（6.4）

则称（6.4）式为二次型的标准形.

易知,标准形对应的矩阵为对角阵.

我们介绍两类化二次型为标准形的常用方法:正交变换法、配方法。

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、配方法一、正交变换法目录/Contents第二节化二次型为标准形三、规范形与惯性指数一、 正交变换法

若线性变换中矩阵C为正交矩阵,则称为正交变换.在各种线性变换中,正交变换具有很多优点,具有几何不变性.

已知实对称矩阵必存在正交矩阵使为对角矩阵.只要作正交变换,二次型就可化为标准形.

定理6.1

任意n元实二次型=,都存在正交变换,使二次型化为标准形

,

其中是矩阵的特征值.

一、 正交变换法例4

用正交变换把下列二次型化为标准形,并写出相应的正交变换,

解

二次型的矩阵为

,

其特征多项式为

所以A的特征值为.

.

一、 正交变换法

将代入方程组

解得两个线性无关的特征向量

再将代入上述方程组解得一个特征向量

一、 正交变换法对施行正交化得

再将单位化得

取正交阵,作正交变换,

则二次型成为标准形.

一、 正交变换法

例5已知二次型在正交变换下得到标准形为,求a的值及正交矩阵Q.

解

二次型的矩阵为

,

根据标准形可知A有零特征值,故,得到.

一、 正交变换法令得特征值为.

将代入

解得特征向量

,

一、 正交变换法分别将代入上述方程组求解得到相应特征向量

.

由于已正交化,只需单位化,得到正交矩阵

二次型经过正交变换X=QY即可得到标准形.

一、 正交变换法例6试把二次曲线转化为标准形.

解

记,其矩阵为.该矩阵的特征多项式为

可知其特征值分别为2,4,对应的特征,.

向量分别为一、 正交变换法记,可知Q矩阵为正交矩阵.令,则故二次曲线方程可转化为,即.根据正交变换的几何不变性可知,二次曲线刻画的是半轴长分别为2,的椭圆形.

,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、配方法一、正交变换法目录/Contents第二节化二次型为标准形三、规范形与惯性指数二、配方法配方法是一种配完全平方的初等方法.下分两种情况举例说明.

1．如果二次型中,某个变量平方项的系数不为零,如有,先将含有的所有项集中,配成平方项;再对其它含平方项的变量配方,直到所有变量都配成平方和的形式.

2．如果二次型中没有平方项,而有某个,则可作线性变换

,

化成含有平方项的二次型,然后再配方.二、配方法例7

用配方法化二次型为标准形.

解因为,.

令即,

二次型化为

.

对配方得二、配方法再对配方得

令,即

,于是二次型化为标准形

.

.

二、配方法将两次线性变换表示为矩阵形式:

,C1=,

,C2=,

其中,故,所以系数

矩阵为=.

二、配方法例8用配方法化二次型为标准形.

解

注意该二次型不包含平方项,因此我们首先进行如下线性变换

,

得到.对配方得,

.

二、配方法令,即,

可得标准形同时也是规范形:.

两次线性变换的矩阵分别为,,

故线性变换的矩阵为

.=

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、配方法一、正交变换法目录/Contents第二节化二次型为标准形三、规范形与惯性指数三、规范形与惯性指数通过例4和例7,对二次型进行不同的可逆线性变换,得到不同形式的标准形:

.

由此可见,一个二次型的标准形不是唯一的.观察得到,在标准形中正平方项的个数相同,同时负平方项的个数也相同.这并非偶然.

三、规范形与惯性指数定义6.3

形如,的标准形称为二次型的规范形.

根据定义,规范形即系数为1,-1,0的标准形.任何一个二次型都可以化为规范形.首先利用正交变换法或者配方法将二次型化为标准形

然后把其中的凑成平方数再作线性变换即可.

三、规范形与惯性指数例9

将例4中的标准形化成规范形.

解

对二次型作线性变换

,

则二次型的规范形为.

三、规范形与惯性指数

定理6.2（惯性定理）任何一个实二次型都可以经过可逆线性变换化为规范形,且规范形是唯一的.（证明从略）

定义6.4

实二次型的规范形中,正平方项的个数p称为正惯性指数,负平方项的个

数称为负惯性指数,符号差.

根据惯性定理,任何实对称矩阵都合同于对角矩阵

且此对角矩阵唯一,其中r是矩阵A的秩,p,r-p分别为正负惯性指数.

正惯性指数与负惯性指数之差称为二次型的三、规范形与惯性指数推论

设A,B均为实对称矩阵,A与B合同当且仅当A与B具有相同的惯性指数.

从化标准形为规范形的过程看到,标准形中正（或负）平方项的个数就是正（或负）惯性指数.虽然一个二次型有不同形式的标准形,但每个标准形中所含正（或负）平方项的个数是一样的.

三、规范形与惯性指数例10设二次型的正负惯性指数均为1,求和常数a.

解

根据惯性指数可得,

的规范形为

,

且秩为2.,

由于秩为2,则,可得或者.若则A的秩为1,矛盾;故.

二次型矩阵为e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF