《等腰三角形的判定（2）》中档提升

1/2《等腰三角形的判定（2）》中档提升1.如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边分别交于点E，F，∠EOF=120°，则∠EOF与△ABC的边所围成的阴影部分的面积是（）A.B.C.D.2.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A.2个B.3个C.4个D.无数个3.如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为_______.4.如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是_______.5.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD.（1）当点E为AB的中点时，如图①，求证：EC=ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图②，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由.6.（2021·绍兴）如图，在△ABC中，∠A=40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD=BC=CE，连接CD，BE.（1）若∠ABC=80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由.

参考答案1.答案：C2.答案：D3.答案：44.答案：65.答案：见解析解析：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°∵点E为AB的中点，∴AE=EB，∠ECB=∠ACB=30°.∵AE=BD，∴EB=BD，∴∠EDB=∠DEB=∠ABC=30°，∴∠ECB=∠EDB，∴EC=ED（2）证明：∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∴△AEF为等边三角形（3）解：EC=ED理由如下：∵∠AFE=∠ABC=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°∵AB=AC，AE=AF=EF，AE=BD，∴EF=BD，AB-AE=AC-AF，即BE=FC.在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴ED=EC.6.答案：见解析解析：（1）∵∠ABC=80°，BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=×（180°-80°）=50°.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°，∴∠ACB=180°-40°-80°=60°.∵CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC=60°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°.（2）∠BEC与∠BDC之间的关系为∠BEC+∠BDC=110°.理由如下：设∠BEC=，∠BDC=，∵∠A=40°，∴=∠A+∠ABE=40°+∠ABE∵CE=BC，∴∠CBE=∠BEC=，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE在△BDC中，BD=BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2+