提升培优练：同底数幂的乘法（解析版）

提升培优练：同底数幂的乘法1．（2022·福建·顺昌县教师进修学校八年级期中）已知，，那么下列关于，，之间满足的等量关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得：，则可得到，即可得到结论；【详解】∵，，，∴，，∴，∴；故选A．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的运算法则的掌握与灵活运用．2．（2022·上海市静安区教育学院附属学校七年级期中）已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则分别运算，即可获得答案．【详解】解：若为奇数，为偶数，则A．，该选项运算错误，不符合题意；B．，该选项运算错误，不符合题意；C．，该选项运算错误，不符合题意；D．，该选项运算正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．3．（2022·浙江·七年级专题练习）代数式55+55+55+55+55化简的结果是（

）A．52 B．55 C．56 D．5+55【答案】C【分析】先把几个相同数的加法化成乘法的运算，再进行同底数幂的乘法运算，即可得出结果．【详解】解：==．故选C．【点睛】本题考查了有理数的乘方，乘方是乘法的特例，解题的关键是把几个相同数的加法转化成乘法的运算．4．（2022·贵州六盘水·九年级期末）我们知道一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若规定一个新数“i”，使其满与，且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，同时原有的运算法则和运算律仍然成立，则的值是（

）A．－i B．i C．－1 D．1【答案】B【分析】根据题设条件，计算出，，，，的值，随后探究出与相等，的整数指数幂出现循环，循环节为4，故，据此计算即可．【详解】解：∵，，，，，…∴，故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确理解题设材料情景，找到循环节，是解题的关键．5．（2022·江苏·七年级专题练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an=am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）•h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（）A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1011 D．2022k【答案】C【分析】根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．【详解】，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，定义新运算，解题关键是熟练掌握运算的性质和法则．6．（2022·江苏·七年级专题练习）W细菌为二分裂增殖（1个细菌分裂成2个细菌），30分钟分裂一次，培养皿上约有个细菌，其中W细菌占其中的，在加入T试剂后，如果该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，那么需要（

）小时T恰好变色．A． B．4 C．8 D．10【答案】B【分析】由题意，先求出W细菌的数量，然后列式进行计算，得到分裂的次数，即可求出时间．【详解】解：由题意，W细菌的数量为：（个），∵该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，∴设分裂n次达到变色的数量，则，∴；∵每30分钟分裂一次，∴（小时）；故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂乘法的应用，以及细胞分裂问题，解题的关键是正确的理解题意．7．（河北·育华中学八年级阶段练习）已知a与b互为相反数且都不为零，n为正整数，则下列两数互为相反数的是(

)A．a2n－1与－b2n－1 B．a2n－1与b2n－1 C．a2n与b2n D．an与bn【答案】B【详解】已知a与b互为相反数且都不为零，可得a、b的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A、C相等，选项B互为相反数，选项D可能相等，也可能互为相反数，故选B.8．（2020·甘肃天水·中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．【详解】解：由题意得：这组数据的和为：∵，∴原式=,故选：A．【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．（2022·上海闵行·七年级期中）计算：__．【答案】【分析】利用两个互为相反数的平方相等和同底数幂相乘的法则进行计算即可．同底数幂相乘的法则是底数不变，指数相加．【详解】．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数的平方，同底数幂相乘．解题关键是熟练掌握两个互为相反数的平方相等和同底数幂相乘的法则．10．（2022·上海市淞谊中学七年级期中）已知：，，则________．【答案】##【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算计算即可得出答案．【详解】∵，，故答案为：．【点睛】本题考查的是幂的运算公式，需要熟练掌握四个幂的运算公式及其逆运算．11．（2022·山东济南·二模）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是_______．【答案】m2﹣m##-m+m2【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．【详解】解：由题意得：2100+2101+2102+…+2199，＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100，＝m2﹣m，故答案为：m2﹣m．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，观察数字变化规律并利用规律用含m的代数式表示出结果是解题的关键．12．（2021·山东泰安·期中）已知，则的值为_______．【答案】10【分析】利用同底数幂的乘法法则进行计算，可得到结果．【详解】解：，，，，故答案为：10．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解决本题的关键．13．（2022·江苏·扬州市梅岭中学七年级阶段练习）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考；如果知道，，能否求呢？对于，规定，，例如：，所以，．记，，，；与之间的关系式为__．【答案】【分析】由题意得：x＝54m，y−3＝54m＋2，然后根据同底数幂的逆用得问题的答案．【详解】解：由题意得：，，，即．故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用，正确理解新规定是解题的关键．14．（2021·山东青岛·七年级期中）观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是______．【答案】2【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，从而可以求得到的末位数字是多少．【详解】∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，∵2017÷4=504余1，∴的末位数字与相同，即为3，∵，2024÷4=506，∴的末位数字与相同，即为1，∴因为的值为负数，故末位数为11-3=8，故答案为：8.【点睛】本题考查尾数的特征，解题的关键是通过观察题目中的数据，发现其中的规律．15．（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S＝1+2+22+23+…+2100，则2S＝2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S＝2101﹣1，所以S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+…+3100的值是__________________．【答案】（3101﹣1）【分析】仿照例子中的方法步骤推理计算即可．【详解】解：令S＝1+3+32+…+3100，则3S＝3+32+…+3101，∴3S﹣S＝3101﹣1，∴S＝（3101﹣1），故答案为：（3101﹣1）．【点睛】本题考查有理数的乘方和幂的运算，读懂例题，认真分析，找准规律，利用类比的方法解决问题是解答的关键．16．（2020·浙江·诸暨市浣江初级中学七年级期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简，________．【答案】【分析】先具体计算出得出面积规律，表示，再设①，两边都乘以，得到②，利用①②，求解，从而可得答案．【详解】设①②①②得：故答案为：【点睛】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．17．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学七年级阶段练习）（1）已知，求n的值．（2）已知，其中a、b、c为正整数，求的值．【答案】（1）1（2）1024【分析】（1）将变形为，将分别变形为，然后可计算，即可确定n的值；（2）将3996分解质因数，分别求出a、b、c的值，然后代入计算的值即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴∴，∴，∴；（2）∵，，∴，，，∴．【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算以及代数式代入求值的知识，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．18．（2022·全国·八年级课时练习）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值．【答案】(1)x=5(2)x=2【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．【详解】（1）因为2×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因为3x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．19．（2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．(1)计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．(2)观察（1）中的结果，则log24、log216、log264之间的关系是．(3)猜想：logaM+logaN=（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想．【答案】(1)2；4；6(2)log24+log216=log264；(3)logaM+logaN=loga（MN）．证明见解析【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案；（2）观察可得：三数2，4，6之间满足的关系式为：log24+log216=log264；（3）根据同底数幂的乘法法则解答即可．（1）解：log24=2；log216=4；log264=6，故答案为：2；4；6．（2）解：∵2+4=6，∴log24+log216=log264．（3）解：logaM+logaN=loga（MN）．证明：设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，故可得MN=ab1•ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（MN），即logaM+logaN=loga（MN）．【点睛】本题考查整式的混合运算、同底数幂的乘法，对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．20．（2022·江苏·宜兴市和桥镇第二中学七年级阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．(1)根据上述规定，填空：①（5，125）＝，（﹣2，﹣32）＝；②若（x，）＝﹣3，则x＝．(2)若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系(3)若（m，8）＋（m，3）＝（m，t），求t的值．【答案】(1)①3；5；②2(2)a＋b＝c(3)24【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算；②根据新定义和负整数指数幂计算；（2）根据题意得：4a=5，4b=6，4c=30，根据5×6=30列出等式即可得出答案．（3）根据题意得：mp＋q＝mr，再根据同底幂的乘法逆运算