2026年高考数学一轮复习专题4.6 解三角形（举一反三讲义）（全国）（原卷版）

专题4.6解三角形（举一反三讲义）

【全国通用】

【题型1余弦定理解三角形】.................................................................................................................................5

【题型2正弦定理解三角形】.................................................................................................................................5

【题型3正、余弦定理判定三角形形状】.............................................................................................................6

【题型4正弦定理判定三角形解的个数】.............................................................................................................7

【题型5证明三角形中的恒等式或不等式】.........................................................................................................7

【题型6和三角形面积有关的问题】.....................................................................................................................8

【题型7求三角形中的边长或周长的最值或范围】.............................................................................................9

【题型8距离、高度、角度测量问题】...............................................................................................................10

【题型9求解平面几何问题】...............................................................................................................................11

【题型10解三角形与三角函数的交汇问题】.....................................................................................................13

1、解三角形

考点要求真题统计考情分析

解三角形是高考的重点、热点内

(1)掌握正弦定理、余弦定理2023年新课标I卷、Ⅱ卷：第17

容，是每年高考必考内容之一.从近几

及其变形题，10分

年的高考情况来看，正弦定理、余弦

(2)理解三角形的面积公式并2024年新课标I卷、Ⅱ卷：第15

定理解三角形在选择题、填空题中考

能应用题，13分

查较多，也会出现在解答题中，在高

(3)能利用正弦定理、余弦定2024年全国甲卷（文数）：第12

考试题中出现有关解三角形的试题大

理解决一些简单的三角形度题，5分

多数为较易题、中档题.对于解答题，

量问题2024年全国甲卷（理数）：第11

一是考查正弦定理、余弦定理的简单

(4)能够运用正弦定理、余弦题，5分

应用；二是考查正、余弦定理与三角

定理等知识和方法解决一些2025年全国二卷：第5题，5分

形面积公式的综合应用，有时也会与

与测量和几何计算有关的实2025年北京卷：第16题，13分

三角函数、平面向量等知识综合命题，

际问题2025年天津卷：第16题，14分

难度中档，需要学生灵活求解.

知识点1解三角形几类问题的解题策略

1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即

根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角

函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

2．判定三角形形状的途径：

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘

隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

3．对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形

不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b

和A，解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0；

②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；

③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形

内角和等于”等，此时需进行讨论.

(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，

解三角形为例，用几何法探究如下：

图形关系式解的个数

①a=bsinA；

一解

②a≥b

A

为

锐

角

bsinA<a<b两解

a<bsinA无解

A

一解

为a>b

钝

角

或

直

角a≤b无解

4．与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

知识点2测量问题的基本类型和解决方案

1．测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：

类型简图计算方法

测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理

A,B间不可达

也不可视得

测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+C)，

B,C与点A可

由正弦定理得

视但不可达

测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC

C,D与点A,B的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在

均可视不可达△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，

用余弦定理求AB.

2．测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：

类型简图计算方法

底部

测得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.

可达

测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.

点B与

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形

C,D共线

得AB的值.

底

部

不

可

达

点B与测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.

C,D不在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三

共线角形得AB的值.

3．测量角度问题的解决方案

测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角

等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及

有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

知识点3解三角形的应用的解题策略

1．平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

2．解三角形与三角函数的综合应用

解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：

(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；

(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.

【方法技巧与总结】

1．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A+B)=sinC；

(2)cos(A+B)=-cosC；

(3)；

(4).

2．三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

.

【题型1余弦定理解三角形】

【例1】（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（）

A．B．△𝐴�C．��=2��=1+D．3𝐴=6�=

45°60°120°135°

【变式1-1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线

1

交边于点，则（）△𝐴�𝐴=4��=6cos�=8△𝐴�

𝐴���𝐴=

A．B．C．D．

12839

【变式1-25】（2025·黑龙江吉5林·模拟预测）在5中，已知32是边上的中线，

则（）△𝐴���=5,𝐴=3,��=7,𝐴��

𝐴=

A．B．C．D．

1519715

【变式1-34】（2025·山东枣庄2·二模）在中，内2角的对边分别为7，且，

22

则（）△𝐴��,�,��,�,��=3,�+9=�+3�

�A=．B．C．D．

πππ2π

6433

【题型2正弦定理解三角形】

【例2】（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则（）

ππ

△𝐴���=2∠�=3∠�=6��=

A．B．C．D．

【变式2-1】3（2025·河南郑州2·三模）在△ABC中，2已3知，，22，则角C为（）

A．45°B．105°C．45°或�13=5°30°�=D．215�°或=2105°

【变式2-2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在中，是角所对的边长.若，则

2�cos�

（）△𝐴��,�,��,�,��:�:�=4:5:6�=

A．B．C．D．

13

2122

【变式2-3】（2025·湖北·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，

π2

3

则（）△𝐴��������=�=3��

sin�+sin�=

A．B．C．D．

763

2223

【题型3正、余弦定理判定三角形形状】

【例3】（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，

且，则是（）△𝐴��cos�+�cos�=�

�A=．�c锐os角�三角△形𝐴�B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形

【变式3-1】（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，

则（）△𝐴��������=7�=3�=5

A．为锐角三角形B．为直角三角形

C．△𝐴�为钝角三角形D．△𝐴�的形状无法确定

【变式3-△2】（𝐴2�024·山东·二模）在中，设内角△𝐴�的对边分别为，设甲：，

设乙：是直角三角形，则△（𝐴）��,�,��,�,��−�=�(cos�−cos�)

A．△甲�是��乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【变式3-3】（24-25高一下·天津滨海新·期末）在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

，则的形状是（△）𝐴��cos�−

�cosA�．=等si腰n三�+角�形+�△𝐴�B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

【题型4正弦定理判定三角形解的个数】

【例4】（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A．，，△𝐴�B．，，

C．�=72，�=50�，=135°D．�=20，�=40，�=31°

【变式4-�1】=（30202�5·=河2北0秦3皇岛�·=一1模20）°已知�的=内8角�=14的对�边=分3别0°为，且满足

π

的三角形有两个，则的取值范围为（）△𝐴��,�,��,�,��=22,�=4

A．�B．C．D．

【变式4-(20】,2（22)024·湖北·模(拟2预2,测4)）在中，(已2,4知)，(2，,22)，若存在两个这样的三角

π

形，则的取值范围是（）△𝐴�𝐴=���=22�=4

𝐴A�．�B．C．D．

【变式4-32】（2,+20∞24·湖北黄冈0·,一2模2）已知的内2,2角2所对的边分别为2,2，，下面可

π

3

使得有两组解的的值为（）△𝐴��,�,��,�,��=,�=3

△𝐴��

A．B．C．D．

33

234e

【题型5证明三角形中的恒等式或不等式】

【例5】（2025·北京东城·一模）在中.

7

(1)求的值及的面积；△𝐴��=6,�−�=1,sin�=4

(2)求证�：△�.��

�=2�

【变式5-1】（2024·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且

．△𝐴��,�,��,�,�

(1�)证+明�c：os�=�．cos�−cos�

�=2�

(2)若是锐角三角形，求的取值范围．

�

△𝐴��

【变式5-2】（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c．

(1)请用正弦定理证明：若，则△�；��

(2)请用余弦定理证明：若�>�，则�>�．

�>��>�

【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在

B，E之间，△．𝐴�

(1)求证：𝐴⋅��⋅��=𝐴．⋅𝐴⋅𝐴

若sin∠，��求�证=：sin∠�𝐴．

(2)22

𝐴𝐴2

22

𝐴⊥����+𝐴=1−sin∠�𝐴

【题型6和三角形面积有关的问题】

【例】（黑龙江齐齐哈尔三模）在中，角所对的边分别为，若，，

62025··222

�+�−�1

则的面积为（）△𝐴��,�,��,�,�cos�=4sin�=3

△A�．��B．C．D．

1112

6323

【变式6-1】（2025·辽宁·二模）在等边三角形中，D、E、F分别在边、、上，且

．则三角形面积的最大值是𝐴（�）𝐴������=3,��=

°

2,∠���=90𝐴�

A．B．C．D．

73

3

【变式6-2】（2025·海南·模拟2预3测）设锐角的内7角3A，B，C的对边分别6为3a，b，c，且满足

．△𝐴�(�−2�)cos�+

�cos�=0

(1)求A；

(2)若，且，求的面积．

�=22�cos�=�sin�△𝐴�

【变式6-3】（2025·北京·高考真题）在中，．

1

△𝐴�cos�=−3,�sin�=42

(1)求c的值；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．

条件①：；条件②：；条件③：的面积为△．𝐴�

102

�=6�sin�=3△𝐴�102

【题型7求三角形中的边长或周长的最值或范围】

【例7】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，

则的取值范围为（）△𝐴��,�,��,�,��=2,�=2�

�+A．�B．C．D．

2,102+22,102+22,4+234+23,10

【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知锐角的内角的对边分别为，若，则

�3�−�

△𝐴��,�,��,�,�sin2=4�

的取值范围是（）

�

�

A．B．

C．3,2D．1,3

【变式7-2】2（,22025·湖北武汉·模拟预测）已知分2别,为3锐角三个内角的对边，且

.�,�,�△𝐴��,�,��cos�+

(13)求�sin；�−�−�=0

(2)若�；求周长的取值范围.

�=3△𝐴�

【变式7-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且

．△𝐴������3�cos�=�cos�+

(�1c)o求s�；

tan�

(2)若，且，求的取值范围．

ππ

�∈4,3�=1�+�

【题型8距离、高度、角度测量问题】

【例8】（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.

甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年

（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选

取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，

在点测得甲秀�楼顶端的仰角为，则甲秀�楼的�高度约为（∠�参�考�数=据23：°∠𝐴�=30°，𝐴=11.2m）

（�）�72.4°tan72.4°≈3.15sin53°≈0.8

A．B．C．D．

【变式8-210】m（2025·安徽黄山21·m二模）如图1，为了2测2量m两山顶，间的距23离m，飞机沿水平方向在，两点

进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如�图2�所示．已知，��，

∘∘

�，���，，则（）∠𝐴�=30∠���=45

∘∘

∠���=60∠𝐴�=90𝐴=25��=

A．B．C．D．10

【变式8-52】（3−20125·上海松江5·二2模）在定向越野活5动中3，+测1得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离

°

为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人8间0的距离为km.

°

【变式8-3】（2024·宁夏4银0川·三模）某同学为测量塔的高度7km，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测

量基点与，现测得�在�点测得塔顶A的仰角为，则塔高

�m�.∠�𝐴=15°,∠���=135°,𝐴=20�,�60°𝐴=

【题型9求解平面几何问题】

【例9】（2025·西藏拉萨·二模）如图，四边形中，，，，，

则（）𝐴𝐴𝐴⊥��𝐴⊥��∠�𝐴=∠�𝐴��=𝐴

cos∠�𝐴=

A．B．C．D．

3121

【变式9-13】（2025·辽宁·三3模）如图，在四边形3中，2，则

∘

的最小值为（）𝐴𝐴��⊥��,𝐴=4,��=𝐴,∠�𝐴=60𝐴

A．2B．C．D．

【变式9-2】（2025·陕西咸阳·6模拟预测）如图，在四2边2形中，23

π

𝐴𝐴�=6,𝐴=3,𝐴=33,𝐴=3,∠�=

.

2∠𝐴�

(1)求的长；

(2)求四��边形的面积.

𝐴𝐴

【变式9-3】（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，

222

，．𝐴𝐴𝐴=��+��−��⋅��2𝐴=3����=3+

π

3∠���+∠�𝐴=∠�𝐴+∠�𝐴=2

(1)求的周长

(2)求四△边𝐴形�的面积．

𝐴𝐴

【题型10解三角形与三角函数的交汇问题】

【例10】（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，

�sin�−sin�

△𝐴��=1�−�=sin(�+

，.

(�1))求�≠�的外接圆半径；

(2)若△𝐴�为锐角三角形，求周长的取值范围.

△𝐴�△𝐴�

【变式10-1】（2025·河北·模拟预测）在中，内角的对边分别为

.△𝐴��,�,��,�,�,�sin�−�sin�=2�−

(�1)s求in�；

�

(2)若，求的取值范围.

6−2

�=22�+�

注：.

11π6−2

sin12=4

【变式10-2】（24-25高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图

��

象如图所示．�(�)=2sin(��+�)�>0,−2<�<2

（1）求函数的解析式；

�(�)

（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，

33

求．△𝐴��������(�)=3�=2△𝐴�2

�

【变式10-3】（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆

ππ

𝐴𝐴∠�𝐴=2�=6△𝐴�

半径为4.

(1)若，，求的面积；

(2)若��=4，2求𝐴=2的2最大值△.�𝐴

2π

�=3��−𝐴

一、单选题

1．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（）

2

4

A．2B．4△𝐴�C．��=1𝐴=2Dc．os�=−��

2．（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边3上的点，且23，则

（）△𝐴������=𝐴,𝐴=2��=3𝐴sin�=

A．B．C．D．

2363

3366

3．（2025·湖南邵阳·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，

3

且，则此的面积为△（𝐴�）������4�=5�cos�=5

�A=．21276△𝐴�B．88C．44D．22

4．（2025·四川达州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使

唯一确定的是（）△𝐴�������△𝐴�

A．，，B．，，

C．�=45，°�=，60°�=75°D．�=3，�=4�，=30°

5．（20�2=5·内3蒙古�赤=峰2·三�模=）60在°中，角A，�B=，1C2的�对=边1分2别�是=a1，2b0，°c，且，，

41

则的形状是（）△𝐴��+�=3�cos�=6

△A�．�等�腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定的

6．（2025·安徽蚌埠·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵

爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，

．则（）△𝐴���=2

33

sin∠�𝐴=14��=

A．B．C．D．

7．（20325·云南昆明·一模）2如图，测量河对岸的塔3高时，可以选取与塔2底在同一水平面内的两个测量

基点与.现测得，，𝐴米，在点测得塔顶的�仰角，则塔高

约为（��）（单位∠：��米�，=75°∠���）=45°𝐴=30��∠�𝐴=60°𝐴

2≈1.414

A．30.42B．42.42C．50.42D．60.42

8．（2024·全国·模拟预测）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，

22

则的取值范围是（）△𝐴��−�=��

�

�+�

A．B．C．D．

32

3,22−3,12−3,2−12+1,3+2

二、多选题

9．（2025·甘肃金昌·三模）在中，，，M为BC的中点，，则下列说法

正确的是（）△𝐴�𝐴=7��=1∠���=60°

A．B．

3

��=2��=4

C．D．C为钝角

13

cos�=14

10．（2025·河北·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为、、.若，，则（）

π

△𝐴��������=4∠�=3

A．时，只存在一个B．时，的面积为

C．�=3时，△𝐴�是锐角三角形D．�=23时，△𝐴�外接圆周长2为3

11．（20�2=5·3河北3邢台△·三�模��）的内角，，�=所4对的3边分△别�是��，，，则下列16说π法正确的有（）

A．若，则△𝐴是�钝角三�角形�����

222

B．若�+�<，�，△𝐴�，则的周长为

π

�=13�=3�=3