2026年高考数学一轮复习专题4.3 三角恒等变换（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题4.3三角恒等变换（举一反三讲义）

【全国通用】

【题型1两角和与差的三角函数公式】.................................................................................................................4

【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】.........................................................................................5

【题型3辅助角公式的运用】.................................................................................................................................7

【题型4二倍角公式及其应用】.............................................................................................................................9

【题型5三角函数式的化简】...............................................................................................................................10

【题型6给角求值型问题】...................................................................................................................................11

【题型7给值求值型问题】...................................................................................................................................12

【题型8给值求角型问题】...................................................................................................................................14

【题型9半角公式、万能公式及应用】...............................................................................................................17

【题型10三角恒等变换的综合应用】.................................................................................................................19

1、三角恒等变换

考点要求真题统计考情分析

三角恒等变换是三角函数的重

(1)会推导两角差的余弦公式要工具，是高考数学的热点、重点

(2)会用两角差的余弦公式推内容.从近几年的高考情况来看，主

2023年新课标I卷：第8题，5分

导出两角差的正弦、正切公式要考察三角函数的化简求值、三角

2023年新课标Ⅱ卷：第7题，5分

(3)掌握两角和与差的正弦、余函数的变换等内容，一般以单选题、

2024年新课标I卷：第4题，5分

弦、正切公式，并会简单应用多选题、填空题的形式出现，试题

2024年新课标Ⅱ卷：第13题，5分

(4)能运用两角和与差的正弦、难度中等或偏下；但在有关三角函

2025年全国一卷：第11题，6分

余弦、正切公式推导二倍角的数的解答题中有时也会涉及到三角

2025年全国二卷：第8题，5分

正弦、余弦、正切公式，并进恒等变换、合并化简，此时试题难

行简单的恒等变换度中等，复习时需要同学熟练运用

公式，灵活变换.

知识点1三角恒等变换思想

1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式

(1)角的代换

代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为

突出.

常用的角的代换形式：

①α=(α+β)-β；

②α=β-(β-α)；

③；

④；

⑤；

⑥.

(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要

特别注意的是“1”的代换.

(3)辅助角公式

通过应用公式[或将形如asinα

+bcosα(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或].这

种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称

为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.

知识点2二倍角公式

1．二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

函数公式β=α简记符号

正弦sin2α=2sinαcosαS(α+β)S2α

2222

余弦cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinαC(α+β)C2α

正切T(α+β)T2α

2．二倍角公式的变形应用

(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方变形

.

(3)因式分解变形

.

(4)升幂公式

；.

知识点3三角恒等变换的应用技巧

1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如

和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓

展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

3．辅助角公式的运用技巧

对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚.

4．角的变换问题的解题策略：

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所

求角”变成“已知角”.

(3)常见的角变换：，，，

，等.

知识点4三角恒等变换几类问题的解题策略

1．给值求值问题的解题思路

给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相

应角的三角函数值，代入即可.

2．给角求值问题的解题思路

给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间

总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得

解.

3．给值求角问题的解题思路

给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.

4．三角恒等变换的综合应用的解题策略

三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为

f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解

决相关问题.

【方法技巧与总结】

1．.

2．降幂公式：，.

3．，，.

【题型1两角和与差的三角函数公式】

【例1】（2025·广东·模拟预测）已知，则（）

11

cos�+�=3,cos�cos�=2cos�−�=

A．B．C．D．

2211

3−33−3

【答案】A

【解题思路】根据和差角的余弦公式即可求解.

【解答过程】

11111

∵cos�+�=cos�cos�−sin�sin�=3,cos�cos�=2,∴sin�sin�=2−3=6,

.

112

∴cos�−�=cos�cos�+sin�sin�=2+6=3

故选：A.

【变式1-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）已知，，则

4

（）sin(�+�)=2cos(�−�)tan�+tan�=3tan�⋅tan�=

A．3B．C．D．

11

−33−3

【答案】D

【解题思路】利用两角和差公式可得，结合题意即可得结果.

【解答过程】因为，则tan�+tan�，=2+2tan，�tan�

4

又因为tan�+tan�=3，cos�≠0cos�≠0

则sin(�+�)=2cos(�−�)①，

等式sin①�的co两s�边+同co时s�除si以n�=2cos�cos�+2sin�sin�

cos�cos�

可得，解得.

41

tan�+tan�=2+2tan�tan�=3tan�tan�=−3

故选：D.

【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）已知（），则（）

π32πππ

sin�+6=3−3≤�≤3sin�+3=

A．B．C．D．

3−63+663

6633

【答案】B

【解题思路】通过及两角和的正弦公式即可求解.

πππ

�+3=�+6+6

【解答过程】由可得，

2πππππ

−3≤�≤3−2≤�+6≤2

又，则，

π3π6

sin�+6=3cos�+6=3

故

πππππππ

sin�+3=sin�+6+6=sin�+6cos6+cos�+6sin6

.

33613+6

故=选3：×B2.+3×2=6

【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）已知，，则（）

A．B．sin�C．+�=2sin�sin�taDn．�tan�=−2tan�+�=

44

−33−22

【答案】A

【解题思路】根据两角和的正弦公式和同角的商数关系可得，进而，结合两角

tan�+tan�

tan�tan�=2tan�+tan�=−4

和的正切关系计算即可求解.

【解答过程】由，得，

等式两边同时除s以in(�+�)=，2得sin�sin�sin，�cos�+sin�cos�=2sin�sin�

11

sin�sin�tan�+tan�=2

即，又，所以，

tan�+tan�

tan�tan�=2tan�tan�=−2tan�+tan�=−4

所以.

tan�+tan�4

tan(�+�)=1−tan�tan�=−3

故选：A.

【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】

【例2】（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（）

A．B．3

4sin15°cos15°2cos46°cos16°−sin46°sin16°

C．D．

1+tan15°

1−tan15°8cos10°cos20°cos40°

【答案】C

【解题思路】应用二倍角公式、和角公式及特殊角的三角函数值，把各项表达式转化为特殊角的三角函数值，

判断结果.

【解答过程】A、利用二倍角公式，

sin2�=2sin�cos�

可得：，A错误.

∘∘∘∘∘1

4sin15cos15=2⋅2sin15cos15=2sin30=2⋅2=1

B、利用余弦和角公式，

得：cos�+�=cos�cos�−sin�sin�因此原式为：

∘∘∘∘∘∘∘

cos46cos16−sin46sin16=，coBs错46误.+16=cos62

∘

C2c、os利62用正≈切2⋅和0.角49公65式=0.939≠3，令，

tan�+tan�∘∘

tan�+�=1−tan�tan��=45,�=15

则，正确

∘C.

1+tan15

∘∘∘∘

tan45+15=tan60=3=1−tan15

、利用递推积化和差公式，结合，得：

D∘∘

sin80cos10

∘∘∘∘∘

sin8�=8sin�cos�cos2�cos4�8cos10cos20cos40=sin10=sin10≈

.

D5.6错71误≠.3

故选：C.

【变式2-1】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（）

sin160°cos10°+cos20°cos80°=

A．B．C．D．

3311

【答案】C2−22−2

【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式及和角的正弦求解.

【解答过程】.

1

sin160°cos10°+cos20°cos80°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=2

故选：C.

【变式2-2】（2025·湖南·模拟预测）已知，且，则（）

ππ1

�∈0,2,�∈0,2tan�+tan�=cos�

A．B．

ππ

2�−�=22�+�=2

C．D．

ππ

2�−�=22�+�=2

【答案】D

【解题思路】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质

sin�+�=cos�

得或，即可得解.

ππ

�+�=2−��+�+2−�=π

【解答过程】因为，所以，

1sin�1−sin�

即tan�+tan�=，c整os�理得cos�=cos�，

即sin�cos�=cos�−sin�c，os所�以sin�+或�=cos�，

πππ

sin�+�=sin2−��+�=2−��+�+2−�=π

即或（舍去）.

ππ

2�+�=2�=2

故选：D.

【变式2-3】（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（）

tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=

A．B．1C．D．

323

【答案】D333

【解题思路】根据两角和的正切公式化简即可．

【解答过程】因为，

tan20°+tan40°

所以tan60°=tan20°+40°=1−，tan20°tan40°=3

所以tan20°+tan40°=31−tan20°tan40°

tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=31−，tan20°tan40°+3tan20°tan40°

=故选3：−D．3tan20°⋅tan40°+3tan20°tan40°=3

【题型3辅助角公式的运用】

【例3】（2025·吉林·模拟预测）函数的最小正周期为（）

2�

��=2sin�−4+3cos2�

A．B．C．D．

4π2

2π3π3π

【答案】C

【解题思路】由余弦二倍角公式及辅助角公式化简，再由周期公式即可求解.

【解答过程】

2ππ

��=2sin�−4+3cos2�=1−cos2�−2+3cos2�=1−sin2�+3cos2�

，

312�

=22c，os2�−2s，in2�+1=2sin2�+3+1

∴故�选=：2C．∴�=π

【变式3-1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（）

π

3cos�−sin�=1cos2�+3=

A．B．C．D．

3113

【答案】B−2−222

【解题思路】利用辅助角公式得，又，利用二倍角的余弦公式

π1ππ

cos�+6=2cos2�+3=cos2�+6

即可求解.

【解答过程】由得，

ππ1

3cos�−sin�=12cos�+6=1⇒cos�+6=2

又因为，

2

ππ2π11

故选：Bc.os2�+3=cos2�+6=2cos�+6−1=2×2−1=−2

【变式3-2】（2025·广东湛江·二模）若函数在上单调递增，则当取得最大值时，

（）�(�)=3sin�+2cos�[0,�]�

cos�=

A．B．C．D．

313213313213

【答案】D−13−131313

【解题思路】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.

【解答过程】，

�(�)=3sin�+2cos�=13sin(�+�)

其中,且为锐角，

213313

因为sin�在=13上>单0,调co递s�增=，且13>0�，

所以�(�)[0,�]，则的最�大+值�为∈�,�，+�

ππ

�,�+�⊆0,2�2−�

此时．

π213

故选：coDs�.=cos2−�=sin�=13

【变式3-3】（2025·山东济宁·一模）若函数的两个零点分别为和，

则（）�(�)=2sin�+cos�−3,�∈(0,π)�1�2

12

coAs．(�−�)=B．C．D．

2112

−5−555

【答案】C

【解题思路】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得

π

�(�)�=2−

，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值.

�1+�2�1−�2

2cos2

【解答过程】函数，其中锐角由确定，

1

�(�)=2sin�+cos�−3=5sin(�+�)−3�tan�=2

由，得，而，

3

�(�1)=�(�2)=0sin(�1+�)=sin(�2+�)=5�1,�2∈(�,π+�)

因此，即，则，

π�1+�2π�1+�23

�1+�+�2+�=π�=2−2sin(�1+2−2)=5

即，于是，

π�1−�23�1−�23

sin(2−2)=5cos2=5

所以.

2�1−�21

cos(�1−�2)=2cos2−1=5

故选：C.

【题型4二倍角公式及其应用】

【例4】（2025·甘肃白银·一模）已知，则（）

π1π

cos�−6=3sin2�+6=

A．B．C．D．

2277

3−39−9

【答案】D

【解题思路】根据诱导公式和二倍角余弦公式求解即可.

【解答过程】.

πππππ2π

sin2�+6=cos2−2�+6=cos3−2�=cos2�−3=2cos�−6−1

.

127

故=选2×：D3.−1=−9

【变式4-1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（）

π211π

sin�−24=3cos2�+12=

A．B．C．D．

5757

−9−999

【答案】A

【解题思路】由，利用二倍角的余弦公式即可求解.

11πππ

cos2�+12=cos2�−24+π=−cos2�−24

【解答过程】由，

11πππ2π5

cos2�+12=cos2�−24+π=−cos2�−24=−1+2sin�−24=−9

故选：A.

【变式4-2】（2025·山东泰安·模拟预测）若，且，则（）

π

�∈2,π51+cos2�−10sin2�=3tan2�=

A．B．C．D．

177

−732425

【答案】C

【解题思路】利用二倍角公式对已知条件进行化解，结合齐次式可求，然后根据正切的二倍角公式可求

.tan�

【ta解n2答�过程】

（∵）51+cos2�−1，0sin2�=3

1323

∴21+cos2�−sin2�=10∴cos�−2sin�cos�=10

1−2tan�3

22

∴1+tan�=10⇒3tan�+20tan�−7=0

（）

舍.

12tan�2×−77

22

31−tan�1−(−7)24

故∴t选an：�C=.,tan�=−7∴tan2�===

【变式4-3】（2025·山西·三模）已知，，则（）

ππ

�∈−2,2sin2�=cos�cos2�=

A．B．C．D．1

13

【答案】A233

【解题思路】由二倍角公式可得，据此可得答案.

π

�=6

【解答过程】由，故，.

1ππ1

sin2�=cos�⇒sin�=2�=6cos2�=cos3=2

故选：A．

【题型5三角函数式的化简】

【例5】（2025·江西·一模）化简（）

A．B．tan35°+tan1C0．0°1+tan35°tan80°=D．

【答案】Dtan65°−tan65°−1

【解题思路】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可.

【解答过程】由两角和的正切公式得

tan35°+tan100°=tan(100°+35°)1−tan35°tan100°

=由诱tan导13公5式°1得−tan35°tan100°=−1×1−tan35°tan，100°=tan35°tan100°−1

则原式可化为tan80°=tan(180°−100°)=−tan100°，故D正确.

故选：D.tan35°tan100°−1−tan35°tan100°=−1

【变式】（河北模拟预测）化简：（）

5-12025··°

cos40

°

A．B．1+sCin．40=D．

°°°°

【答案】Atan25sin25tan65sin65

【解题思路】利用二倍角公式、同角三角函数关系弦化切，及两角差的正切公式和即可求解.

°

【解答过程】1=tan45

°2°2°°°°°°.

cos40cos20−sin20cos20−sin201−tan20tan45−tan20°

°°°2°°°°°

1+sin40=sin20+cos20=sin20+cos20=1+tan20=1+tan45⋅tan20=tan25

故选：A.

【变式】（安徽六安模拟预测）（）

5-22025··∘∘

sin50+sin70

∘

sin80=

A．B．C．D．

23321

【答案】B

【解题思路】利用两角和与差的正弦公式、诱导公式化简可得结果.

【解答过程】

∘∘∘∘∘∘

sin50+sin70sin60−10+sin60+10

∘∘∘

sin80=sin90−10

∘∘∘∘∘∘∘∘.

sin60cos10−cos60sin10+sin60cos10+cos60sin10

∘∘

=cos10=2sin60=3

故选：B.

【变式】（河北沧州二模）化简（）

5-32025··∘∘∘

cos20−sin30cos40

∘∘

sin40cos60=

A．1B．C．2D．

23

【答案】B33

【解题思路】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和角即可进行化简.

【解答过程】40°

∘∘∘∘∘∘∘∘∘.

cos20−sin30cos40cos60−40−sin30cos40sin60sin40

∘∘∘∘∘∘∘

sin40cos60sin40cos60sin40cos60

故选：B.===tan60=3

【题型6给角求值型问题】

【例】（高三上重庆沙坪坝阶段练习）求值：（）

624-25··°

1−3tan10

°

1−cos20=

A．1B．C．D．

【答案】D2322

【解题思路】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公

sin10°

tan10°cos10°

式进行化简求值.

【解答过程】原式sin10°

1−3cos10°cos10°−3sin10°

2

=2sin10°=2sin10°cos10°，

2cos10°+60°22cos70°22cos90°−20°22sin20°

2

=sin20°=sin20°=sin20°=sin20°=22

故选：2D.

【变式6-1】（2025·广东汕头·二模）若，则实数的值为（）

∘∘

�sin160+tan20=3�

A．B．C．D．

43

【答案】A443233

【解题思路】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.

【解答过程】由已知可得�

∘∘∘∘∘∘∘

3−tan203cos20−sin202sin60cos20−cos60sin20

∘∘∘∘1∘

�=sin180−20=sin20cos20=2sin40

∘.

4sin40

∘

sin40=4

故=选：A.

【变式】（高一上广东茂名期末）的值为（）

6-224-25··∘∘

sin110cos250

2∘2∘

cos25−sin155

A．B．C．D．

1133

【答案】A−222−2

【解题思路】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.

【解答过程】原式11

∘∘∘∘.

−sin70cos702sin1402sin401

2∘2∘∘∘

故选：A.=cos25−sin25=−cos50=−sin40=−2

【变式】（重庆模拟预测）式子化简的结果为（）

6-32025··∘2∘2∘

2sin183cos9−sin9−1

∘∘

cos6+3sin6

A．B．C．D．

1∘

212sin92

【答案】B

【解题思路】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.

【解答过程】原式

∘2∘2∘2∘2∘

2sin183cos9−sin9−cos9−sin9

∘∘

=2sin6+30

∘2∘2∘∘∘∘.

2sin182cos9−2sin92sin18cos18sin36

∘∘∘

故=选：B.2sin36=sin36=sin36=1

【题型7给值求值型问题】

【例7】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值