从计数单位出发理解新课标提出的“整体化思考、一致性表达”

从计数单位出发，理解新课标提出的“整体化思考、一致性表达”摘要：2022版义务教育数学课程标准中提出对教材进行钻研和使用遵循“整体性、阶段性和一致性”的原则；整体性要求教师要研究教材的整体结构、沟通知识之间的内在联系。阶段性要求教师研究教学阶段性特点，掌握各段内容的具体教学要求；一致性要求教师研究教材的具体内容，把握知识内在一致性。本文以苏教版教材为例，从计数单位出发，理解新课标提出的“整体化思考、一致性表达”。一、缘起：体现课程内容的整体性、一致性是新课标的基本要求《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：数学课程内容的一大特点就是整体性[1]。教材编写与教学设计应当突出核心内容，呈现不同数学知识之间的实质性关联，展现内容与观念之间的融合，体现课程内容的整体性。例如，在小学“数与代数”领域，要让学生初步体会数是对数量抽象，感悟数的概念的一致性，形成数感和符号意识。因此，教师在教学中要理解数的概念与数的运算之间的联系[2]。二、苏教版小学数学教材中《数与代数》内容编排逻辑数与代数领域中包括数的认识、数的运算、常见的量、解决实际问题和解决问题的策略、探索规律六大模块。小学阶段数与运算是最重要的，学生首先要学会认识数，然后进行数的加减乘除运算。（一）教材的编排特点1、以“以“数的认识和运算”为主线，把数与代数、图形与几何、统计与概率等各部分内容按其内在联系有机结合编排[3]。”例如先让学生学会两三位数乘一位数，再学习长方形和正方形的周长和面积。2、由浅入深，循序渐进，适当分段，螺旋上升。例如，在数的认识中，先认识10以内的数字，再认识11-20,100以内的数字，然后再进行万以内和多位数的认识。整数，分数和小数的认识亦是如此。3、凸显数学知识核心内容，突出教学重点，分散教学难点。4、精心设计数学活动展开的线索，增强教学的“现场感”[4]。例如，苏教版教材中有许多卡通人物。因此，在课堂中老师不能直接把话全说出来，要给足学生思考的空间，例如“你听懂了吗”。5、重建解决实际问题的教学，提高学生解决问题的策略运用水平。三、数与代数的整体性与一致性数与代数是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题[5]。“数与运算”包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算力，掌握算法，数与运算之间有密切的关联，学生经历由数量到数的形成火车，也是理解和掌握数的概念，掌握算法，初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识，感悟数的运算以及运算之间的关联，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识[6]。学习之间的内容相互关联，由浅入深，层层递进，螺旋上升，构成相对系统的知识结构。数的认识的整体性与一致性，即整数、分数、小数教材编排的整体性和表达的一致性；也涉及数的运算，即整数、小数、分数运算的整体性与一致性[7]。“数量关系”主要是用符号包括数或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律，学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和惩罚模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。例如先学会公式：举例=速度×时间的模型，然后再通过具体的题目来使用模型。（一）数的认识与运算的整体性思考在数的认识的最初阶段，教师需要借助现实生活和背景引导学生认识整数、分数、小数，通过数的实际意义来引导学生掌握整数分数和小数的运算。但是，在小学数学的教学中如果始终不脱离现实生活情境，不让学生感悟到整数、分数和小数的整体性，就会使学生认为数学知识的学习是零散的，数学的方法是独立的。不仅不利于学生的记忆，也不利于学生把握数学的本质，形成符号意识和抽象思维有关的核心素养。下面以第一到第三学段的数的运算为例。小学第一学段的数与运算要求学生能用书表示物体的个数或事物的顺序，能认、读、写万以内的数；能说出不同数位上的数表示的数值，形成初步的数感和符号意识，并且能描述四则运算的含义[8]。第二学段要求学生能在具体的情境中认识万以上的数，了解十进制计数法；探索并掌握多位数的乘除法，感悟从未知到已知的转化[9]，并初步认识小数分数，理解四则运算的意义，探索运算律，会用数描述生活情境中的事物特征。第三学段要求学生能找出2，3,5的倍数。在1-100的自然数中：能找出10以内自然数的所有倍数，110以内两个自然数的工鞥避暑和最小公倍数；能找出一个自然数的所有因数，两个自然数的公因数和最大公因数等等。从第一到第三学段，数与运算的难度逐步提升，认识的数字逐渐增大，算法也逐渐复杂，充分体现了数的运算的整体性。

（二）数的认识与运算的一致性思考对于数学而言，整数、小数和分数的表达是具有共性的，即是借助计数单位进行表达的，更确切地说，数都是“多少个计数单位”的述说。例如自然数56述说的是5个十和6个一；小数0.9述说的是9个0.1；分数的计数单位是1/n（其中n=1,2,3……），分数2/3述说的是2个1/3。因此，两个数的大小比较是要在同样的计数单位上进行的。再例如，数的加法。虽然可以通过各种实际意义说明加法的算法道理，但要一般性地论证算法的合理性，则要回归到自然数的公理体系，归结于自然数加1的运算，等价于后继数的表达。如5+2等于5+（1+1）=（5+1）+1=6+1=7，表述的是通过“加1运算”。上述过程说明自然数的加法与自然数的运算是一致的，即在相同的计数单位上进行；整数，小数的加法同理，都是相同计数单位上个数的累加，这样又能得到通常的算法：整数加减法，末尾对齐，相同数位相加减；小数加减法，分母相同的分数加减法，分母不变，分子相加减[10]；分母不同的分数加减法，先通分，再加减。这就是，算律确定算理、算理确定算法的过程，同时亦体现了数的运算的一致性。四、展望“数与代数”部分是义务教育阶段数学课程的重要内容，贯穿于一至九年级。它主要包括数的概念、数的运算、数量的估计；字母表示数，代数式及其运算等等。由于部分内容跨度大、内容多，把握好核心概念就显得尤为突出。如对“数感”和“符号意识”的培养是这部分内容所承担的中重要任务。因此，将计数单位运用到加减乘除中，在培养学生的“数感”和“符号意识”中扮演着重要的角色。（一）加减法中整体性与一致性的教学建议1、从整体性出发，沟通现实情境与加法运算之间的联系在教学加法时，先出示两个数量之间的动态连环画，再出示同一数量的动态变化图，让学生说说“两幅画有什么相同的地方”，从而初步感受它们都表示把两部分合在一起。接着再鼓励学生用学具摆出两个部分合在一起的意思，然后再认识加法算式、加号及其读、写法。最后，黄老师再让学生思考：3+2在这两幅画中不同的含义。2、引导学生经历建构加法模型的过程在教学加法时，先进行实物操作，让学生用自己的方法将两个实物合在一起，可以是动作、圈起来、加法算式等方法，初步认识加法表示合起来。接着让学生思考怎么不同的事物都能运用2+1来表示，从而让学生体会加法表示的一类事物，建立加法模型。3、理解减法是加法的逆运算在中年级教学中，教师要不断引导学生理解：减法是已知两个加法的和与其中一个加法，求另一个加法的运算。为了深入理解减法的意义，可以利用加法、减法互为逆运算作为突破口，让学生通过归纳、推理，概括出减法的意义。另外，教师可以引导学生弄清在加法中已知的，在减法中是未知的；在加法中是未知的，在减法中则变成已知的。也就是说，在减法中的已知条件和问题与加法中的已知条件和问题正好是相反的。（二）加减法中整体性与一致性的教学建议1、站在加法的船上看乘法乘法概念的建立与同数连加有着密切的联系，而同数连加算式的意义也是导出乘法意义的缘由。教学中，要让学生切实理解相同加数的概念、同数连加的意义。这可以选择生活中需要用加法解决的实际问题，列出加法算式，再把这些加法算式进行分类、观察、比较，发现有一类加法算式的加数比较特殊，从而出示“相同加数”的概念[11]；并且使学生能看得出每个加法算式中的相同加数是几，数出“相同加数的个数”，为建立乘法概念奠定知识上的基础。2、将平均分的过程与除法算式及含义建立充分的联系由于除法概念比较抽象，因此除法的初步认识往往会从分物活动引入，使学生理解“除”