版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题6.4数列的通项公式的求法(举一反三讲义)
【全国通用】
【题型1观察法】.......................................................................................................................................................3
【题型2由an与Sn的关系求通项】.........................................................................................................................3
【题型3累加法】.......................................................................................................................................................4
【题型4累乘法】.......................................................................................................................................................5
【题型5构造法】.......................................................................................................................................................6
【题型6由等差数列的通项公式求数列通项】.......................................................................................................7
【题型7由等比数列的通项公式求数列通项】.......................................................................................................7
【题型8倒数法】.......................................................................................................................................................9
【题型9正负、奇偶讨论型求通项】.....................................................................................................................10
【题型10利用数列前n项积求通项】...................................................................................................................10
【题型11双数列的通项问题】...............................................................................................................................11
1、数列的通项公式的求法
考点要求真题统计考情分析
2023年新高考I卷:第20题,12
分数列是高考的重点、热点内容.从近
2023年新高考Ⅱ卷:第18题,12几年的高考情况来看,数列的通项公式
分的求解是高考考查的热点,主要以解答
(1)了解数列的通项公式和
2023年全国甲卷(理数):第17题的形式考查,一般出现在第一小问中,
递推关系
题,12分难度不大;有时也会出现在选择题、填
(2)掌握求数列的通项公式
2024年全国甲卷(文数):第17空题中,与数列的基本量、数列的求和
的常用方法
题,12分等内容综合考查;数列的通项公式的求
2024年全国甲卷(理数):第18法多种多样,需要灵活求解,一轮复习
题,12分时要加强此方面的训练.
2025年全国二卷:第9题,6分
知识点1数列的通项公式
1.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数
列的通项公式.
2.数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推
公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上,递推公式和通项公式一样,都是关于项的序号n的恒等式.如果
用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列,必须给出:
基础——数列{an}的第1项(或前几项);
递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1()(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用等
式来表示.
知识点2数列的通项公式的常见求法
1.观察法:
已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列
的一个通项.
2.定义法:
已知数列的通项公式的类型,对于含参的通项公式,根据数列的定义结合已知条件,求出通项公式中的参
数,从而得到此数列的通项.
3.公式法:
由an与Sn的关系求通项:
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式,再求通项公式.
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.
方向2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
4.累加法:
形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和,特别注意能消去多少项,保留多少项.
5.累乘法:
形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式,可用累乘法,也可用
代入求出通项.
6.构造法:
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式,构成新的等比数列,求出通项公式,求变
量x是关键.
②形如an+1=pan+qn+c的数列,引入参数x,y,构造新的等比数列{}.
nn+1
③形如an+1=pan+q的数列,两边同除以q,构造新的数列{}.
④倒数法:形如(A,B,C为不为0的常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列
求解.
7.等差数列的通项公式法:
(1)如果给定的数列是等差数列,求出首项和公差,直接利用等差数列的通项公式求解;
(2)如果给定的数列可以构造出等差数列,先求出构造的等差数列的通项公式,在通过递推关系式进行变形
转化,得到所求数列的通项公式.
8.等比数列的通项公式法:
(1)如果给定的数列是等比数列,求出首项和公比,直接利用等比数列的通项公式求解;
(2)如果给定的数列可以构造出等比数列,先求出构造的等比数列的通项公式,在通过递推关系式进行变形
转化,得到所求数列的通项公式.
【题型1观察法】
【例1】(2025·贵州黔南·二模),数列1,,7,,31,的一个通项公式为()
*
A.�∈�B.−3−15⋅⋅⋅
���π
��=2−1cos�π��=1−2sin2
C.D.
���
【变式1-�1�】=(224-−251高二下·江西景德镇·期末)若数��列=−的1前14−项2依次为20,11,2,,则数列的一
个通项公式为()��−7��
A.B.
�+1
C.��=(−1)⋅2�D.��=−9�+29
【变式1-�2�】=(92�02+5·1全1国·模拟预测)公元前6世纪�,�希=腊9�的−毕1达8哥拉斯学派研究数的概念时,常常把数描绘
成沙滩上的小石子,用它们进行各式各样的排列和分类,叫作“形数”.用3颗石子可以摆成一个正三角形,
同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形.毕达哥拉斯学派把1,等叫作“三角数”或“三
角形数”.同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数.如3,图6,1所0示即摆出的六边形数,
那么第20个六边形数为()
A.778B.779C.780D.781
【变式1-3】(24-25高二下·陕西渭南·阶段练习)数列的通项公式为().
−1,3,−5,7,−9,⋯���∈N+
A.B.C.D.
���
−2�+1(−1)⋅2�+1(−1)⋅(2�+1)(−1)⋅(2�−1)
【题型2由an与Sn的关系求通项】
【例2】(2025·四川·模拟预测)已知数列的前项和为,若,则数列的通项公式为()
�−11
�������=2−2��
..
A1B
�−1
�2,�=1,�
.�=�.�=2
C2,�≥2D
�−2�−2
【变式2-�1�】(=2(0−252·云)南·一模)已知数列的前项��和=2满足,若数列满足,
*
,则数列的通项公式为��()�����=2��−1�∈N���1=2
��+1A=.��+����B.C.D.
�−1��−1�
【变式2-�2�】=(22025+·福1建福州·模拟��预=测2)+已1知数列的��前=n2项和−为1,且��=2,−1.
∗
(1)求数列的通项公式;������=2��−��∈N
(2)设��,求数列的前n项和.
��=���+1����
【变式2-3】(2025·河南许昌·模拟预测)已知各项均为正数的数列的前n项和为,且
.����2��=(��+2)(��−
(11))求的通项公式;
�
(2)若�,求数列的前n项和.
��
��
��=3����
【题型3累加法】
【例3】(2025·四川·模拟预测)已知数列中,,(,且),则通
*
项公式()���1=1��=��−1+3�−2�∈��≥2
�
.�=.
A2B2
3�−�+23�−3�+2
22
C.D.
�3�−1�−13�+2
22
【变式3-1】(2025高三·全国·专题练习)已知数列满足,,则()
11
���1=3��+1=��+�−�+1��=
A.B.C.D.
1111
4+�4−�2+�2−�
【变式3-2】(2025·四川绵阳·模拟预测)已知数列的首项为,前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;��2�����+1+2=��+3�+��
�
(2)已知�,记数列的前项和为,求证:.
111
��=6��+6�−20�����−2≤��<−3
【变式3-3】(2025·甘肃白银·模拟预测)已知首项为1的正项数列满足.
22
(1)求的通项公式;����+1−��=8�
�
(2)令�(),求数列的前项和.
�+1
1���*
��=2��+��+1�∈������
【题型4累乘法】
【例4】(24-25高二下·广东深圳·阶段练习)在数列中,,,,则数列
�−1
�1��−1�
的通项公式为()��=1�=���≥2,�∈N�
A.B.C.D.
1212
2�−1��+1��+1
【变式4-1】(2024·四川泸州·三模)已知是数列的前项和,,,则
.������1=1���+1=�+2��
�
【�变=式4-2】(24-25高三上·山东日照·开学考试)已知数列满足,.
��+1�+1
���1=2��=�
(1)求数列的通项公式;
�
(2)设�,求数列的前项和.
4
��=��⋅��+2�����
【变式4-3】(24-25高三下·江苏南通·阶段练习)已知数列的前项和为.
*
(1)求数列的通项公式;�����,�1=4,2��=�+1��,�∈�
�
(2)设�,数列的前项和为,证明:.
��
�
��=3�������<3
【题型5构造法】
【例5】(24-25高二下·山西晋中·阶段练习)若数列的首项,且满足,则数列
的通项公式为()���1=1��+1=2��+1��
A.B.
��−1
C.��=2−1D.��=2−1
�+1�
��2−1�2
【变式5-1】=(2025高二·全国·专题练习)已知数列�=满足−2,且,则的通项公式为
2
��+1�1�
()��=3�+4�=1�
A.B.
2�−12�+2
��=12−3��=3
C.D.
2�−12�−1
��
【变式5-�2】=(12202−5·1福1建×龙3岩·二模)已知数列�的前=8项+和3为,且满足,
,.��������+1−(�+1)��=�(�+1)
∗
(�1)∈求�数列�1=的1通项公式;
�
(2)若�,求数列的前项和.
�2��+2
��=(−1)⋅����+1�����
【变式5-3】(2024·全国·模拟预测)已知数列的前n项和.
(1)求的通项公式;����=2��−�
�
(2)证明�:.
�1+1�2+1�3+1��+15
�2+�4+�6+⋯+�2�<4
【题型6由等差数列的通项公式求数列通项】
【例6】(2025·辽宁·二模)已知数列满足,,则()
A.B.���C1.=3��+1=��+4D�.�+1+4��=
2
【变式6-�1】�=(22�02+5·1广东惠州��·模=拟2�预测)已知等差�数�=列4�的−1首项,��公=差4�+1,在中每相邻两
�1�
项之间都插入3个数,组成一个新的等差数列,则�()�=2�=12�
A.B�.���=
C.4�−2D.3�−1
【变式6-32�】(2025·重庆沙坪坝·模拟预测)已知等2差�数+列1满足公差.
(1)求;���>0,�3+�8=4,�4�7=−5
�
(2)记数�列的前项和为,若,求数列中的最小项.
��
�������=�����
【变式6-3】(2025·广东佛山·三模)已知数列,满足=,且+是关于的方程
2
��1��1�
=的两个根.���1−�,���−2�−�
(1)0求;
�
(2)设�=,求数列的前21项和.
2�
����+−1�����21
【题型7由等比数列的通项公式求数列通项】
【例7】(2025·江西·模拟预测)已知数列的首项.
∗
(1)求数列的通项公式;���1=2,��+1=3��+2�∈�
(2)若��恒成立,求实数的取值范围.
∗
�≤���+1�∈��
为奇数
【变式7-1】(2025·河北秦皇岛·模拟预测)已知数列满足,,是数列
为偶数
��+2,�
���1=1��+1=����
�
的前项和,记.2�,�
(1)求�证:数列��=�2是�等比数列;
(2)求数列的�通�+项2公式;
(3)求.��
�20
【变式7-2】(2025·海南·模拟预测)已知数列的前n项和为,且,,
∗
(1)求数列的通项公式;������=2��−��∈�
�
(2)设�,记数列的前项和为,证明:.
11
��=log2��+1⋅log2��+1+1�����2≤��<1
【变式7-3】(2025·新疆喀什·三模)记数列的前n项和为,已知
5
������+��=2�+2
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列�的�通−项2公式;
��
【题型8倒数法】
【例8】(2025高二下·全国·专题练习)在数列中,,,,则()
2��
{��}�1=1��+1=2+���∈�+��=
A.B.C.D.
22��+1�+2
��=�+1��=�+1��=2���=2�+1
【变式8-1】(24-25高二上·江苏南通·期中)已知数列中,且,则为()
3��∗
���1=1��+1=��+3�∈��16
A.B.C.D.
1111
6432
【变式8-2】(2025·陕西咸阳·模拟预测)已知数列满足,.
1��
���1=3��+1=3��+1
(1)求的通项公式;
(2)求数��列的前项和.
����+1���
【变式8-3】(2025·山西·模拟预测)已知数列中,,.
��∗
���1=1��+1=��+2(�∈�)
(1)求;
�
(2)数列�满足,设为数列的前项和,证明:.
2���
����=��+1�������<4
(3)设,证明:数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
4−��
��=�+2��
【题型9正负、奇偶讨论型求通项】
【例9】(2025·重庆·三模)数列满足,,又,,
,则()����+3=��+��+1−��+2�≥1�∈��1=1�2=1�3=
2A.B.
C.�2024=−1011D.�2024=−1012
【变式9-�12】(02520=251·0陕1西3汉中·模拟预测)设正项数列�202的5=前10项14和为,且,.
*
(1)求数列的通项公式;���������+1=4��−1�∈��1=1
�
(2)已知�,求数列的前项和的取值范围.
��
�
��=2���
【变式9-2】(2024·内蒙古呼和浩特·一模)已知数列的前项和为且
2
.�����,�1=3��+��+1=2�+6�+
*
(31,)�求∈N的值;
(2)求数�9列的通项公式.
��
【变式9-3】(2024·河北沧州·三模)已知数列满足,,.
����+1�∗
��2=4�1=2�∈�
(1)求数列的通项公式;
�
(2)设�,数列的前项和为,求证:.
��−1
��=��+1������−2<��<�
【题型10利用数列前n项积求通项】
【例10】(2025高三·全国·专题练习)设为数列的前n项积,且,,,
1
���1��
则()���≠0�=3�=2�−1⋅�
�
�A=.B.C.D.
2�+12�−12�2�
2�−12�+12�−12�+1
【变式10-1】(2025·宁夏石嘴山·一模)已知为数列的前n项积,若,则数列的通项公
12
�������
式()��−=1�
��A=.B.C.D.
3−2�−3+2�3−4�1−2�
【变式】(高二下贵州遵义阶段练习)已知数列的前项积(),等差数
10-224-25··n��−1
2∗
��
列中,,.��=3�∈N
(1)求��数列�1、=2�的3通+项�5公=式16;
(2)令����,求数列的前n项和.
��
��=log3��+2����
【变式10-3】(2025·河南·二模)记为正项数列的前项积,且,,.
2
(1)求数列的通项公式;������1=2�2=4����+2=2��+1
��
(2)表示不超过的最大整数,如,,设,求数列的前项和.
��
��2.1=2−1.5=−2��=3��2�
【题型11双数列的通项问题】
【例11】(2025·海南·模拟预测)已知数列的前项和,数列是首项为的等比数列,
2
且有.�����=13�−���−2
(1)求�数3列+�3=0的通项公式;
(2)设��, �求�数列的前项和.
��=��⋅�������
【变式11-1】(2025·重庆·模拟预测)已知数列的前项和满足;等比数列
2
满足.�������=2�+2���
(1)求�1�5=和�8�2=的64通项公式;
��
(2)若��,求.
∗2
�∈N,��<2025<��+1�1+�2+⋯+��
【变式11-2】(2025·广东广州·三模)已知数列满足,,且对任意的,,都有
*
.���1=1�3=6�≥2�∈N��+1+
(�1�)−设1=2��+3,求证:数列是等差数列,并求出其的通项公式;
(2)求数��列=��+的1−通�项�公式;��
�
(3)若�,求的前n项和.
2131
��=3��+3�−2����
【变式11-3】(2025·湖南·三模)已知数列满足,数列满足,且.
��+1��
���1=3,��+1=2��+1���1=12�+1=2�−1
(1)求的通项公式;
(2)求��的通项公式;
(3)将��中的项按从小到大的顺序插入中,且在任意的之间插入项,从而构成一个新数
列�,�设的前项和为,求.����,��+12�−1
��������100
一、单选题
1.(2025·江苏连云港·模拟预测)已知等比数列的前项和为,且,则()
A.B.C.�����D.��+1=2��+2��=
�−1�−1��
2.(20225×·江3西新余·模拟预3测×)2已知数列满足3,且2,则数列的通项公式为()
��+1���
A.��B.3−3=2�1=1��
��−1
C.��=2−1D.��=log32+1
��+1
��=log32+1��=log32−1
3.(2025·海南·模拟预测)已知数列满足,且,则()
1
����+1��+2+��+1��=2����+2�1=1,�2=4�2025=
A.B.C.D.
1111
2024202560756073
.(湖北模拟预测)已知数列前项和为,,,,则的最大值为
42025··2
4�
��1�+1����
()����=1�−�=1�=��
A.4B.9C.10D.12
5.(2025·天津和平·三模)定义新运算:,已知数列满足,
��*��+11
=��−�����∈��1=−14=
,则()��2��2
10�A.23�910=B.225C.211D.261
6.(2025·河南信阳·模拟预测)已知等比数列的公比,前项和为,若,
成等差数列,则()���≠1����3=143�1,�2,−�3
�
A.�=B.C.D.
�−1��−1�
7.(2022×5·山3东济南·模拟预3测)将数列与2数×列−3的公共项从−小3到大排列得到新数列,则
�
(){2�−1}{3�−2}{�}
10
1
��+1
�=1��=
A.B.C.D.
106015
616166
8.(2025·重庆·二模)设等差数列的前项和为,且,将数列与数
2
�����+1�+1�
列的公共项从小到大排列得�到新数列�,则��>(0,4�)=�−2�+1�
20
22
��
�−1� �=1�=
A.B.C.D.
40802040
41412121
二、多选题
9.(2025·全国二卷·高考真题)记为等比数列的前n项和,为的公比,,若,
则()��������>0�3=7,�3=1
A.B.
11
�=2�5=9
C.D.
10.(20�255·=江8西·三模)已知数列的前项和为�,�数+列S�=8的前项积为,,
�+1
则()�������+3���,�1=1��+1−��=2
A.B.
�+1
�3=12��=2−3
..
CD��+3
2
5�
11.(20�25=·河10北9石家庄·三模)已知数列的前�n项=和2为,则下列说法正确的是()
2
��
A.数列为递减数列��=−�+11�
��
�
B.当且仅当时,取得最大值
C.�=5��
D.��=−是2
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2023年辖县辅警协警招聘考试备考题库及答案详解(典优)
- 2023年鹤岗辅警招聘考试真题含答案详解(黄金题型)
- 平顶山工业职业技术学院《古籍装帧》2024-2025学年第一学期期末试卷
- 上海市普陀区市级名校2026届高二上生物期末监测模拟试题含解析
- 湖南省洞口县2025-2026学年高二生物第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析
- 邯郸幼儿师范高等专科学校《建筑结构与抗震》2024-2025学年第一学期期末试卷
- 2025年广东省佛山市莘村中学高二上数学期末教学质量检测试题含解析
- 2026届新疆克拉玛依市北师大克拉玛依附中生物高二第一学期期末复习检测试题含解析
- 2025年上海市浦东新区川沙中学高二化学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析
- 湖南省常德市芷兰实验学校2025年高二上化学期末达标检测试题含解析
- 职业技术学校《烹饪原料学》课程标准
- 餐饮禁烟管理制度
- 共情能力在提高医疗服务满意度中的作用
- 机械设备安装施工技术措施总结
- 喜人奇妙夜小品《越狱的夏天》剧本
- 商务英语入门知识课件
- 2025年中国驴养殖市场供需格局及未来发展趋势报告
- 开宠物店创新创业计划
- 2025南京大学辅导员考试题库
- 学校垃圾清运合同
- 《皮肤肿物切除术》课件
评论
0/150
提交评论