2026年高考数学一轮复习专题6.4 数列的通项公式的求法(举一反三讲义)(全国)(原卷版)_第1页
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文档简介

专题6.4数列的通项公式的求法(举一反三讲义)

【全国通用】

【题型1观察法】.......................................................................................................................................................3

【题型2由an与Sn的关系求通项】.........................................................................................................................3

【题型3累加法】.......................................................................................................................................................4

【题型4累乘法】.......................................................................................................................................................5

【题型5构造法】.......................................................................................................................................................6

【题型6由等差数列的通项公式求数列通项】.......................................................................................................7

【题型7由等比数列的通项公式求数列通项】.......................................................................................................7

【题型8倒数法】.......................................................................................................................................................9

【题型9正负、奇偶讨论型求通项】.....................................................................................................................10

【题型10利用数列前n项积求通项】...................................................................................................................10

【题型11双数列的通项问题】...............................................................................................................................11

1、数列的通项公式的求法

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷:第20题,12

分数列是高考的重点、热点内容.从近

2023年新高考Ⅱ卷:第18题,12几年的高考情况来看,数列的通项公式

分的求解是高考考查的热点,主要以解答

(1)了解数列的通项公式和

2023年全国甲卷(理数):第17题的形式考查,一般出现在第一小问中,

递推关系

题,12分难度不大;有时也会出现在选择题、填

(2)掌握求数列的通项公式

2024年全国甲卷(文数):第17空题中,与数列的基本量、数列的求和

的常用方法

题,12分等内容综合考查;数列的通项公式的求

2024年全国甲卷(理数):第18法多种多样,需要灵活求解,一轮复习

题,12分时要加强此方面的训练.

2025年全国二卷:第9题,6分

知识点1数列的通项公式

1.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数

列的通项公式.

2.数列的递推公式

(1)递推公式的概念

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推

公式.

(2)对数列递推公式的理解

①与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上,递推公式和通项公式一样,都是关于项的序号n的恒等式.如果

用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列,必须给出:

基础——数列{an}的第1项(或前几项);

递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1()(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用等

式来表示.

知识点2数列的通项公式的常见求法

1.观察法:

已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列

的一个通项.

2.定义法:

已知数列的通项公式的类型,对于含参的通项公式,根据数列的定义结合已知条件,求出通项公式中的参

数,从而得到此数列的通项.

3.公式法:

由an与Sn的关系求通项:

(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式,再求通项公式.

(2)Sn与an关系问题的求解思路

方向1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.

方向2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.

4.累加法:

形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和,特别注意能消去多少项,保留多少项.

5.累乘法:

形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式,可用累乘法,也可用

代入求出通项.

6.构造法:

①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式,构成新的等比数列,求出通项公式,求变

量x是关键.

②形如an+1=pan+qn+c的数列,引入参数x,y,构造新的等比数列{}.

nn+1

③形如an+1=pan+q的数列,两边同除以q,构造新的数列{}.

④倒数法:形如(A,B,C为不为0的常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列

求解.

7.等差数列的通项公式法:

(1)如果给定的数列是等差数列,求出首项和公差,直接利用等差数列的通项公式求解;

(2)如果给定的数列可以构造出等差数列,先求出构造的等差数列的通项公式,在通过递推关系式进行变形

转化,得到所求数列的通项公式.

8.等比数列的通项公式法:

(1)如果给定的数列是等比数列,求出首项和公比,直接利用等比数列的通项公式求解;

(2)如果给定的数列可以构造出等比数列,先求出构造的等比数列的通项公式,在通过递推关系式进行变形

转化,得到所求数列的通项公式.

【题型1观察法】

【例1】(2025·贵州黔南·二模),数列1,,7,,31,的一个通项公式为()

*

A.�∈�B.−3−15⋅⋅⋅

���π

��=2−1cos�π��=1−2sin2

C.D.

���

【变式1-�1�】=(224-−251高二下·江西景德镇·期末)若数��列=−的1前14−项2依次为20,11,2,,则数列的一

个通项公式为()��−7��

A.B.

�+1

C.��=(−1)⋅2�D.��=−9�+29

【变式1-�2�】=(92�02+5·1全1国·模拟预测)公元前6世纪�,�希=腊9�的−毕1达8哥拉斯学派研究数的概念时,常常把数描绘

成沙滩上的小石子,用它们进行各式各样的排列和分类,叫作“形数”.用3颗石子可以摆成一个正三角形,

同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形.毕达哥拉斯学派把1,等叫作“三角数”或“三

角形数”.同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数.如3,图6,1所0示即摆出的六边形数,

那么第20个六边形数为()

A.778B.779C.780D.781

【变式1-3】(24-25高二下·陕西渭南·阶段练习)数列的通项公式为().

−1,3,−5,7,−9,⋯���∈N+

A.B.C.D.

���

−2�+1(−1)⋅2�+1(−1)⋅(2�+1)(−1)⋅(2�−1)

【题型2由an与Sn的关系求通项】

【例2】(2025·四川·模拟预测)已知数列的前项和为,若,则数列的通项公式为()

�−11

�������=2−2��

..

A1B

�−1

�2,�=1,�

.�=�.�=2

C2,�≥2D

�−2�−2

【变式2-�1�】(=2(0−252·云)南·一模)已知数列的前项��和=2满足,若数列满足,

*

,则数列的通项公式为��()�����=2��−1�∈N���1=2

��+1A=.��+����B.C.D.

�−1��−1�

【变式2-�2�】=(22025+·福1建福州·模拟��预=测2)+已1知数列的��前=n2项和−为1,且��=2,−1.

(1)求数列的通项公式;������=2��−��∈N

(2)设��,求数列的前n项和.

��=���+1����

【变式2-3】(2025·河南许昌·模拟预测)已知各项均为正数的数列的前n项和为,且

.����2��=(��+2)(��−

(11))求的通项公式;

(2)若�,求数列的前n项和.

��

��

��=3����

【题型3累加法】

【例3】(2025·四川·模拟预测)已知数列中,,(,且),则通

*

项公式()���1=1��=��−1+3�−2�∈��≥2

.�=.

A2B2

3�−�+23�−3�+2

22

C.D.

�3�−1�−13�+2

22

【变式3-1】(2025高三·全国·专题练习)已知数列满足,,则()

11

���1=3��+1=��+�−�+1��=

A.B.C.D.

1111

4+�4−�2+�2−�

【变式3-2】(2025·四川绵阳·模拟预测)已知数列的首项为,前项和为,且.

(1)求数列的通项公式;��2�����+1+2=��+3�+��

(2)已知�,记数列的前项和为,求证:.

111

��=6��+6�−20�����−2≤��<−3

【变式3-3】(2025·甘肃白银·模拟预测)已知首项为1的正项数列满足.

22

(1)求的通项公式;����+1−��=8�

(2)令�(),求数列的前项和.

�+1

1���*

��=2��+��+1�∈������

【题型4累乘法】

【例4】(24-25高二下·广东深圳·阶段练习)在数列中,,,,则数列

�−1

�1��−1�

的通项公式为()��=1�=���≥2,�∈N�

A.B.C.D.

1212

2�−1��+1��+1

【变式4-1】(2024·四川泸州·三模)已知是数列的前项和,,,则

.������1=1���+1=�+2��

【�变=式4-2】(24-25高三上·山东日照·开学考试)已知数列满足,.

��+1�+1

���1=2��=�

(1)求数列的通项公式;

(2)设�,求数列的前项和.

4

��=��⋅��+2�����

【变式4-3】(24-25高三下·江苏南通·阶段练习)已知数列的前项和为.

*

(1)求数列的通项公式;�����,�1=4,2��=�+1��,�∈�

(2)设�,数列的前项和为,证明:.

��

��=3�������<3

【题型5构造法】

【例5】(24-25高二下·山西晋中·阶段练习)若数列的首项,且满足,则数列

的通项公式为()���1=1��+1=2��+1��

A.B.

��−1

C.��=2−1D.��=2−1

�+1�

��2−1�2

【变式5-1】=(2025高二·全国·专题练习)已知数列�=满足−2,且,则的通项公式为

2

��+1�1�

()��=3�+4�=1�

A.B.

2�−12�+2

��=12−3��=3

C.D.

2�−12�−1

��

【变式5-�2】=(12202−5·1福1建×龙3岩·二模)已知数列�的前=8项+和3为,且满足,

,.��������+1−(�+1)��=�(�+1)

(�1)∈求�数列�1=的1通项公式;

(2)若�,求数列的前项和.

�2��+2

��=(−1)⋅����+1�����

【变式5-3】(2024·全国·模拟预测)已知数列的前n项和.

(1)求的通项公式;����=2��−�

(2)证明�:.

�1+1�2+1�3+1��+15

�2+�4+�6+⋯+�2�<4

【题型6由等差数列的通项公式求数列通项】

【例6】(2025·辽宁·二模)已知数列满足,,则()

A.B.���C1.=3��+1=��+4D�.�+1+4��=

2

【变式6-�1】�=(22�02+5·1广东惠州��·模=拟2�预测)已知等差�数�=列4�的−1首项,��公=差4�+1,在中每相邻两

�1�

项之间都插入3个数,组成一个新的等差数列,则�()�=2�=12�

A.B�.���=

C.4�−2D.3�−1

【变式6-32�】(2025·重庆沙坪坝·模拟预测)已知等2差�数+列1满足公差.

(1)求;���>0,�3+�8=4,�4�7=−5

(2)记数�列的前项和为,若,求数列中的最小项.

��

�������=�����

【变式6-3】(2025·广东佛山·三模)已知数列,满足=,且+是关于的方程

2

��1��1�

=的两个根.���1−�,���−2�−�

(1)0求;

(2)设�=,求数列的前21项和.

2�

����+−1�����21

【题型7由等比数列的通项公式求数列通项】

【例7】(2025·江西·模拟预测)已知数列的首项.

(1)求数列的通项公式;���1=2,��+1=3��+2�∈�

(2)若��恒成立,求实数的取值范围.

�≤���+1�∈��

为奇数

【变式7-1】(2025·河北秦皇岛·模拟预测)已知数列满足,,是数列

为偶数

��+2,�

���1=1��+1=����

的前项和,记.2�,�

(1)求�证:数列��=�2是�等比数列;

(2)求数列的�通�+项2公式;

(3)求.��

�20

【变式7-2】(2025·海南·模拟预测)已知数列的前n项和为,且,,

(1)求数列的通项公式;������=2��−��∈�

(2)设�,记数列的前项和为,证明:.

11

��=log2��+1⋅log2��+1+1�����2≤��<1

【变式7-3】(2025·新疆喀什·三模)记数列的前n项和为,已知

5

������+��=2�+2

(1)证明:数列是等比数列;

(2)求数列�的�通−项2公式;

��

【题型8倒数法】

【例8】(2025高二下·全国·专题练习)在数列中,,,,则()

2��

{��}�1=1��+1=2+���∈�+��=

A.B.C.D.

22��+1�+2

��=�+1��=�+1��=2���=2�+1

【变式8-1】(24-25高二上·江苏南通·期中)已知数列中,且,则为()

3��∗

���1=1��+1=��+3�∈��16

A.B.C.D.

1111

6432

【变式8-2】(2025·陕西咸阳·模拟预测)已知数列满足,.

1��

���1=3��+1=3��+1

(1)求的通项公式;

(2)求数��列的前项和.

����+1���

【变式8-3】(2025·山西·模拟预测)已知数列中,,.

��∗

���1=1��+1=��+2(�∈�)

(1)求;

(2)数列�满足,设为数列的前项和,证明:.

2���

����=��+1�������<4

(3)设,证明:数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.

4−��

��=�+2��

【题型9正负、奇偶讨论型求通项】

【例9】(2025·重庆·三模)数列满足,,又,,

,则()����+3=��+��+1−��+2�≥1�∈��1=1�2=1�3=

2A.B.

C.�2024=−1011D.�2024=−1012

【变式9-�12】(02520=251·0陕1西3汉中·模拟预测)设正项数列�202的5=前10项14和为,且,.

*

(1)求数列的通项公式;���������+1=4��−1�∈��1=1

(2)已知�,求数列的前项和的取值范围.

��

��=2���

【变式9-2】(2024·内蒙古呼和浩特·一模)已知数列的前项和为且

2

.�����,�1=3��+��+1=2�+6�+

*

(31,)�求∈N的值;

(2)求数�9列的通项公式.

��

【变式9-3】(2024·河北沧州·三模)已知数列满足,,.

����+1�∗

��2=4�1=2�∈�

(1)求数列的通项公式;

(2)设�,数列的前项和为,求证:.

��−1

��=��+1������−2<��<�

【题型10利用数列前n项积求通项】

【例10】(2025高三·全国·专题练习)设为数列的前n项积,且,,,

1

���1��

则()���≠0�=3�=2�−1⋅�

�A=.B.C.D.

2�+12�−12�2�

2�−12�+12�−12�+1

【变式10-1】(2025·宁夏石嘴山·一模)已知为数列的前n项积,若,则数列的通项公

12

�������

式()��−=1�

��A=.B.C.D.

3−2�−3+2�3−4�1−2�

【变式】(高二下贵州遵义阶段练习)已知数列的前项积(),等差数

10-224-25··n��−1

2∗

��

列中,,.��=3�∈N

(1)求��数列�1、=2�的3通+项�5公=式16;

(2)令����,求数列的前n项和.

��

��=log3��+2����

【变式10-3】(2025·河南·二模)记为正项数列的前项积,且,,.

2

(1)求数列的通项公式;������1=2�2=4����+2=2��+1

��

(2)表示不超过的最大整数,如,,设,求数列的前项和.

��

��2.1=2−1.5=−2��=3��2�

【题型11双数列的通项问题】

【例11】(2025·海南·模拟预测)已知数列的前项和,数列是首项为的等比数列,

2

且有.�����=13�−���−2

(1)求�数3列+�3=0的通项公式;

(2)设��, �求�数列的前项和.

��=��⋅�������

【变式11-1】(2025·重庆·模拟预测)已知数列的前项和满足;等比数列

2

满足.�������=2�+2���

(1)求�1�5=和�8�2=的64通项公式;

��

(2)若��,求.

∗2

�∈N,��<2025<��+1�1+�2+⋯+��

【变式11-2】(2025·广东广州·三模)已知数列满足,,且对任意的,,都有

*

.���1=1�3=6�≥2�∈N��+1+

(�1�)−设1=2��+3,求证:数列是等差数列,并求出其的通项公式;

(2)求数��列=��+的1−通�项�公式;��

(3)若�,求的前n项和.

2131

��=3��+3�−2����

【变式11-3】(2025·湖南·三模)已知数列满足,数列满足,且.

��+1��

���1=3,��+1=2��+1���1=12�+1=2�−1

(1)求的通项公式;

(2)求��的通项公式;

(3)将��中的项按从小到大的顺序插入中,且在任意的之间插入项,从而构成一个新数

列�,�设的前项和为,求.����,��+12�−1

��������100

一、单选题

1.(2025·江苏连云港·模拟预测)已知等比数列的前项和为,且,则()

A.B.C.�����D.��+1=2��+2��=

�−1�−1��

2.(20225×·江3西新余·模拟预3测×)2已知数列满足3,且2,则数列的通项公式为()

��+1���

A.��B.3−3=2�1=1��

��−1

C.��=2−1D.��=log32+1

��+1

��=log32+1��=log32−1

3.(2025·海南·模拟预测)已知数列满足,且,则()

1

����+1��+2+��+1��=2����+2�1=1,�2=4�2025=

A.B.C.D.

1111

2024202560756073

.(湖北模拟预测)已知数列前项和为,,,,则的最大值为

42025··2

4�

��1�+1����

()����=1�−�=1�=��

A.4B.9C.10D.12

5.(2025·天津和平·三模)定义新运算:,已知数列满足,

��*��+11

=��−�����∈��1=−14=

,则()��2��2

10�A.23�910=B.225C.211D.261

6.(2025·河南信阳·模拟预测)已知等比数列的公比,前项和为,若,

成等差数列,则()���≠1����3=143�1,�2,−�3

A.�=B.C.D.

�−1��−1�

7.(2022×5·山3东济南·模拟预3测)将数列与2数×列−3的公共项从−小3到大排列得到新数列,则

(){2�−1}{3�−2}{�}

10

1

��+1

�=1��=

A.B.C.D.

106015

616166

8.(2025·重庆·二模)设等差数列的前项和为,且,将数列与数

2

�����+1�+1�

列的公共项从小到大排列得�到新数列�,则��>(0,4�)=�−2�+1�

20

22

��

�−1��=1�=

A.B.C.D.

40802040

41412121

二、多选题

9.(2025·全国二卷·高考真题)记为等比数列的前n项和,为的公比,,若,

则()��������>0�3=7,�3=1

A.B.

11

�=2�5=9

C.D.

10.(20�255·=江8西·三模)已知数列的前项和为�,�数+列S�=8的前项积为,,

�+1

则()�������+3���,�1=1��+1−��=2

A.B.

�+1

�3=12��=2−3

..

CD��+3

2

5�

11.(20�25=·河10北9石家庄·三模)已知数列的前�n项=和2为,则下列说法正确的是()

2

��

A.数列为递减数列��=−�+11�

��

B.当且仅当时,取得最大值

C.�=5��

D.��=−是2

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