2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 运筹学在管理决策中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——运筹学在管理决策中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.在运筹学模型中，决策变量通常表示为（）。A.实际成本B.资源消耗率C.待求解的量D.固定系数2.某线性规划问题的约束条件为\(2x_1+3x_2\leq12\)，若引入松弛变量\(s_1\)，则\(s_1\)代表的意义是（）。A.未能充分利用的资源量B.最多可使用的资源量C.决策变量\(x_1\)的最小值D.决策变量\(x_2\)的最大值3.对于标准的线性规划问题\(\maxZ=c^Tx\)，s.t.\(Ax\leqb,x\geq0\)，其对偶问题是（）。A.\(\minW=b^Ty\)，s.t.\(A^Ty\geqc,y\geq0\)B.\(\maxW=b^Ty\)，s.t.\(A^Ty\leqc,y\geq0\)C.\(\minZ=b^Ty\)，s.t.\(A^Ty\geqc,y\geq0\)D.\(\maxZ=b^Ty\)，s.t.\(A^Ty\leqc,y\geq0\)4.在求解最小生成树问题时，Prim算法和Kruskal算法的主要区别在于（）。A.输入数据的表示方式B.所能处理的网络类型C.选择连接边的基本策略D.最终得到的树的大小5.若一个排队系统的到达过程服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，服务时间服从参数为\(\mu\)的负指数分布，且服务台数量为1，则该系统是（）。A.M/M/c排队系统B.M/G/1排队系统C.M/M/1排队系统D.M/D/1排队系统6.在决策分析中，当决策者倾向于避免冒险，会选择哪种决策准则？（）A.乐观准则B.悲观准则C.折衷准则D.后悔值准则7.经济订货批量（EOQ）模型假设需求率是恒定的，且不允许缺货。若允许缺货，一般会导致（）。A.订货次数减少B.总成本一定增加C.平均库存水平降低D.经济订货批量增加8.使用决策树进行决策分析时，通常在决策点使用（）表示，在状态节点使用（）表示。A.方括号，圆形B.圆形，方括号C.方括号，方形D.菱形，圆形二、填空题1.线性规划问题的解分为______解、______解和______解。2.若线性规划原问题与对偶问题具有最优解，则根据对偶理论，两者对应的目标函数值______。3.在最短路径问题中，Dijkstra算法适用于求单源点到所有其他点的最短路径，其基本思想是______。4.排队系统中，主要性能指标包括系统的平均排队长（Lq）、系统的平均等待时间（Wq）、队列的平均排队长（L）和队列的平均等待时间（W），它们之间满足______（Little公式）。5.决策树分析中，期望值准则适用于______型决策。6.在存储论中，持有库存会带来______成本，而缺货会带来______成本。7.若一个整数规划问题是求最大值，且所有决策变量都要求取______值。三、计算题1.某工厂生产两种产品A和B，需要消耗两种资源甲和乙。生产每单位产品A需要消耗甲2单位、乙1单位，利润为3元；生产每单位产品B需要消耗甲1单位、乙2单位，利润为2元。工厂现有甲10单位、乙8单位。问如何安排生产计划，才能使工厂总利润最大？请建立该问题的线性规划模型。2.已知某排队系统是M/M/2系统，平均到达率为每小时12个顾客，平均服务率为每小时15个顾客。求：(1)系统中的平均顾客数\(L\)；(2)队列中的平均顾客数\(Lq\)；(3)平均等待时间\(Wq\)；(4)平均服务时间\(Ws\)。3.某公司需要决定是否投资一个新项目。若投资成功，可获得收益100万元；若投资失败，将损失20万元。根据市场分析，投资成功的机会为70%。若公司采用期望值准则进行决策，是否应该投资该新项目？4.某公司需要采购一种原材料，每年需求量为1000吨。采购成本每次为50元，年持有成本为每吨100元。假设采购是连续均匀进行的，不允许缺货。求该公司的最优采购批量（EOQ）以及最小年总成本。四、应用题1.某城市计划在两条道路（道路1和道路2）上修建一条连接它们的最低成本道路。已有四条可行的路线备选，其建设成本及经过的中间点（这些中间点只能经过一次）如下表所示（单位：万元）：路线|经过中间点|建设成本----|------------|---------1|A,B|202|A,C|253|B,C|304|B,D|40请用图上法求解该问题的最优方案。2.某公司面临是否参加一个新产品的推广活动以及选择何种推广方式的决策。市场研究表明，若不参加推广，公司预期利润为50万元；若参加推广，可以选择方式A或方式B。方式A的投入成本为20万元，若市场反应好则预期利润为150万元，若反应不好则预期利润为0万元。方式B的投入成本为30万元，若市场反应好则预期利润为180万元，若反应不好则预期利润为10万元。市场反应好与不好的概率分别为60%和40%。公司管理层倾向于采用期望后悔值法进行决策。请分析并给出决策建议。3.某仓库需要存储一种商品，已知该商品的市场需求服从参数为每周10件的泊松分布。每次订货需要花费50元固定成本，每件商品每周的持有成本为2元，缺货一件造成的损失为10元。仓库希望库存不低于5件。若仓库在每周初订货，请计算每周的最优订货量（假设初始库存为0）。试卷答案一、选择题1.C2.A3.A4.C5.C6.B7.C8.B二、填空题1.唯一，多个，无界2.相等3.不断扩展当前最短路径，直到所有节点都包含在内4.L=λW,Lq=λWq5.风险6.持有，缺货7.整数三、计算题1.解：设生产产品A的数量为\(x_1\)，生产产品B的数量为\(x_2\)。最大化Z=3\(x_1\)+2\(x_2\)s.t.2\(x_1\)+\(x_2\)≤10\(x_1\)+2\(x_2\)≤8\(x_1\)≥0,\(x_2\)≥0(且通常为整数，若题目未特别说明)2.解：M/M/2系统，λ=12/小时,μ=15/小时,ρ=λ/(2μ)=12/(2*15)=0.4(1)\(L=\frac{\rho}{1-\rho}=\frac{0.4}{1-0.4}=\frac{2}{3}\)个顾客(2)\(Lq=\frac{\rho^2}{1-\rho}=\frac{0.4^2}{1-0.4}=\frac{0.16}{0.6}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\)个顾客(3)\(Wq=\frac{Lq}{\lambda}=\frac{4/15}{12}=\frac{1}{45}\)小时=1.33分钟(4)\(Ws=Wq+\frac{1}{\mu}=\frac{1}{45}+\frac{1}{15}=\frac{1}{45}+\frac{3}{45}=\frac{4}{45}\)小时=3.33分钟3.解：采用期望值准则。投资成功期望收益=0.7*100万+0.3*0=70万元投资失败期望收益=0.7*(-20万)+0.3*0=-14万元总期望收益=70万+(-14万)=56万元不投资期望收益=50万元因为56万元>50万元，所以公司应该投资。4.解：D=1000吨/年,S=50元/次,H=100元/吨/年。EOQ=\(\sqrt{\frac{2DS}{H}}=\sqrt{\frac{2*1000*50}{100}}=\sqrt{10000}=100\)吨最小年总成本=\(\sqrt{2DSH}+DS=\sqrt{2*1000*50*100}+1000*50=10000+50000=60000\)元四、应用题1.解：绘制网络图如下（A,B,C,D为中间点，E为终点）：A--20-->B--30-->C--25-->D--40-->E|||^10810|||||VVV|A--25-->C--40-->D|(1)按照最小边权原则，依次连接：AB(20),AC(25),BC(30),BD(40),CD(40),AD(25)。(2)检查图中是否存在包含所有顶点（A,B,C,D,E）且无环的路径。路径ABCE(20+30+25=75)满足条件。(3)该路径的总建设成本为20+30+25=75万元。最优方案是修建经过A-B-C-E的道路，总成本最低为75万元。2.解：绘制决策树：决策节点1：是否参加推广|---是(成本20万)|||决策节点2：选方式A||---好市场(概率0.6,利润150万)||---坏市场(概率0.4,利润0万)|---否(利润50万)根节点||---好市场(概率0.6,利润150万)|---坏市场(概率0.4,利润10万)计算各方案期望值：方案“不参加推广”：EV=0.6*50+0.4*10=30+4=34万方案“参加推广，选A”：EV=0.6*(150-20)+0.4*(0-20)=0.6*130+0.4*(-20)=78-8=70万方案“参加推广，选B”：EV=0.6*(180-30)+0.4*(10-30)=0.6*150+0.4*(-20)=90-8=82万比较期望值，82万>70万>34万。根据期望值准则，应选择方案“参加推广，选B”。（若采用后悔值法：计算后悔值矩阵，选择最小后悔值对应的方案）后悔值矩阵：好市场坏市场不参加150-50=10040-10=30选A150-130=2040-(-20)=60选B150-150=040-(-20)=60最小后悔值为20，对应方案“参加推广，选A”。注意：期望后悔值计算结果与期望值法不同，此处按期望值法结论，选择B。3.解：此为(s,S)存储模型问题。s=5,D=10件/周,C_o=50元,C_h=2元/件/周,C_u=10元/件。计算临界订货量Z：Z=\(\sqrt{\frac{2DS_oC_h}{C_u}}=\sqrt{\frac{2*10*\sqrt{10*2*50}}{10}}=\sqrt{\frac{20*