2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学模型在实际问题中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学模型在实际问题中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述数学模型在解决实际问题过程中的作用和一般步骤。二、某工厂生产两种产品A和B，消耗的主要资源为原材料和工时。生产每单位产品A需要消耗10公斤原材料和2小时工时；生产每单位产品B需要消耗8公斤原材料和4小时工时。工厂每周可获取的原材料最多为800公斤，可用的工时最多为300小时。已知每单位产品A的利润为40元，每单位产品B的利润为50元。问：该工厂应如何安排两种产品的生产计划，以使每周的总利润最大？请建立该问题的数学模型（只需列出目标函数和约束条件）。三、已知某城市人口增长符合Logistic增长模型。假设该城市当前人口为50万，最大容量估计为200万。如果最初的人口年增长率为10%，求该城市人口达到最大容量一半时所需的时间（年）。四、某公司需要将一批货物从仓库运往三个零售点。仓库的货物量为100吨，三个零售点的需求量分别为60吨、40吨和50吨。从仓库到三个零售点的运输成本（元/吨）分别为10元、15元和20元；从三个零售点之间的转运成本（元/吨）分别为5元、8元和12元。问：如何规划运输方案（直接从仓库运往零售点，或经过零售点转运），才能使总运输成本最低？请建立该问题的数学模型（只需列出目标函数和约束条件）。五、假设某疾病的传播过程可以用SIR模型（易感者S、感染者I、移除者R）来描述。已知初始时刻易感者人数为N-1（N为总人数），感染者人数为1，没有移除者。模型的微分方程组为：dS/dt=-βSI/NdI/dt=βSI/N-γIdR/dt=γI其中，β是传染率，γ是移除率。假设β=0.3，γ=0.1。请推导出感染者人数I(t)的表达式（不必求解完整方程，只需给出推导过程和最终形式），并简述推导中利用了哪些初始条件或假设。六、某投资者有10000元资金，计划投资于两种风险资产A和B。资产A的预期年回报率为10%，方差为0.04；资产B的预期年回报率为15%，方差为0.09；两种资产的协方差为0.015。假设投资者希望在预期回报率达到12%的同时，使投资组合的风险（用方差衡量）尽可能小。请建立该问题的数学模型（只需列出目标函数和约束条件）。七、考虑一个简单的市场经济模型，其中消费C、投资I和政府支出G是总需求的主要组成部分。假设消费函数为C=100+0.6Yd（Yd为可支配收入），投资函数为I=150-5r（r为利率），政府支出G=200，税收T=100+0.25Y（Y为总收入）。求均衡收入水平Y（即总需求等于总收入的水平）。试卷答案一、数学模型是使用数学语言（如符号、公式、图表等）对实际现象或系统的本质特征及其内在联系进行简化和抽象所形成的高度概括的结构。它在解决实际问题时作用重大：能够精确地描述复杂现象，提供定量分析工具，帮助理解系统运行规律，预测未来发展趋势，为决策提供科学依据，并优化资源配置。一般步骤包括：问题分析（理解实际背景，明确目标）、模型假设（简化现实，抓住主要因素）、模型建立（选择数学工具，构建数学结构，包括定义变量、目标函数、约束条件等）、模型求解（运用数学方法求解模型）、模型检验（将结果代入实际，检验合理性）和模型应用与解释（解释结果含义，指导实践）。二、目标函数：MaxZ=40x_A+50x_B约束条件：1.10x_A+8x_B≤800（原材料约束）2.2x_A+4x_B≤300（工时约束）3.x_A≥04.x_B≥0其中，x_A表示每周生产产品A的数量，x_B表示每周生产产品B的数量。三、根据Logistic增长模型dP/dt=rP(1-P/K)，其中P为人口数量，r为增长率，K为最大容量。题目中当前人口P₀=50万，最大容量K=200万，初始增长率r₀=10%。设人口达到最大容量一半时所需时间为t，此时人口P=K/2=100万。由于初始时刻增长率为10%，可近似认为dP/dt≈r₀(P₀-P₀/K)=r₀P₀/K=10%*500000/2000000=0.025。将此平均增长率代入Logistic方程的离散形式或进行近似推导，可得：P(t)≈P₀*exp(r₀*(1-P₀/K)*t)100=50*exp(0.1*(1-0.25)*t)2=exp(0.075t)ln(2)=0.075tt=ln(2)/0.075≈9.26（年）四、目标函数：MinZ=10w_A+15w_B+20w_C+5x₁+8x₂+12x₃约束条件：1.w_A+w_B+w_C=100（仓库供应总量）2.x₁+x₂+x₃≤100（仓库向零售点总供应量）3.w_A=x₁（仓库到零售点1）4.w_B=x₂（仓库到零售点2）5.w_C=x₃（仓库到零售点3）6.x₁≤60（满足零售点1需求）7.x₂≤40（满足零售点2需求）8.x₃≤50（满足零售点3需求）9.x₁,x₂,x₃≥010.w_A,w_B,w_C≥0其中，w_A,w_B,w_C分别为从仓库直接运往零售点1、2、3的货物量（吨）；x₁,x₂,x₃分别为从零售点1转运到零售点2、从零售点1转运到零售点3、从零售点2转运到零售点3的货物量（吨）。五、对SIR模型微分方程组进行求解：dI/dt=βSI/N-γI=I(βS/N-γ)令μ=β/N，则dI/dt=I(μS-γ)这是一个关于S和I的常系数线性微分方程组。为了求得I(t)，可以先考虑I(0)=1,S(0)=N-1。对dI/dt方程两边积分：∫dI/I=∫(μS-γ)dtln|I|=μ∫Sdt-γt+C需要消去S。利用dS/dt=-βSI/N=-μSI，得到dS/dI=-S/N。积分得到S=S(0)*exp(-μ∫Idt/N)。将此S的表达式代入ln|I|的积分中，得到关于I的积分方程。此方程通常无法得到封闭形式的解析解，但可以通过引入新变量或进行近似求解。更常见的做法是假设一个稳态解I_ss=(βN)/(γ+β)，然后求解齐次方程dI/dt=I(μS_ss-γ)=I(β/(γ+β)μN-γ)。令S_ss=N-I_ss=Nγ/(γ+β)。齐次方程变为dI/dt=I(-γ/μ)=-γI/β。积分得到I(t)=I(0)*exp(-γt/β)=exp(-γt/β)。这是假设S(t)在稳态附近波动很小，或是在计算早期阶段的一个近似。严格推导需要处理整个方程组，但最终形式通常涉及指数函数。推导利用了初始条件I(0)=1和稳态关系。六、设投资于资产A的资金为x_A，投资于资产B的资金为x_B。总资金为10000元，所以约束条件为x_A+x_B=10000。目标是在预期回报率达到12%的同时，使投资组合的风险（方差）最小。投资组合的预期回报率R_P=x_A*10%/10000+x_B*15%/10000=(10x_A+15x_B)/10000。要求R_P≥12%，即10x_A+15x_B≥120000。投资组合的方差σ²_P=(x_A²*0.04+x_B²*0.09+2*x_A*x_B*0.015)/10000²。目标是最小化σ²_P，在约束x_A+x_B=