2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在信息安全保护中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在信息安全保护中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设p是质数，a、b是整数，且p整除a*b，则下列结论一定正确的是（）。A.p整除a或p整除bB.p整除a^2或p整除b^2C.p整除a+b或p整除a-bD.p整除a*b^22.在RSA公钥密码体制中，若公钥为(n,e)=(55,7)，其中n=5*11，则密钥对(私钥d,n)中的d的值是（）。A.3B.9C.17D.233.设信息X="HELLO"经过加密变换f变为密文Y="RJNQY"，若该变换基于一个3x3的矩阵乘法（忽略大小写和字母顺序），且第一个字母'H'被映射为向量[816]（模26），则加密所用的矩阵可能是（）。A.[[631],[152],[214]]B.[[123],[456],[789]]C.[[521],[134],[415]]D.[[312],[524],[135]]4.对于任意事件A，下列关于信息熵H(X)的表述中，正确的是（）。A.H(X)的值总大于0B.H(X)的值总小于1C.若事件A是必然事件，则H(X)=0D.若事件A是随机事件，则H(X)的值越大，事件A的不确定性越小5.哈希函数H在信息安全中通常要求满足抗原像攻击、第二原像攻击和碰撞攻击的难度，其中“碰撞攻击”指的是（）。A.找到不同的输入得到相同的输出B.从密文恢复出明文C.找到某个输入的密钥D.计算消息的压缩编码二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）6.在Hill密码中，若使用2x2矩阵K加密消息"THIS"，得到密文"VGWQ"，则矩阵K的逆矩阵（模26）的行列式（模26）必为1。7.根据香农定理，有噪信道传输信息的极限速率R的最大值等于信道容量C=H(Y|X)，其中H(Y|X)表示在发送符号X已知的情况下接收符号Y的条件熵。8.设p=37是质数，a=14是模p下的一个原根，则a^15mod37=。9.在RSA加密中，若密钥对为(n,e)=(143,11)，其中n=11*13，则密文C=88经过解密得到的明文M=。10.对于一个包含m个消息符号、n个信道符号的信道，其信道容量C可以用C=∑P(x,y)log(P(y|x)/P(y))计算，其中求和遍历所有可能的输入输出对(x,y)，P(x)和P(y)分别是输入和输出符号的先验概率。三、计算题（本大题共3小题，共35分。）11.（10分）设RSA公钥为(n,e)=(3233,17)，其中n=59*53。给定明文M=1234（表示为十进制数），请计算其密文C，并写出计算过程。12.（15分）已知Hill密码使用3x3矩阵K加密消息"MATHEMATICS"（忽略大小写，分组为MAT,HE,MAT,IC,S），得到密文"RBDQ,IZ,RBD,QGN,YL"。请恢复出加密所用的矩阵K（模26），并写出计算过程。13.（10分）有一个二元对称信道，发送0的误码率为p=0.1，发送1的误码率也为p=0.1。求该信道的容量C（以比特/信道符号为单位）。四、简答题（本大题共2小题，共25分。）14.（12分）简述RSA密码体制的安全性基于哪些数学难题的假设？请至少列举两个。15.（13分）什么是信息熵？它在信息安全中有何作用？请简要说明。试卷答案一、选择题1.A2.B3.C4.D5.A二、填空题6.17.08.109.4510.H(Y|X)三、计算题11.(1)计算n=59*53=3233。(2)计算φ(n)=(59-1)*(53-1)=3124。(3)找到e=17的模逆元d，使得ed≡1modφ(n)。计算得到d=2753。(4)计算密文C=M^emodn。C=1234^17mod3233。(5)使用快速幂算法计算：1234^17mod3233=2790。答案：密文C=2790。12.(1)将明文和密文字符按字母序对应取十进制值（A=0,B=1,...,Z=25），得到向量组：明文：[12019],[7419],[12019],[1682],[18193]。密文：[1734],[8253],[1734],[171419],[241116]。(2)设矩阵K为[abc;def;ghi]，则K*[12019;7419;12019]≡[1734;8253;171419]mod26。(3)取向量[12019]和[1734]构成线性方程组：12a+7d+12g≡17mod264a+4d+0g≡3mod2619a+19d+19g≡4mod26解此方程组（例如使用高斯消元法模26），得到g≡1,d≡3,a≡5mod26。(4)取向量[12019]和[8253]构成线性方程组：12a+7d+12g≡17mod264a+4d+0g≡25mod2619a+19d+19g≡3mod26解此方程组，结合g≡1,d≡3，得到e≡2,b≡7mod26。(5)取向量[12019]和[171419]构成线性方程组：12a+7d+12g≡17mod264a+4d+0g≡14mod2619a+19d+19g≡19mod26解此方程组，结合g≡1,d≡3，得到i≡4,h≡14mod26。(6)恢复矩阵K：K≡[[571],[3214],[104]]mod26。答案：矩阵K≡[[571],[3214],[104]]mod26。13.(1)计算信道熵H(X)：H(X)=-p*log2(p)-(1-p)*log2(1-p)=-0.1*log2(0.1)-0.9*log2(0.9)≈0.469bits。(2)计算信道转移概率矩阵P(Y|X)：P(Y=0|X=0)=0.9,P(Y=1|X=0)=0.1P(Y=0|X=1)=0.1,P(Y=1|X=1)=0.9(3)计算信道输出熵H(Y)：H(Y)=-0.9*log2(0.9)-0.1*log2(0.1)≈0.469bits。(4)计算信道容量C：C=H(X)-H(Y|X)=0.469-0.469=0bits。或者，因为信道是对称的，X和Y有相同的分布，所以H(X)=H(Y)=0.469bits，H(Y|X)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)=H(X)+H(Y)-H(X)=0.469+0.469-0.469=0.469bits。C=H(X)-H(Y|X)=0.469-0.469=0bits。答案：信道容量C=0bits。四、简答题14.(1)RSA的安全性基于大整数分解难题的假设，即给定一个足够大的奇数n（它是两个大质数p和q的乘积），在多项式时间内无法有效地找到p和q。(2)RSA的安全性还基于离散对数难题的假设，即在有限循环群（例如模n的乘法群）中，给定一个生成元g和一个元素h，在多项式时间内无法有效地找到整数k，使得g^k≡hmodn。(3)（可选，如果需要更多）此外，RSA的安全性也依赖于密钥大小足够大，使得攻击者无法在合理时间内通过暴力破解或计算难度来破解。15.(1)信息熵H(X)是随机变量X的不确定性的量度，定义为H(X)=-∑P(x)*log2(P(x))，其中求和遍历X所有可能的取值x，P(x)是x出现的概率。熵的值越大，表示随机变量的不确定性越大，信息量越小；熵的值越小（最小为0），表示随机变量越确定，信息量越大。(2)在信息安全中，信息熵有重要作用：a.评估信息的价值：熵越高的信息，包含的不确定性越大，通常认为其价值越高。b.衡量消息冗余度：熵是消息中平均包含的信息量