2025年大学《统计学》专业题库- 时间序列平稳性检验方法研究

2025年大学《统计学》专业题库——时间序列平稳性检验方法研究考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.简述时间序列平稳性的定义及其在时间序列分析中的重要性。2.解释什么是单位根过程，并说明非平稳时间序列通过差分转换为平稳序列的原理。二、3.比较AR(1)模型和AR(2)模型的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的图示特征，并说明这些特征如何有助于初步判断序列的平稳性或模型阶数。4.简述Dickey-Fuller（DF）检验与AugmentedDickey-Fuller（ADF）检验的主要区别，以及为什么ADF检验更常用。三、5.假设你正在研究一个可能具有单位根的经济时间序列。请说明在应用单位根检验时，需要考虑哪些关键的检验假设？违反这些假设可能如何影响检验结果的有效性？6.解释Phillips-Perron（PP）检验与Dickey-Fuller（DF）检验在处理异方差问题上的主要不同之处。四、7.在进行时间序列分析时，为什么通常需要先检验变量的平稳性？如果一个变量在水平形式上是非平稳的，但在一阶差分后变为平稳，应如何描述该变量的平稳性？8.KPSS检验与Dickey-Fuller检验或AugmentedDickey-Fuller检验在检验目的上有什么根本不同？在实际应用中，如何利用这两种检验的结果来推断时间序列的平稳性状态？五、9.描述在进行时间序列平稳性检验时，可能遇到的一种常见伪拒绝问题（FalseRejection），并简要分析导致该问题的原因。10.假设你使用ADF检验对一个季度GDP数据进行了分析，得到的ADF统计量为-2.15，测试的滞后阶数为2，显著性水平为5%。请解释如何根据（假设的）临界值来判断该GDP序列是否具有单位根，并说明你的结论。11.论述在处理具有季节性特征的时间序列数据时，进行平稳性检验需要考虑哪些特殊因素？对标准的单位根检验方法可能需要进行哪些调整？试卷答案一、1.时间序列平稳性是指一个时间序列的统计特性（如均值、方差、自协方差）不随时间变化而变化。具体来说，对于宽平稳过程，其均值恒定，方差有限且不变，自协方差仅依赖于两个观测值之间的时间间隔（滞后），而与观测值所处的时间点无关。检验时间序列平稳性至关重要，因为许多时间序列分析方法（如传统ARIMA模型、VAR模型）的前提假设是数据序列是平稳的。非平稳序列直接应用这些模型可能导致伪回归，使得预测结果不可靠。2.单位根过程是指一个具有单位根特征根的一阶自回归（AR(1)）过程，通常表示为X_t=μ+φX_(t-1)+ε_t，其中ε_t是白噪声。单位根过程是非平稳的，其均值可能随时间漂移（除非μ=0），且对其无限期预测将充满随机性（遍历性）。非平稳时间序列通过差分（如ΔX_t=X_t-X_(t-1)）可以消除非平稳性，如果差分后的序列变为平稳，则原序列是一阶单整（I(1)）过程。差分的原理是提取序列中的变化部分，滤除趋势或漂移成分，从而得到具有稳定统计特性的序列。二、3.AR(1)模型的自相关函数（ACF）呈指数衰减，即随着滞后阶数k增加，ACF值逐渐减小并趋于零；而偏自相关函数（PACF）在滞后1阶时显著，随后迅速下降至零。AR(2)模型的ACF同样呈指数衰减，但衰减速度可能不同（取决于φ1和φ2的值）；其PACF在滞后1阶和2阶时可能显著，然后下降至零。这些特征有助于判断：若ACF和PACF均快速衰减，可能是AR(1)过程；若ACF衰减缓慢而PACF在k阶时截尾（突然变为零），可能是MA(k)过程；若ACF和PACF均缓慢衰减，可能是高阶AR或MA过程；若两者均不截尾但缓慢衰减，可能是ARMA过程。对于初步判断平稳性，ACF和PACF是否最终趋于零是关键，趋于零通常暗示平稳性。4.DF检验与ADF检验的主要区别在于ADF检验对自回归模型的滞后阶数进行了自动选择，并引入了滞后差分项以控制自相关性。DF检验只考虑了一个自回归项（φ），没有对自相关性进行充分处理，尤其是在样本量较小或存在较高阶自相关时，可能导致检验结果不准确。ADF检验通过增加滞后项（如X_(t-k)）并采用信息准则（如AIC、BIC）来确定最优滞后阶数，能够更有效地捕获数据中的自相关结构，从而提高了检验的统计功效和可靠性，这也是ADF检验更常用的原因。三、5.应用单位根检验时，关键的检验假设通常包括：数据是线性关系、误差项是白噪声（具有零均值、恒定方差、无自相关）、误差项可能存在异方差、样本量足够大（通常建议n>30，但对于DF/ADF检验，样本量较小也有一定的有效性和渐近性质）。违反这些假设，特别是异方差假设，会影响检验统计量（如DF和PP检验的t统计量）的分布，可能导致检验结果出现偏差。例如，未考虑的异方差会使DF/PP检验更容易犯第二类错误（即未能拒绝实际存在单位根的序列，即伪拒绝问题）。6.Phillips-Perron（PP）检验与Dickey-Fuller（DF）检验或AugmentedDickey-Fuller（ADF）检验在处理异方差问题上的主要不同在于PP检验在构造检验统计量时，直接对数据进行了加权处理，以减轻异方差对检验统计量分布的影响。具体来说，PP检验通常使用一个加权移动平均（WMA）窗口来估计均值和方差，并对残差进行加权，使得检验统计量在计算上对异方差不敏感。相比之下，DF和ADF检验的原始形式未对异方差进行直接处理，其检验统计量的分布受异方差影响较大，尤其是在样本量较小或残差存在明显异方差时。四、7.时间序列分析通常需要先检验变量的平稳性，因为许多经典模型（如ARIMA、VAR）是基于平稳性假设建立的。如果直接对非平稳序列应用这些模型，模型参数估计可能会产生偏误和不一致，导致模型拟合不佳，且基于该模型进行的预测往往无效，这就是所谓的“伪回归”问题。因此，确保数据平稳是进行可靠时间序列分析的前提。如果一个变量在水平形式上（原始序列）是非平稳的，但在一阶差分后（ΔX_t）变为平稳，应描述该变量为一阶单整序列，记作I(1)。这意味着原始序列包含一个单位根，具有趋势或随机游走特性，通过一次差分消除了这种非平稳性。8.KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin检验）与Dickey-Fuller（DF）检验或AugmentedDickey-Fuller（ADF）检验在检验目的上有根本不同。DF/ADF检验的原假设是“存在单位根”（序列非平稳），即检验序列是否具有非平稳性；而KPSS检验的原假设是“不存在单位根”（序列是平稳的），即检验序列是否围绕一个稳定均值或趋势波动。因此，KPSS检验通常被描述为“平稳性检验”，而DF/ADF检验则被称为“单位根检验”或“非平稳性检验”。在实际应用中，通常将这两种检验结合使用（所谓的“混合检验策略”）：如果KPSS检验结果拒绝原假设（表明序列是平稳的），则通常认为序列是平稳的，无需进一步进行DF/ADF检验；如果KPSS检验结果不拒绝原假设（表明序列可能非平稳），则需要进一步进行DF/ADF检验来判断是否存在单位根。五、9.在进行时间序列平稳性检验时，可能遇到的一种常见伪拒绝问题（FalseRejection）是指检验结果错误地拒绝了实际平稳的序列，即将一个平稳序列判定为非平稳。导致该问题的原因主要有：①检验方法的设定问题，如选择了不合适的滞后阶数，可能过度拟合了噪声；②样本量过大，根据大数定律，即使是非常微小的偏离平稳性特征也可能被检测出来，导致在统计上显著，但实际意义不大；③序列存在结构性断裂（如结构性变化、缺失值、异常值），而标准的单位根检验通常假设数据是同质的，忽略结构性断裂可能导致检验结果不稳定；④检验统计量的渐近分布在小样本下可能与实际分布有偏差，尤其是在检验边界附近。10.根据描述，ADF统计量为-2.15，显著性水平为5%。需要查阅在滞后阶数为2时，ADF检验在5%显著性水平下的临界值（通常有三个，即1%，5%，10%水平）。假设（为便于说明，假设）ADF检验在滞后2阶、5%显著性水平的临界值为-2.87。比较检验统计量与临界值：-2.15>-2.87。由于检验统计量的绝对值小于临界值，因此不能拒绝原假设。结论是该季度GDP序列在5%的显著性水平下，不能认为存在单位根，即该序列是平稳的。11.处理具有季节性特征的时间序列数据时，进行平稳性检验需要考虑季节性单位根的可能性。标准的单位根检验（如DF/ADF）可能无法直接有效地处理季节性结构。对标准的单位根检验方法可能需要进行以下调整：①使用季节性差分，即计算ΔX_t=