2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 稳定性分析及其应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——稳定性分析及其应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.设$\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$是一个自治系统，$\mathbf{x}_0$是该系统的平衡点。若在$\mathbf{x}_0$的某个邻域内$\mathbf{f}$可微，且$\mathbf{J}(\mathbf{x}_0)=\mathrm{D}\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)$为线性映射，则判断$\mathbf{x}_0$稳定性的主要依据是（）。A.$\mathbf{J}(\mathbf{x}_0)$的秩B.$\mathbf{J}(\mathbf{x}_0)$的特征值的实部C.$\mathbf{J}(\mathbf{x}_0)$的行列式D.$\mathbf{J}(\mathbf{x}_0)$的特征向量2.下列说法中，正确的是（）。A.若$\mathbf{x}_0$是线性系统$\mathbf{x}'=\mathbf{Ax}$的渐近稳定平衡点，则$\mathbf{x}_0$也是非线性系统$\mathbf{x}'=\mathbf{f}(\mathbf{x})$的渐近稳定平衡点。B.李雅普诺夫函数必须是连续可微的。C.如果一个非线性系统存在一个李雅普诺夫函数，则该系统的所有平衡点都是渐近稳定的。D.霍普夫分岔发生在系统出现稳定焦点或中心分岔的情况下。3.设$V(\mathbf{x})=\frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2$是系统$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\mathbf{x}$的一个候选李雅普诺夫函数，则在原点处$V(\mathbf{x})$沿系统轨迹的时间导数$\dot{V}(\mathbf{x})$为（）。A.$-x_1^2-x_2^2$B.$-x_1x_2$C.$-x_1^2+x_2^2$D.04.设$\mathbf{x}'=\mathbf{f}(\mathbf{x})$是一个自治系统，$\mathbf{x}_0$是该系统的平衡点。如果在$\mathbf{x}_0$的某个邻域内，存在一个正定函数$V(\mathbf{x})$和负定函数$\dot{V}(\mathbf{x})$，则$\mathbf{x}_0$一定是（）。A.稳定的B.渐近稳定的C.不稳定的D.无法确定其稳定性5.下列函数中，可以作为李雅普诺夫函数的是（）。A.$V(\mathbf{x})=x_1^2-x_2^2$B.$V(\mathbf{x})=x_1x_2$C.$V(\mathbf{x})=e^{x_1^2}+e^{x_2^2}$D.$V(\mathbf{x})=\ln(x_1^2+x_2^2)$二、填空题1.设$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}\alpha&1\\1&\beta\end{pmatrix}\mathbf{x}$，若要使原点渐近稳定，则$\alpha$和$\beta$需满足的条件是________。2.若函数$V(\mathbf{x})$沿着系统$\mathbf{x}'=\mathbf{f}(\mathbf{x})$的轨迹满足$\dot{V}(\mathbf{x})\equiv0$，则平衡点$\mathbf{x}_0$的稳定性是________。3.设$\mathbf{x}_0=(0,0)$是系统$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}\mathbf{x}$的一个平衡点，则在$\mathbf{x}_0$处的线性化系统是________。4.李雅普诺夫第二方法（直接方法）主要用于判断________的稳定性。5.在霍普夫分岔中，系统参数的变化会导致________数量的改变。三、计算题1.考虑系统$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}x_2\\-x_1-x_2\end{pmatrix}$，求其平衡点，并判断平衡点的稳定性。2.考虑系统$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}x_2+x_1(x_1^2+x_2^2)\\-x_1+x_2(x_1^2+x_2^2)\end{pmatrix}$，试用李雅普诺夫第二方法判断原点的稳定性。3.考虑系统$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}y\\-x+y(x^2+y^2)\end{pmatrix}$，试用线性化方法判断原点的稳定性。四、证明题1.证明：如果一个线性系统$\mathbf{x}'=\mathbf{Ax}$的所有特征值都具有负实部，则其平衡点$\mathbf{x}_0=\mathbf{0}$是渐近稳定的。2.证明：如果存在一个李雅普诺夫函数$V(\mathbf{x})$，使得$\dot{V}(\mathbf{x})$在$\mathbf{x}_0=\mathbf{0}$的邻域内恒负定，则$\mathbf{x}_0=\mathbf{0}$是稳定的。五、应用题考虑一个简单的生态系统，其中两个物种的种群数量分别为$x_1(t)$和$x_2(t)$，它们的相互作用可以用以下方程描述：$$\begin{cases}x_1'=x_1(1-\frac{x_1}{K}-ax_2)\\x_2'=x_2(-1+bx_1-\frac{x_2}{M})\end{cases}$$其中$K$和$M$分别是两种群的理想环境容量，$a$和$b$是种间竞争系数。假设$a>0,b>0$，分析该生态系统的稳定性。试卷答案一、选择题1.B2.D3.A4.B5.C二、填空题1.$\alpha<0,\beta<0$且$\alpha+\beta<0$2.稳定（但不一定渐近稳定）3.$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\mathbf{x}$4.非线性系统平衡点的稳定性5.稳定焦点或中心的数量三、计算题1.解：平衡点为$(0,0)$。系统雅可比矩阵为$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}$。特征方程为$\lambda^2+\lambda+1=0$，特征值为$\lambda_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},\lambda_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$。特征值的实部均为负，故平衡点$(0,0)$是渐近稳定的。2.解：平衡点为$(0,0)$。系统雅可比矩阵为$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$。特征值为$\lambda_1=1,\lambda_2=-1$，说明原点不是线性稳定的。构造李雅普诺夫函数$V(\mathbf{x})=x_1^2+x_2^2$，则$\dot{V}(\mathbf{x})=2x_1(x_2+x_1(x_1^2+x_2^2))+2x_2(-x_1+x_2(x_1^2+x_2^2))=2x_1x_2(x_1^2+x_2^2-1)+2x_2^2(x_1^2+x_2^2)=2(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1x_2(x_1^2+x_2^2-1)$。当$(x_1,x_2)$充分接近$(0,0)$时，$\dot{V}(\mathbf{x})$的符号由$-2x_1x_2(x_1^2+x_2^2-1)$决定，由于$x_1^2+x_2^2-1$可正可负，故$\dot{V}(\mathbf{x})$可正可负，不能保证$\dot{V}(\mathbf{x})$负定，因此无法用李雅普诺夫第二方法判断原点的稳定性。3.解：平衡点为$(0,0)$。系统雅可比矩阵为$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}$。特征方程为$\lambda^2-\lambda+1=0$，特征值为$\lambda_1=\frac{1+i\sqrt{3}}{2},\lambda_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$。特征值的实部均为正，故平衡点$(0,0)$是不稳定的。四、证明题1.证明：线性系统$\mathbf{x}'=\mathbf{Ax}$的解可以表示为$\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0)$。若所有特征值$\lambda_i$的实部均为负，则$\lim_{t\to\infty}e^{\mathbf{A}t}=\mathbf{0}$。因此，$\lim_{t\to\infty}\mathbf{x}(t)=\lim_{t\to\infty}e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0)=\mathbf{0}$，即$\mathbf{x}_0=\mathbf{0}$是渐近稳定的。2.证明：取$\mathbf{g}(\mathbf{x})=-V(\mathbf{x})$，则$\dot{\mathbf{g}}(\mathbf{x})=-\dot{V}(\mathbf{x})$。由于$\dot{V}(\mathbf{x})$负定，故$\dot{\mathbf{g}}(\mathbf{x})$正定。根据LaSalle不变性原理，若$\dot{\mathbf{g}}(\mathbf{x})=0$，则$\mathbf{x}$必在$\{\mathbf{x}\midV(\mathbf{x})=c\}$上，其中$c$为常数。由于$\dot{V}(\mathbf{x})$负定，沿轨迹运动时$V(\mathbf{x})$单调减少，最终停留在$V(\mathbf{x})=c$的曲线上。在$V(\mathbf{x})=c$的曲线上，$\dot{V}(\mathbf{x})=0$，即$\dot{\mathbf{g}}(\mathbf{x})=0$。由于$\dot{\mathbf{g}}(\mathbf{x})$正定，只有当$\mathbf{x}=\mathbf{0}$时，$\dot{\mathbf{g}}(\mathbf{x})=0$才成立。因此，$\mathbf{x}$必在$\mathbf{x}_0=\mathbf{0}$处，即$\mathbf{x}_0=\mathbf{0}$是稳定的。五、应用题分析：该生态系统存在两个平衡点：$$\begin{cases}x_1(1-\frac{x_1}{K}-ax_2)=0\\x_2(-1+bx_1-\frac{x_2}{M})=0\end{cases}$$解得：$(0,0)$和$(\frac{K(1-b)}{a},\frac{M(b-1)}{a})$。对系统进行线性化，在$(0,0)$处，雅可比矩阵为$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&b\end{pmatrix}$，特征值为$1,b$，均大于0，故$(0,0)$不稳定。在$(\frac{K(1-b)}{a},\frac{M(b-1)}{a})$处，雅可比矩阵为$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{K}&-\frac{K}{a}\\\frac{b}{M}&-\frac{1