2025年轴对称旋转测试题及答案

2025年轴对称旋转测试题及答案1.（单选）在三维直角坐标系Oxyz中，将曲线Γ：x²＋z²＝4，y＝0绕Oz轴旋转一周，所得曲面Σ的方程为A.x²＋y²＋z²＝4  B.x²＋y²＝4  C.x²＋z²＝4  D.x²＋y²＝4z²答案：B。旋转时z坐标不变，x²被x²＋y²替换，故Σ：x²＋y²＝4。2.（单选）设曲面S由直线L：x＝1，y＝t，z＝t（t∈ℝ）绕Oz轴旋转而成，则S在点P(√2,√2,1)处的切平面方程为A.x＋y＋z＝2√2＋1  B.x＋y－z＝2√2－1  C.x－y＋z＝1  D.x＋y－2z＝0答案：B。旋转面参数式x＝√(1＋t²)cosθ，y＝√(1＋t²)sinθ，z＝t；P对应t＝1，θ＝π/4。计算梯度得法向量(√2,√2,－1)，代入点法式得x＋y－z＝2√2－1。3.（单选）若曲线C：r(t)＝(cost,sint,t)绕Oz轴旋转一周，则所得曲面在t＝π处的纬圆半径为A.1  B.√2  C.π  D.2答案：A。旋转半径恒为√(cos²t＋sin²t)＝1，与t无关。4.（单选）将抛物线y²＝4x（z＝0）绕Ox轴旋转，所得曲面与平面x＝1的交线是A.两条平行直线  B.圆  C.椭圆  D.抛物线答案：B。旋转面y²＋z²＝4x，与x＝1交于y²＋z²＝4，是半径2的圆。5.（单选）设曲面M由圆(x－2)²＋z²＝1，y＝0绕Oz轴旋转而成，则M的拓扑类型为A.球面  B.环面  C.克莱因瓶  D.射影平面答案：B。母线为不过原点的圆，旋转得环面。6.（单选）若曲线x＝eᵗ，y＝0，z＝e⁻ᵗ绕Oz轴旋转，则所得曲面在t＝0处的Gauss曲率为A.0  B.1  C.－1  D.2答案：A。旋转面参数式x＝eᵗcosθ，y＝eᵗsinθ，z＝e⁻ᵗ；计算第一、第二基本形式得K≡0。7.（单选）将双曲线x²－y²＝1（z＝0）绕Oy轴旋转，所得曲面为A.单叶双曲面  B.双叶双曲面  C.椭圆抛物面  D.双曲抛物面答案：A。旋转后方程x²＋z²－y²＝1，单叶双曲面。8.（单选）设曲线Γ：r(t)＝(t,0,t²)绕直线x＝y＝z旋转一周，则所得曲面在t＝1处的经线弧长微元ds与dt的关系为A.ds＝√3dt  B.ds＝√5dt  C.ds＝√7dt  D.ds＝3dt答案：C。旋转轴方向向量(1,1,1)，将曲线正交投影到轴垂直平面再旋转，计算得ds＝√7dt。9.（单选）若曲面S由圆x²＋(z－1)²＝1，y＝0绕Oz轴旋转而成，则S所围立体体积为A.2π²  B.4π  C.2π  D.π²答案：B。旋转体为环面，大半径R＝1，小半径r＝1，体积2π²Rr²＝4π。10.（单选）将曲线C：z＝sinx，y＝0（0≤x≤π）绕Ox轴旋转，所得曲面面积等于A.2π∫₀^πsinx√(1＋cos²x)dx  B.2π∫₀^πsinxdx  C.2π∫₀^πcosxdx  D.2π∫₀^π√(1＋sin²x)dx答案：A。旋转面面积公式2π∫|y|√(1＋(y′)²)dx，此处y＝sinx。11.（填空）若曲线x＝t²，y＝0，z＝t³（－1≤t≤1）绕Oz轴旋转，则所得曲面在t＝0处的纬圆周长为________。答案：0。t＝0对应点(0,0,0)，旋转退化为一点，周长0。12.（填空）将直线x＝1，y＝z绕Oz轴旋转一周，所得曲面方程为________。答案：x²＋y²＝1＋z²。旋转半径恒为√(1＋z²)。13.（填空）设曲面Σ由曲线r(t)＝(cosht,0,sinht)绕Oz轴旋转而成，则Σ的平均曲率H在t＝0处的值为________。答案：1/2。计算得H＝(k₁＋k₂)/2＝1/2。14.（填空）若抛物线y²＝2x（z＝0）绕其准线x＝－1/2旋转，则所得曲面与平面x＝1的交线圆的半径为________。答案：√(5/2)。旋转面方程(y²＋z²)＝2(x＋1/2)，与x＝1交于y²＋z²＝3，半径√3；但准线旋转需用距离公式，重新计算得半径√(5/2)。15.（填空）将圆(x－3)²＋y²＝1，z＝0绕Oy轴旋转，所得环面的大半径R与小半径r之和为________。答案：4。R＝3，r＝1，和为4。16.（填空）曲线x＝eᵗcost，y＝0，z＝eᵗsint绕Oz轴旋转，则所得曲面在t＝π/2处的经线曲率为________。答案：e^(－π/2)。计算得κ＝e^(－π/2)。17.（填空）若曲面S由星形线x^(2/3)＋y^(2/3)＝a^(2/3)，z＝0绕Ox轴旋转而成，则S的表面积为________。答案：(12πa²)/5。利用旋转面面积公式及星形线弧长积分得。18.（填空）将曲线z＝x⁴，y＝0（0≤x≤1）绕Oz轴旋转，所得曲面在x＝1/2处的纬圆面积为________。答案：π/4。旋转半径x＝1/2，面积π(1/2)²＝π/4。19.（填空）设曲面Σ由曲线r(t)＝(t,0,lnt)（t＞0）绕Oz轴旋转而成，则Σ在t＝1处的第二基本形式系数e为________。答案：－1/√2。计算得e＝－1/√2。20.（填空）若椭圆x²/4＋y²/9＝1，z＝0绕其长轴旋转，则所得曲面的Gauss曲率最大值为________。答案：9/16。长轴为y轴，旋转面x²/4＋(y²＋z²)/9＝1，计算K_max＝9/16。21.（解答）已知曲线C：x＝t，y＝0，z＝t³，－1≤t≤1。将C绕Oz轴旋转得曲面Σ。(1)求Σ的参数方程；(2)计算Σ在t＝0处的第一基本形式系数E,F,G；(3)求Σ在t＝0处的高斯曲率K。答案：(1)参数方程：x＝tcosθ，y＝tsinθ，z＝t³，θ∈[0,2π]，t∈[－1,1]。(2)r_t＝(cosθ,sinθ,3t²)，r_θ＝(－tsinθ,tcosθ,0)；E＝r_t·r_t＝1＋9t⁴，F＝0，G＝t²；t＝0时E＝1，F＝0，G＝0。(3)第二基本形式：需单位法向量，t＝0时退化为一点，法向量不确定，但极限意义下K→0。22.（解答）将圆(x－5)²＋z²＝4，y＝0绕Oz轴旋转得环面T。(1)写出T的隐式方程；(2)求T所围立体的体积；(3)求T的表面积。答案：(1)(√(x²＋y²)－5)²＋z²＝4。(2)体积V＝2π²Rr²＝2π²·5·4＝40π²。(3)表面积A＝4π²Rr＝4π²·5·2＝40π²。23.（解答）设曲线Γ：r(t)＝(cos³t,0,sin³t)，0≤t≤π/2。将Γ绕Oz轴旋转得曲面Σ。(1)求Σ的参数方程；(2)计算Σ在t＝π/4处的纬圆半径；(3)求Σ的表面积。答案：(1)x＝cos³tcosθ，y＝cos³tsinθ，z＝sin³t。(2)纬圆半径ρ＝cos³(π/4)＝(√2/2)³＝√2/4。(3)面积A＝∫₀^{π/2}∫₀^{2π}|r_t×r_θ|dθdt＝(6π)/5。24.（解答）将直线L：x＝1，y＝z绕Oz轴旋转得曲面Σ。(1)求Σ的隐式方程；(2)求Σ与平面x＋y＋z＝0的交线在点P(1,－1,0)处的切线方程；(3)求Σ在P点的主曲率。答案：(1)x²＋y²＝1＋z²。(2)交线代入得x²＋y²＝1＋(－x－y)²，化简得xy＋x＋y＝0；在P处梯度(－1,1,0)，切线方向(1,1,－2)，切线方程(x－1)/1＝(y＋1)/1＝z/(－2)。(3)计算第一、第二基本形式得主曲率κ₁＝0，κ₂＝1/√2。25.（解答）设曲面S由曲线C：z＝eˣ，y＝0，0≤x≤1绕Oz轴旋转而成。(1)求S的参数方程；(2)计算S的表面积；(3)求S在x＝0处的Gauss曲率K。答案：(1)x＝eˣcosθ，y＝eˣsinθ，z＝eˣ，参数x∈[0,1]，θ∈[0,2π]。(2)面积A＝2π∫₀¹eˣ√(1＋e^(2x))dx＝π[e√(1＋e²)－√2＋ln((e＋√(1＋e²))/(1＋√2))]。(3)K＝－e^(－2x)/(1＋e^(2x))²，x＝0时K＝－1/4。26.（综合）将抛物线y²＝4ax（z＝0）绕其对称轴Ox旋转得抛物面Σ。(1)求Σ的隐式方程；(2)求Σ与平面z＝kx的交线类型；(3)若a＝1，k＝1，求该交线在点(1,2,1)处的曲率κ。答案：(1)y²＋z²＝4ax。(2)代入得y²＋(kx)²＝4ax，即y²＝x(4a－k²x)，为抛物线当k²x≤4a，否则双曲线；整体交线为椭圆抛物面与平面交得抛物线。(3)参数化x＝t，y＝2√t，z＝t，计算曲率κ＝2/(1＋4t)^(3/2)，t＝1时κ＝2/5^(3/2)＝2/(5√5)。27.（综合）设曲线C：x＝acos³t，y＝0，z＝asin³t（a＞0）绕Oz轴旋转得曲面Σ。(1)求Σ的体积；(2)求Σ的表面积；(3)求Σ在t＝π/6处的平均曲率H。答案：(1)体积V＝∫∫∫dV＝∫₀^{2π}∫₀^{π/2}∫₀^{acos³t}rdrdtdθ＝(3πa³)/8。(2)表面积A＝(12πa²)/5。(3)H＝(k₁＋k₂)/2＝(3√3)/(8a)。28.（综合）将椭圆x²/a²＋y²/b²＝1，z＝0（a＞b）绕其长轴Oy旋转得椭球面Σ。(1)求Σ的隐式方程；(2)求Σ的体积；(3)求Σ的表面积；(4)求Σ在顶点(0,b,0)处的Gauss曲率K。答案：(1)x²/a²＋(y²＋z²)/b²＝1。(2)体积V＝(4/3)πab²。(3)表面积A＝2πa²＋πb²/εln((1＋ε)/(1－ε))，其中ε＝√(1－b²/a²)。(4)K＝b²/(a⁴)。29.（综合）设曲面S由曲线C：z＝x⁴，y＝0，0≤x≤1绕Oz轴旋转而成。(1)求S的参数方程；(2)求S的质心z坐标；(3)求S对Oz轴的转动惯量（设面密度σ＝1）。答案：(1)x＝xcosθ，y＝xsinθ，z＝x⁴。(2)质心z̄＝∫∫zdS/∫∫dS＝∫₀¹∫₀^{2π}x⁴√(1＋16x⁶)dθdx/A＝(π/3)√17/A，其中A为表面积。(3)转动惯量I_z＝∫∫(x²＋y²)dS＝2π∫₀¹x³√(1＋16x⁶)dx＝π(17^(3/2)－1)/72。30.（综合）将曲线C：r(t)＝(t,0,t²)绕直线L：x＝y＝z旋转一周得曲面Σ。(1)求Σ的参数方程；(2)求Σ在t＝1处的纬圆半径；(3)求Σ在t＝1处的经线曲率κ；(4)求Σ在t＝1处的Gaus