第十三章 全等三角形（复习讲义）（原卷版）

第十三章全等三角形（复习讲义）①掌握定义、命题的概念和应用，学会写出题设和结论；理解真命题、假命题和互逆命题等；②掌握全等图形的概念和性质，学会找出生活中的全等图形；③掌握全等三角形的概念、性质和判定，学会运用全等三角形的判定定理，运用全等三角形的性质解决问题；④掌握几种尺规作图的方法，学会用尺规作图添加辅助线；重点01定义与命题定义1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义命题判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．真假命题1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题2.说明假命题的方法：要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例.原命题与逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.重点02全等图形全等图形的概念能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形.全等图形的性质全等图形的性质：①形状相同，②大小相等.几何变换与全等图形一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等.重点03全等三角形的概念及表示1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.4.确定全等三角形对应关系的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.重点04全等三角形的性质1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.其它性质：（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.重点05全等三角形的判定边角边两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.边边边三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知.斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”.如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知.重点06尺规作图尺规作图的关键:1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；3)切记作图中一定要保留作图痕迹；4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.题型一命题的概念题型一命题的概念1．下列句子中属于命题的是（

）A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等2．下列语句中，是命题的是（）①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a＞b，b＞c，那么a＞c；⑤直角都相等．A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．②③④⑤3．下列语句中，不是命题的是（

）A．x一定小于吗? B．两点之间线段最短C．等腰三角形是轴对称图形 D．对顶角相等4．有下列语句：（1）画线段AB=2cm；（2）两条直线相交，有几个交点？（3）内错角相等；（4）直角都相等；（5）若，则．其中是命题的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型二命题的真假题型二命题的真假5．下列命题是假命题的是（

）A．垂线段最短 B．对顶角相等C．若，则 D．同位角相等6．下列命题一定是真命题的是（

）A．相等的角是对顶角B．同旁内角互补C．在同一平面内，过一点不只有一条直线与已知直线垂直D．对于三条不同的直线，如果，那么7．命题“两直线平行，同旁内角相等”是（填“真”或“假”）命题．8．如图，如果，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）．题型三逆命题题型三逆命题9．下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（

）①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立A．①和②都正确 B．①和②都不正确C．只有①不正确 D．只有②不正确10．已知下列命题：①若，则；②互为相反数的两数之和为0；③两直线平行，内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是．12．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明．(1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线；(2)对顶角是有公共顶点且相等的角．题型四证明题型四证明的说法如下．珍珍：得分不少于67分；欣欣：得分不少于64分；丁丁：得分为奇数．其中珍珍是卧底，则通过三人的对话，分析可知校篮球队本周比赛的得分为（

）A．63分 B．64分 C．65分 D．67分14．网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（

）A．15元 B．18元 C．19元 D．20元15．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（

）A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边16．某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（

）A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁题型五图形的全等题型五图形的全等13．三位同学玩谁是卧底游戏，其中卧底提供的信息是完全相反的．关于校篮球队本周比赛的得分，三人17．下列各组图形、是全等图形的是（

）A． B．C． D．18．下列各组图形中是全等图形的是（

）A．

B．

C．

D．

19．下列说法：①全等图形的面积相等；②全等图形的形状相同；③全等图形的对应边相等；④全等图形的对应角相等．其中正确的说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．420．下列说法中，正确的是（

）A．面积相等的两个图形是全等图形B．形状相等的两个图形是全等图形C．周长相等的两个图形是全等图形D．能够完全重合的两个图形是全等图形题型六网格中的全等图形题型六网格中的全等图形21．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，．22．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为．23．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（

）A． B．C． D．24．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则题型七全等三角形的概念题型七全等三角形的概念25．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（

）A． B． C． D．26．下列判断正确的个数是（

）（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）全等图形的周长都相等；（3）面积相等的两个等腰三角形是全等形；（4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个27．如图，与全等，可以确定与是对应角，若与是对应边，则与是对应边．28．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画个．题型八全等三角形的性质题型八全等三角形的性质29．如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是．30．如图，已知与全等，那么．31．如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为．32．如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于秒时，与全等．题型九全等三角形的判定——SSS题型九全等三角形的判定——SSS33．如图，在中，，分别以为一边，向外作和．若，则的度数为（

）A． B． C． D．34．如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为．35．如图，已知，，，(1)求证：(2)若，，求的度数．36．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且．(1)求证：；(2)若，求四边形的面积．题型十全等三角形的判定——SAS题型十全等三角形的判定——SAS37．如图所示，，则（

）A． B． C． D．无法计算38．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③39．已知中，，为边上的中线，中线的最小整数值为．40．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．(1)求证：；(2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？题型十一全等三角形的判定——ASA、AAS题型十一全等三角形的判定——ASA、AAS41．如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（

）A． B． C． D．42．如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（

）A．4 B．3 C．2 D．643．如图，在四边形中，分别是和的平分线，若，则．44．在中，，，直线经过点，，，垂足分别为．(1)如图（），求证：；(2)如图（）将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．题型十二全等三角形的判定——HL题型十二全等三角形的判定——HL45．如图，是的高，，则大小为．46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝．

47．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知．(1)求证：；(2)求证：．48．如图，已知．【初步探究】（1）如图1，为边的中点，连接并延长到点，使，连接，求与的数量关系和位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（2）如图2，若，过点作于点，为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，试说明：．题型十三结合尺规作图的全等问题题型十三结合尺规作图的全等问题49．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，50．已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是()A．，B．，C．，，D．，，51．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画个．

52．如图，D为外部一点，连接，已知．(1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接）(2)①通过作图可以得到：，；②判定的依据是（从或中选填）；(3)求．题型十四倍长中线模型题型十四倍长中线模型53．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（

）A． B． C． D．无法确定54．在中，，，是边上的中线，则的取值范围是．55．综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到，依据是___________；A．

B．

C．

D．（2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．[初步运用]（3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长．56．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空．【探究方法】①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化到中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．【问题拓展】（2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：．①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形解：如图，延长至，使，连接．因为是的中点所以在和中所以②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程．（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案）题型十五一线三等角模型题型十五一线三等角模型57．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（

）A．8 B．4 C．3 D．258．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（写上序号）59．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为．60．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．(1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为；(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点．题型十六旋转模型题型十六旋转模型61．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（

）A．6 B．8 C．10 D．1262．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长厘米．63．和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，【问题初探】（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：；【类比探究】（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．64．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．

(1)【观察发现】如图①，与的数量关系是；(2)【尝试探究】点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；(3)【深入思考】如图②，若E为中点，探索与的数量关系．题型十七半角模型题型十七半角模型65．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：；（2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

66．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．67．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是．请证明你的结论．68．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得.大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故.任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.题型十八三角形的尺规作图题型十八三角形的尺规作图69．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．已知：如图，线段a和．求作：，使．70．如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）．71．1.已知：线段a，b，c．如图，求作：，使．补全下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）作法：（1）作一条线段；（2）分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A；（3）连接，，就是所求作的三角形．72．如图，已知，点D在边上．(1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)根据你的作图方法，说明的理由．基础巩固通关测基础巩固通关测1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（

）A．① B．②或③ C．② D．③或④2．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，若的周长为，则的周长为（

）A． B． C． D．3．（2025·河北沧州·一模）如图，在中，点O是边上的点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交线段于点M．下列结论不一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，点为的中点，的延长线交于点，为上的一点，与垂直，交于点，则下面判断正确的有（）①是的平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为．

6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为时，有与全等．7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图所示的方格中，．8．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为．9．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，，，，点在边上，与相交于点．(1)试说明：．(2)若，，，求与的周长之和．10．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，平分是线段上一点，交直线于点，且．(1)求证:；(2)求的度数．能力提升进阶练能力提升进阶练11．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案（如图）：①作一直线，交于点；②利用尺规作；③测量的大小即可①作一直线，交于点；②测量和的大小；③计算即可对于方案I、II，说法正确的是（

）A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行C．I、II都可行 D．I、II都不可行12．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面