2025年青海省西宁市中考数学数学试卷（附答案解析）

2025年青海省西宁市中考数学数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列四个实数中，最大的是（）

A.-7B.0C.D.V3O

2.在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”

一词起源之早.如图所示，鼓的主视图是（）

3.下列说法正确的是（）

A.概率很大的事件一定会发生B.“任意画一个三角形，其外角和是36C”是

必然事件

C.两组身高数据的方差分别是其=0.1,Si=0.3,则乙组的身高更整齐D.某抽奖活

动的中奖概率为上，表示抽奖10次就有1次中奖

4.当x=l时，下列代数式在实数范围内有意义的是（）

A.立mB.正HI

C."一2口.'"2

x-\xx-1x

5.下列运算正确的是（）

A.（-3尸=9B.2,+2°=8

C.（5X10A）X（4X102）=2X106D.（-2X102）3=8X106

6.如图，直线，和直线/外一点A,以点4为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线/于点

M,N；分别以点M,N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点八在

直线/的两侧）；作直线相交直线/于点0,连接八例，AN,PM,PN.根据以上作图过

程，有以下结论：①AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN：③总平分/MAV；

④四边形4MPN是菱形；⑤cos/MPN=；.其中正确结论的个数是（）

C.4个D.5个

7.如图，一次函数）［={4+。（勺。0）的图象与两坐标轴分别交于点4,B,与反比例函数

刈=2/0/>0）的图象交于点C（l,2）,D犯下列结论错误的是（）

B.BOC与的面积相等

2

17

C.△COQ的面积是7D.当时，y(>y

42

8.如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形A8CO和小正方形EPG"，

连接B。交C”于点P.若BP=BC,则tan/CBG的值是（）

试卷第2页，共8页

A.V2-1B.2-V2C.*D•手

二、填空题

9.相反数等于它本身的数是.

10.分解因式：Sab2-2a=-

11.等腰三角形的两边长分别为3和7,则第三边长为.

12.如图，小明从A处沿东北方向走到8处，再从8处沿南偏东63。方向走到。处，则ZABC

的度数是.

13.如图，四边形/wee。是。的外切四边形，八8=9,CQ=15.则四边形八的周长

为•

14.如图，菱形ABCD的对角线4C,4。相交于点O,AE工8C,垂足为£,连接。£.若8。=6,

OE=非,则菱形ABC。的面积是.

15.若关于x的一元二次方程区2_2x+l=0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件

的4的值_____.

16.如图，在正五边形MCQE内，以A8为边作等边△/跳再以点A为圆心，AE长为半

径画弧.若AB=3,则图中阴影部分的面积是.

22.近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片.某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满

目.数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问

卷.

调查问卷

年月

在卜.面四类文创产品中，你最喜爱的是()(单选)

A.玩偶B.冰箱贴C.创意摆件D.手机挂件

【数据的收集与整理】

数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅

不完整的统计图.根据图中信息，请归1答下列问题：

最喜爱的文创产最喜爱的文创产

品的人数条形图品的人数扇形图

玩偶冰箱创意手机文创产

贴摆件挂件品类型

(1)本次抽样调查的样本容量是；

(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是：

【做出合理估计】

⑶若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机叁件的学生人数是多少？

【解决概率问题】

(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个

不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B,C,D(A玩偶、8冰箱贴、

C创意摆件、。手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品.甲随机摸出一个小球后，

放回并摇匀，乙再随机摸出一个.请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一

类文创产品的概率.

23.西宇将丁香定为市花：是这座城市同丁香的精神共鸣一坚韧、顽强、浪漫.某小区物

业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区.若购买12株白丁香和7株紫

丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元.

⑴求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？

⑵该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总

费用最少？最少费用为多少元？

24.如图，人民AC是CO的弦，AB=AC,半径。£0"分别与弦人员AC垂直，垂足分别

为G,H,AM〃OF交0E于点、M,AN〃OE交OF于点、N,连接OA.

(1)求证：ZAOE=ZAOF；

(2)求证：四边形AMON是菱形；

⑶若A3=16,04=10,贝l」OM=

25.如图，在平面直角坐标系X。)，中，以P为顶点的抛物线的解析式为>=公2-土穴([<()),

点人的坐标是(-1,0),以原点为中心，把点4顺时针旋转9()。，得到点4.

⑴直接写出4点的坐标和抛物线的对称轴；

⑵当3«x45时，y有最大值为1-2々，求抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，若点M在)，轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A,P,M,N为顶

点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明

理由.

26.综合与实践

【问题提出】

试卷第6页，共8页

原题呈现(人教版九年级下册85页第14题)

b

如图1,在锐角VA8C中，探究之间的关系.

sin/BACsin/ABCsinZACB

【问题探究】

将下列探究过程补充完整:

图4

(1)如图1,过点A作AD/3C,垂足为。，过点3作8E_L4C,垂足为£.

AQ

在Rt/^ABD中，sinZABC=,

AD=c-sinZABC,

AH

在Rt.'g?中，sin/ACB=——

b

AD=b-sinZACB，

b

，c•sinZABC="sinZACB,即

sinZ.ABCsinZ.ACB

同理，在Rt.AEB中，BE=

在Rt中，BE=

即一--=--——，

sinABACsin/ACB

.a_b_c

•,sinZ.BACsinZ.ABCsinZ.ACB

【结论应用】

(2)如图2,在VABC中，A8=26，ZA=70°,々=50°.求4C,的长.(结果保留

小数点后一位；参考数据：sin50°»0.77,sin70。=0.94.)

【深度探究】

(3)如图3,O是锐角VABC的外接圆，半径为

求证：---=---=---=2R.

sinZBACsinZABCsin4cB

【拓展应用】

(4)如图4,在VA8C中，ZZMC=60°,4=45。，AB=2丘，。是线段改?上的一个动

点，以AO为直径的。分别交AB,AC于点、E,F,连接E/L则线段EF长度的最小值是

试卷第8页，共8页

《2025年青海省西宁市中考数学数学试卷》参考答案

题号12345678

答案DABBCBCA

1.D

【分析】本题考查比较实数大小，无理数的估算，掌握比较实数大小的法则：正数大于0,

0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键，根据比较实数大小的法则求

解即可.

【详解】解：负数小于0,0小于正数，

-7<0,

又■；(!)？=!，(->/30)2=30,且1<30,

244

."--<730,

2

/,-7<0<-<x/30,

2

二最大的是同，

故选：D.

2.A

【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根

据从正面看到的足主视图，可得答案.

【详解】解：这个立体图形的主视图为：

故选：A.

3.B

【分析】小题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事

件分类，方差的概念是解题的关键.

根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解.

【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不定会发生，故A选项错误，不符合

题意；

B、“任意画一个三角形，其外角和是360。”是必然事件，正确，符合题意；

答案第1页，共18页

C、5t?<Si,

，甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意；

D、某抽奖活动的中奖概率为5,则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符

合题意；

故选：B.

4.B

【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非优数,

分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可.

【详解】解：当x=l时，x-l=0,%-2=-1<0,故《亘、正三2和五三没有意义，

x-1x-1X

不符合题意，五三有意义，符合题意；

X

故选B.

5.C

【分析】本题考查了同底数累的乘除法，积的乘方，负整数指数累，熟练掌握运算法则是解

题的关键；根据同底数第的乘除法，积的乘方，负整数指数事逐项计算即可.

【详解】解：A、（-3广=，故本选项不符合题意；

B、24+2°=24+1=16,故本选项不符合题意；

C、（5x103）x（4xl02）=4x5x（103xl02）=2OxlO5=2xl06,故本选项符合题意；

D、（-2xlO2）3=-8xlO6,故本选项不符合题意：

故选：C.

6.B

【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及

性质，特殊角的三角函数值，掌握尺规作图是解题的关健.

由作图可得40=4V,PM=PN,根据垂直平分线的判定即可判断结论②；根据等腰三角

形的三线合一即可判断结论③；由作图可得PM=PN=M/V,得到NMZW=60。，根据特殊

角的三角函数值即可判断结论⑤，由已知条件无法得到，AMN是等边三角形，四边形

是菱形，即可判断①④错误.

【详解】解：由作图可得=PM=PN,

答案第2页，共18页

••・”垂直平分MN,故②正确.

VPM=PN,AP1MN,

:・PA平分NMPN,故③正确.

由作图可得PM=PN=MN,

・WPN=60。，

.：cosZMPN=cos60°=l,故⑤正确.

,/AM=ANt但无法判断AM=AN=MN,

・••无法得到AMN是等边三角形，故①错误.

VAM=AN,PM=PN,但无法得到AM=4V=PM=PN,

・••无法证明四边形AMPN是菱形，故④错误.

综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个.

故选：B

7.C

【分析】本题考杳待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的

面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键.

先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令y=0,

x=0,求出点A,B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断

选项，根据图象即可判断D选项.

【详解】解：:反比例函数月=§■的图象过点C（L2）,

•••攵2=2,

・•・反比例函数为％2=*，

x

V反比例函数％=：的图象过点加，，

I2

—=—,解得〃?=4,

•・•一次函数X=Kx+力的图象过点C（l,2）,

k1+b=2

/.1,

4k,+b=-

'2

答案第3页，共18页

k1=--

解得J

b=-

2

故A选项正确；

•••一次函数的解析式为y=.

二•对于一次函数X=-gx+|，令x=0,贝U.V=T；

令"0,PPJ--X+—=0,

22

解得x=5,

・・.A（5,0）,各

••・AO=5,40=|,

Z.S=-AOBO=-X5X-=—,

AOOBB2224

<♦1，,八15.5

Sluif.=—BO-x.=—x—x]=—,

2c224

1,15

Sc4OD=2OA,^=2X5X2=4，

**•SBOC=SAQD»故B选项正确；

25_5_5

COD=s-s—s故C选项错误;

SAnRRncAnn444-4

•・•一次函数+］的图象与反比例函数%=2的图象交于点C（L2）,

Z乙X/\乙）

，由图象可得当1KXK4时，,之内，故D选项正确.

故选：C.

8.A

【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，

根据题意，设CG=DH=b,I3G=CH=a,贝ij：HG=CH-CG=a-b,三线合一，得至1J

PG=CG=b,进而得到打=〃-加，证明8GP,得至|］瞿="，进而求出。淮的

BGPG

数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：CG=DH,BG=CH,BG1CH,DE//BG,

:,设CG=DH=b,BG=CH=a,贝ij：HG=CH-CG=a-b,

=BP=BC,BG1CH,

答案第4页，共18页

・•・PG=CG=b,

/.HP=CH-PG-CG=a-2b,

「DE〃BG,

/.jDHPsBGP,

.DHHPba-2b

..---=——，即Hn：-=-----,

BGPGab

解得〃=(&+1及或4=(1-近及(不合题意，舍去)；

在RtZ\BGC中，tan/CAG嘿=(夜+］川二&-1；

故选A.

9.0

【分析】本题考查了相反数，根据0的相反数是0,即可求解.

【详解】解：相反数等于它本身的数是0,

故答案为：0.

10.2。(给+1)(加—1)

【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：8«/r-2«=2«(4/r-1)=2«(2/7+1)(2^-1)；

故答案为:243+1)(31).

II.7

【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情

况进行讨论求解即可.

【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3,3+3<7,不能构成三角形，不符合题意；

当7为腰长时，第三边长为7,3+7>7,能构成三角形，符合题意；

故第三边长为7；

故答案为：7.

12.108°

【分析】本题考查方向角有关的计算，根据方向角的定义，结合角的和差关系进行计算即可.

【详解】解：如图，由题意,得:/2=/1=45。,/3=63。，

工ZABC=Z2+Z3=108°；

答案第5页，共18页

故答案为：108。.

北

13.48

【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解

题的关键.

根据切线长定理得到AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,得至ljAD+3C=A3+CD=24,

根据四边形的周长公式计算，得到答案.

【详解】解：如图，令G。与边A8.8CCDA。的切点分别为E,F,G,H,

•・•四边形ABC力是二。的外切四边形，

・•・AE=AH、BE=BF,CF=CG,DH=DG,

/.AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG

JAD+BC=AB+CD=9+\5=24,

・•・四边形A8C£）的周长为

AO+3C+A4+CL>=24+24=48.

故答案为：48.

14.6石

【分析】本题考查菱形的性质，斜边上的中线，根据菱形的性质，得到。4=OC,斜边上的

中线得到AC=2QE,再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可.

【详解】解：•・•菱形A8C。的对角线AC4。相交于点0,AE±BC,

，OA=OC,NAEC=90°,

AAC=2OE=2y/5,

答案第6页，共18页

30=6,

・•・菱形A8CO的面积=g8Q.AC=gx6x2逐=66；

故答案为：675.

15.-1（答案不唯一）

【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.根据一元

二次方程有两个不相等的实数根，得到△＞（），结合一元二次方程的二次项的系数不为0，

进行求解即可.

【详解】解：•・•关于x的一元二次方程近2-2x+l=0有两个不相等的实数根，

•••△=（-2）2-4女＞0且女工0,

••・&vl且上工0,

••・〃的值可以为-1（答案不唯一）；

故答案为：-1（答案不唯一）.

671

16.—

5

【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关

公式是解题的关键.先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的

和差关系，求出NE4/的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可.

【详解】解：•.•正五边形48。＞右，

.AF_AR/〃人（5—2）x180。

••A七一AD^乙匕A15-----------------1Uo,

5

••,△A8/为等边三角形，A8=3,

工ZBAF=60°,AF=AB=3,

・••ZE4F=ZBAE-Z.B\F=108°-60°=48°,AE=AF=3f

・•・阴影部分的面枳即为扇形EAF的面积：萼x3?=粤：

3n（）5

故答案为：y.

17.y=6x或y=-x/3x

【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据

AP=OP=4,结合。4=4,得到jAOP为等边三角形，分点。在A点上方和点。在A点下

方两种情况，求出点尸的坐标，待定系数法求出函数解析式即可.

答案第7页，共18页

【详解】解：・・・A（4,0）,

AOA=4,

VAP=OP=4,

•IAP=OP=OA=4,

/.QAP为等边三角形，

・•・//YM=600,

过点尸作轴，则：P^=C；Psin60°=4x—=2>/3,OB=OPcos600=4x[=2,

22

•••42,2⑹或42,一2码,

设直线/的解析式为〉，=心，

工当？（2,26）时，26=22,解得A=G，此时y=&；

当P（2,-26）时，一26=22,解得A=—G，此时,，=-岛；

综上：y=&x或）,=->j3x；

故答案为：y=J3x或y=-Gx.

【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点〃到达点A时，此时点Q

与点C重合，当点尸在8c上运动时，点。的位置始终保持不变，当点。运动到"'=AC时，

此时x=4,当尸点与C点重合时，此时PQ—AQ=-2,即：AC=2,设点尸运动至IJ":=AC

时，BP=a,进而得到AB=4-a,BC=2+a,利用勾股定理列出方程求出〃的值，进而

求出的值即可.

【详解】解：由图象可知，当点P到达点8时，此时点。与点C重合，当点尸在BC上运动

时，点。的位置始终保持不变，AQ的值为AC的长，为定值，>随着x的增大逐渐减小，

答案第8页，共18页

当点P运动到PC=AC时，此时X=4,y=（）,当〜点与C点重合时，此时PQ=（）,

y=PQ-AQ=0-AC=-2,即：AC=2；

设点P运动至ljFC=AC时，BP=a,则：AB=4-a,BC=2+a,

在RtA48C中，由勾股定理，得：（4-a）2=（2+6f）2+2:,

解得。=彳2,

Q

BC=£7+2=—；

3

故答案为：g.

【分析】本题考查立方根.算术平方根，绝对值，二次根式的加减，完全平方公式，平方差

公式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键.

（1）先计算立方根，算术平方根，绝对值，再进行二次根式的加减即可；

（2）先计算完全平方公式，平方差公式，再进行合并同类项即可.

【详解】解：（1）原式=—2—277+77—2

=-77-4.

（2）原式=（4/+4a〃+Z/）—（4a2-〃2）

=4a2+4ab+b2-4a2+b2

=4ab+2b2.

20.红-；-4

m+\

【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化

简，由己知求出＞=T〃L4,再整体代入求值即可.

【详解】解：原式=痴丁+R7

答案第9页，共18页

1)+

(m+l『机-1

-------，

〃?+1

〃z("7+4)=-4,

m2=-4/72-4»

..・原式=壬

w+1

-4(〃?+1)

m+1

21.(1)证明见解析

(2)AG=—

3

【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌

握相关知识是解题的关键.

(1)由正方形的性质与折叠可得4)=皿，DAG与都是直角三角形，根据“HL”

即可证明RtDAG^RtDFG；

(2)由中点的定义得到===石，由折叠得到EF=CE=J5,

设AG=FG=x,贝i」G〃=A"一AG=24-x,GE=GE+EP=x+4b,在KtZ\G如中，根

据勾股定理构造方程，求解即可.

【详解】(1)证明：•・•四边形A8CO是正方形

ZA=ZB=ZC=90°,AB=BC=CD=AD,

由折叠可得O/；=QC,ZDFE=ZC=90°,

AAD=FD,ZDFG=180°-ZDFE=90°,

/.在RtADAG和RtADFG中

DG=DG

DA=DF

RtADAGRtADFG(HL)；

(2)解：・・・8C=A8=2、6，点上是4c的中点，

答案第10页，共18页

・••BE=CE=、BC=&

2

由折叠得到E/=CE=

VRUDAG^Rt^DFG，

・•・AG=FG

设AG=FG=x,则G8=A8-AG=2石一木,GE=GF+EF=x+&

\•在R0GHE中，GB2+BE2=GE2

222

A(2V5-X)+(V5)=(V5+X)

解得“=¥

・“_2不

••ACJ=•

3

22.(1)120；(2)96°；(3)600人；(4)(.

【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信

息是解题的关键；

(1)用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可；

(2)用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可；

(3)利用样本估计总体的思想进行求解即可；

(4)画出树状图，利用概率公式进行计算即可.

【详解】解：⑴36・30%=120；

故答案为：120：

⑵喜爱玩偶的人数为120-40-12-36=32,

32

360°x—=96°；

120

故答案为:960；

40

(3)1800x—=600(A)

答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人.

(4)根据题意，可以画出如下树状图：

答案第11页，共18页

开始

甲ABCD

人/7K人

乙ABCDABCDABCDABCD

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即

A4,A8,AC,AD,BA.BB,BC.BD、CA,CB,CC,CD.DA,DB,DC,DD,这些结果出现的可能性相

等，其中甲，乙两人恰好获得问一类文创产品的结果共有4种，即"iaccz）£>.

所以，P（甲，乙两人恰好获得同一类文创产品）=白4=；1.

164

23.（1）50元；80元

⑵购买紫丁香20株，白丁香25株：2850元

【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和

一次函数关系式是解题的关键：

（1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元,根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160

元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可：

（2）设购买紫丁香〃，株，总费用为卬元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最

值即可.

【详解】（1）解：设白丁香的单价为汇元，紫丁香的单价为y元.

12.r+7y=1160

根据题意，列方程组<

9x+14y=1570

解方程组得〈℃：

y=8（）

答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；

（2）解：设购买紫丁香m株，总费用为卬元.

w=+50x（45—）=30/72+2250

30>0

・•・“，随机的增大而增大

XV/n>20,

・•・当m=20时，"小=30x20+2250=2850

答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元.

答案第12页，共18页

24.(1)证明见解析

(2)证明见解析

?5

⑶7

【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练

掌握相关知识点是解题的关键：

(1)根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证；

(2)先证明四边形AMOV为平行四边形，等积法推出。M=ON,即可得证：

(3)垂径定理结合勾股定理求出OG的长，设OM=AM=x,在Rt/XAGM中，利用勾股

定理进行求解即可.

【详解】Q)证明：•••八8=AC,

过8=今。，

V半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，

JAE=BE,AF=CF，

工AE=BE=AF=CF，

，ZAOE=ZAOFi

(2)证明：VAM//OF,AN//OE,

・•・四边形AMON为平行四边形，

•・•半径OEQF分别与弦A3,AC垂直，

・•・AG=-Aff,AH=-AC,

22

'：AB=AC,

・••AG=AH,

•:S西边形NON=OM•AG=ON.AH,

：・OM=ON,

，四边形AA/ON为菱形；

(3)V/\B=16,

・•・AG2A8=8,

2

在RtZ\4OG中，由勾股定理，得：OGTON-AG?=6,

答案第13页，共18页

由(2)知：四边形/U7ON为菱形，

•••设0M=4W=x,则：MG=OM-OG=x-6,

在RtZXAGM中，由勾股定理，得：X2=82+(X-6)2,

解得工吟25；

95

，OM=—.

3

25.⑴A(O,1)；x=2

(2)y=-x2+4x

⑶存在；(2,1),卜2彳)

【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出

函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思根讲行求解，星解题的关健：

(1)根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可；

(2)根据二次函数的增减性，列出方程求出。的值即可；

(3)分4P为对角线，AM为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可.

【详解】(1)解：•・•点A的坐标是(一1,0),

A0/4=1,

•••以原点为中心，把点A顺时针旋转90。，

ZAQA'=90°,OAr=OA=l,

此时点4在y轴正半轴上，

・•・4(04)；

*.*y=ax2<0),

・•・对称轴为直线x=-f=2；

2a

(2)*/y=av2-4ar(«<0),对称轴为直线x=2,

・••当x>2时，丁随工的增大而减小，

V3<x<5,

，当x=3,)'有最大值为32a-4xM=-3a=1-2a,

a=—lf

答案第14页，共18页

y=-x2+4x：

(3)存在；

Vy=-x2+4x,

・•・当x=2时，y=-22+4x2=4,

.・.P（2,4）,

设M（0,〃?），N（s"）,

由（1）知:4（0,1）；

当以点N,P,M,N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况：

①当4P为对角线时，则为以M为顶点的直角三角形，PN//AM,即取〃轴,

AN//PM,

・・・PM_Ly轴，

・•・ANJL），轴，

・・・M（0,4）,N（2,l）；

0+0=2+ss=-2

②当以AM为对角线时，贝I」：，-+〃解得

ni=!+3f

AM（0,r+3）,N（-2"）,

•・•AM=PN,

・・・（f+3—1『二（2+21+（4T『，解得/=g；

③当以尸”为对角线时，要满足A,P,M,N为顶点的四边形是矩形，则需要满足.//A/

是以为直角的直角三角形，即PAJL），轴，与题意不符；故此种情况不存在；

综上：N（2,l）或N、2g）.

答案第15页，共18页

26.(1)csinZ.BAC,a-sinZACB»csinZ.BAC,a-sinZACB；(2)4c=3.1,BC^3.8；

（3）证明见解析；（4）行.

【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可；

（2）根据（1）中结论可知代入相美数值求解即可：

sin/AsinBsine

（3）连接OAOC,延长人aco分别交CO干。，E,连接CDBDAEIE,根据育径对百

角和圆周角定理可知4cB=Z4DB,ZADC=ZAEC=ZABC,ZBEC=NBAC,

NABD=NACD=NCAE=NCBE=90。,根据三角函数的定义，分别在RtAABO,RtADC,

b_c

RtAAEC,RtBCE中，可得AD=2R,

sinZABC~sinZAC8

--------=---------=CE=2R即可得证;

sinZ.BACsinNABC

（4）过。作OH_L£F,连接OE,OF,根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得

EF=2EH=>/3OE=—AD,当AO_£3c时，A。最小，此时EF也最小，根据三角函数求

2

出A。最小值，即可得解.

【详解】（1）解：同理，在R3A曲中，BE=csinZBAC,

在Rt8£C中，BE=asinZAC8,

c-sinZ.BAC=a-sinZACB,

即一--=---,

sin/BACsinZACB

.abc

,•sinZBAC~sinZ.ABC~sinZACB；

故答案为：csinZBAC,asinZ