北京市八十中2026届高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

北京市八十中2026届高二上数学期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.2．直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.150°3．已知是虚数单位，若复数满足，则（）A. B.2C. D.44．直线l：的倾斜角为（）A. B.C. D.5．已知数列满足，则满足的的最大取值为（）A.6 B.7C.8 D.96．函数在的最大值是（）A. B.C. D.7．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A. B.C. D.8．抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m，则灶口直径AB为（）A.2m B.3mC.4m D.5m9．设命题，，则为（）.A.， B.，C.， D.，10．如图，空间四边形中，，，，且，，则（）A. B.C. D.11．已知全集，，（）A. B.C. D.12．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是（）A①简单随机抽样，②分层抽样 B.①分层抽样，②简单随机抽样C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层抽样二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______14．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则______.15．等比数列中，，，则数列的公比为____.16．已知函数，，则曲线在处的切线方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点作直线l与椭圆C相切于点Q，且直线l斜率大于0，过线段PQ的中点R作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在y轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，试判断直线MN的斜率是否为定值；若是，请求出该定值18．（12分）已知为数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和（3）设，若不等式对一切恒成立，求实数取值范围19．（12分）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴（1）试写出，并求；（2）记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和20．（12分）已知数列的前项的和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）如图，在三棱锥中，，平面，，分别为棱，的中点.（1）求证：；（2）若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积.22．（10分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C2、C【解析】先求斜率，再求倾斜角即可【详解】解：直线的斜截式方程为，∴直线的斜率，∴倾斜角，故选：C【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题3、C【解析】先求出，然后根据复数的模求解即可【详解】，，则，故选：C4、D【解析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率为，倾斜角的范围为,则倾斜角为.故选：D.5、B【解析】首先地推公式变形，得，，求得数列的通项公式后，再解不等式.【详解】因为，两边取倒数，得，整理为：，，所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，，，因为，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故选：B6、C【解析】利用函数单调性求解.【详解】解：因为函数是单调递增函数，所以函数也是单调递增函数，所以.故选：C7、B【解析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.故选：B.8、C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据是抛物线的焦点，求得抛物线的方程，进而求得的长.【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合，设抛物线的方程为，由题意可得是抛物线的焦点，即，可得，所以抛物线的方程为，当时，，所以.故选：C.9、B【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.【详解】因为命题，，所以为，.故选：B.10、C【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为，又因为，，所以.故选：C11、C【解析】根据条件可得，则，结合条件即可得答案.【详解】因，所以，则，又，所以，即.故选：C12、B【解析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项【详解】在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题可得，即求.【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得.故答案为：.14、2或10【解析】求出在处的导数，得出切线方程，与联立，利用可求.【详解】令，，则，，可得曲线在点处的切线方程为.联立，得，，解得或.故答案为：2或10.15、【解析】根据等比数列的定义，结合已知条件，代值计算即可求得结果.【详解】因为是等比数列，设其公比为，又，，故可得，解得.故答案为：.16、【解析】根据导数的几何意义求得在点处的切线方程.【详解】由，求导，知，又，则函数在点处的切线方程为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）是，【解析】（1）根据离心率以及椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积列出等式即可求解；（2）设出相关直线与相关点的坐标，直线与椭圆联立，点的坐标配合斜率公式化简，再运用韦达理化简可证明.【小问1详解】由题意得，解得，则椭圆C的标准方程为【小问2详解】设切线PQ的方程为，，，，，由，消去y得①，则，解得或（舍去），将代入①得，，解得，则，所以，又R为PQ中点，则，因为PA，PB斜率都存在，不妨设，，由①可得，所以，，同理，，则，又R，A，B三点共线，则，化简得，所以.18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的关系，根据等比数列的定义求通项公式.（2）由（1）可得，应用裂项相消法求.（3）应用错位相减法求得，由题设有，讨论为奇数、偶数求的取值范围【小问1详解】当时，，可得，当时，，可得，∴是首项、公比都为的等比数列，故.【小问2详解】由（1），，∴.【小问3详解】由题设，，∴，则，∴，由对一切恒成立，令，则，∴数列单调递减，∴当为奇数，恒成立且在上递减，则，当为偶数，恒成立且在上递增，则，综上，.19、（1），；（2）.【解析】（1）根据题设找到规律写出，由等差数列的定义求.（2）由等差数列前n项和求，再利用裂项相消法求.【小问1详解】由题意知：，，，，可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即，所以数列是以4为首项，以3为公差的等差数列，则.【小问2详解】由题意可知，，所以，则，所以，，即20、（1）；（2）.【解析】（1）根据，并结合等比数列的定义即可求得答案；（2）结合（1），并通过错位相减法即可求得答案.【小问1详解】当时，，当时，，是以2为首项，2为公比的等比数列，.【小问2详解】，…①…②①-②得，.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质即证；（2）利用坐标法，结合条件可求，然后利用体积公式即求.【小问1详解】，是的中点，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小问2详解】，，，取的中点，连接