考研理学2025年量子物理计算试卷（含答案）

考研理学2025年量子物理计算试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.在一维无限深势阱中，粒子处于基态时，其波函数为ψ。求在0到L/4区间内找到该粒子的概率。2.一个质量为m的粒子在势能为V(x)的场中运动，其波函数满足时间相关的薛定谔方程：iħ∂ψ/∂t=[-ħ²/2m*∂²ψ/∂x²+V(x)ψ]。请写出此方程的物理意义，并说明其中各符号的含义。3.粒子的位置坐标x和动量pᵪ满足不确定性关系Δx*Δpᵪ≥ħ/2。若一个电子的位置不确定性为0.1nm，则其动量不确定性至少为多少？请计算并说明此结果对电子运动描述的意义。4.一维线性谐振子势能为V(x)=1/2*mω²x²，其中m为振子质量，ω为角频率。请写出振子的能级表达式，并说明能级间隔与量子数的关系。二、1.一个质量为m的粒子被限制在长度为L的无限深势阱中。求粒子处于n=2能级时，在x=L/4处找到该粒子的概率密度，并与基态时的相应概率密度进行比较。2.一个电子处在n=2,l=1,m=0的状态。请写出该状态的波函数表达式（球坐标形式，无需归一化）。计算该电子的总角动量大小和它在z轴上的分量。3.一个氢原子处于n=3,l=2的状态。请说明该状态有几种不同的m₁取值。若该原子从n=3,l=2状态跃迁到n=2,l=1状态，发射一个光子。请写出此跃迁的选择定则，并说明发射光子的频率ν与初末态能量E₃,E₂的关系式。三、1.一个质量为m的粒子在势能为V在x=0处有最大值。请用微扰理论近似计算该粒子基态能量的第一级修正（设V₀较大，粒子主要束缚在x=0附近）。2.考虑一维无限深势阱中粒子从n=1跃迁到n=2。请用矩阵力学方法，写出描述此跃迁过程的算符表达式，并说明其物理意义。计算跃迁发生的概率幅，并说明此概率幅与入射波强度和初末态能量的关系。四、1.设一粒子体系的哈密顿量为H=H₀+λV，其中H₀是不含微扰项V的哈密顿量，λ是小参数。请说明微扰理论求解体系能量的方法，并用此方法计算能量零级近似和一级近似表达式。2.在一维无限深势阱中，粒子处于n=1和n=2的态叠加态ψ=C₁ψ₁+C₂ψ₂。请写出此叠加态波函数的表达式。若C₁和C₂满足归一化条件|C₁|²+|C₂|²=1，请计算在0到L/2区间内找到该粒子的概率。试卷答案一、1.概率=∫[₀^(L/4)]|ψ(x)|²dx=∫[₀^(L/4)](2/L)²sin²(πx/L)dx=(1/L)∫[₀^(L/4)][1-cos(2πx/L)]dx=(1/L)[(x)-(1/(2π/L))sin(2πx/L)]⁽⁰⁽^(L/4)=(1/L)[(L/4)-0]=1/4。结果为L/4。2.该方程描述了在势能为V(x)的场中，质量为m的粒子的波函数ψ(x,t)随时间t的演化规律。ħ为约化普朗克常数，i为虚数单位。方程左边是波函数对时间的全导数，右边是波函数对空间坐标的二阶偏导数项（动能项）与势能项的乘积之和。它体现了量子力学的基本原理，即波函数的演化由哈密顿量决定。3.根据Δx*Δpᵪ≥ħ/2，得Δpᵪ≥ħ/(2Δx)=(1.054×10⁻³⁴J·s)/(2×0.1×10⁻⁹m)≈5.27×10⁻²⁶kg·m/s。此结果说明，微观粒子的位置和动量不可能同时被无限精确地测定，位置越确定，动量不确定性越大，符合量子力学基本原理。4.一维线性谐振子的能级为Eᵢ=(ī+1/2)ħω，其中i=0,1,2,...。能级间隔为ΔE=Eₙ₊₁-Eₙ=ħω。由此可见，谐振子的能级是等间隔的，间隔大小与量子数i无关，仅由角频率ω决定。二、1.n=2能级波函数ψ₂(x)=√(2/L)cos(πx/L)。概率密度|ψ₂(x)|²=(2/L)cos²(πx/L)。在x=L/4处，cos(πx/L)=cos(π/4)=√2/2。所以|ψ₂(L/4)|²=(2/L)*(√2/2)²=1/L。基态波函数ψ₁(x)=√(2/L)sin(πx/L)，在x=L/4处，sin(πx/L)=sin(π/4)=√2/2。所以|ψ₁(L/4)|²=(2/L)*(√2/2)²=1/L。比较结果：在x=L/4处，找到粒子的概率密度为1/L，基态和激发态n=2在该点的概率密度相同。2.状态波函数ψ(n=2,l=1,m=0)=R₂₀(r)*Y₁¹⁰(θ,φ)，其中R₂₀(r)=(1/4√(30α³))*e^(-αr)(6-8αr+2α²r²)，α=√(2mE₀/ħ²)，E₀=1/2*me⁴/ħ²n²是电子在氢原子基态的能量。Y₁¹⁰(θ,φ)=√(3/(4π))*cos(θ)。总角动量大小L=√(l(l+1))ħ=√(1(1+1))ħ=√2ħ。z轴分量Lₚ=mħ=0ħ=0。3.对于l=2，m₁的取值有-2,-1,0,1,2五种。跃迁选择定则为Δl=±1,Δm₁=0,±1。发射光子的频率ν=E₃-E₂=E₀[(n₃²/n₂²)-1]，其中E₀=me⁴/2ħ⁴是氢原子电离能。三、1.在x=0附近，势能V(x)≈V₀x²。哈密顿量H=H₀+V₀x²。微扰项V'=V₀x²。能量零级近似E₀=E₀(H₀)。能量一级近似E₁=<ψ₀|V'|ψ₀>=∫[⁻∞⁺∞]ψ₀*(x)V₀x²ψ₀(x)dx=V₀∫[⁻∞⁺∞](2/L)*x²dx。由于ψ₀(x)在x=0处最大且关于0对称，此积分在对称区间上奇函数的积分为0。所以E₁=0。基态能量近似为E₀。2.描述跃迁的算符为Δ=|2⟩⟨1|。其物理意义是，作用于此算符后，体系从n=1态变为n=2态的概率幅为|⟨2|1>|。跃迁概率幅|Δ|=|⟨2|1>|。跃迁概率P∝|Δ|²=|⟨2|1>|²。此概率幅与入射波（n=1态）强度和初末态能量差E₂-E₁有关（具体形式依赖于波函数和哈密顿量）。四、1.微扰理论近似计算能量的方法：假设哈密顿量H=H₀+λV，其中λ为小参数。假设体系基态波函数ψ₀(x)满足H₀ψ₀=E₀ψ₀。能量零级近似E₀=E₀(H₀)，波函数近似ψ₀。能量一级近似E₁=E₀+<ψ₀|V|ψ₀>=E₀+λ<ψ₀|V|ψ₀>。能量二级近似E₂=E₀+λ²<ψ₀|V²|ψ₀>+...。需要计算矩阵元<ψ₀|V|ψ₀>。2.叠加态波函数ψ=C₁ψ₁+C₂ψ₂。在0到L/2区间内找到粒子的概率P=∫[₀^(L/2)]|ψ(x)|²dx=∫[₀^(L/2)]|C₁ψ₁+C₂ψ₂|²dx=∫[₀^(L/2)](|C₁|²+|C₂|²+2C₁C₂*ψ₁(x)ψ₂(x))dx。由于ψ₁(x)和