2025年统计学考研概率论真题汇编试卷（含答案）

2025年统计学考研概率论真题汇编试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.设事件A,B满足P(A|B)=P(A)，且P(B)>0，则事件A与B必然（）。（A）互斥（B）独立（C）互为对立事件（D）互不相容2.设随机变量X的分布函数为F(x)=α+βarctan(x)，-∞<x<+∞，若X服从均匀分布，则α,β的值分别为（）。（A）0,1/π（B）1/2,1/π（C）1,1/2π（D）1/2,π/23.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，则λ的值为（）。（A）1（B）2（C）3/2（D）1/24.设随机变量X的概率密度函数为f(x)={c(x^2),0≤x≤1;0,其他，则常数c的值为（）。（A）1（B）3/2（C）1/2（D）25.设随机变量X,Y独立同分布，均服从参数为p的0-1分布，则P(XY=1|X+Y=1)的值为（）。（A）p（B）1-p（C）1/2（D）p/(1-p)6.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)={1/(π*2),x^2+y^2≤1;0,其他，则X与Y必然（）。（A）独立（B）不独立（C）相关（D）不相关7.设随机变量X,Y的期望分别为E(X)=2,E(Y)=3，方差分别为D(X)=1,D(Y)=4，且Cov(X,Y)=1，则X+Y的方差为（）。（A）6（B）7（C）10（D）118.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X≤μ)=0.3，则P(X>μ+σ)的值为（）。（A）0.3（B）0.7（C）0.2（D）0.8二、填空题1.设事件A,B互斥，且P(A)=0.4,P(B)=0.3，则P(A∪B)=_______。2.设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则P(X=0)=_______。3.设随机变量X的概率密度函数为f(x)={2x,0≤x≤1;0,其他，则P(0.3≤X≤0.7)=_______。4.设随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4，则根据切比雪夫不等式，P(|X-2|≥3)≤_______。5.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下：||Y=0|Y=1||-------|--------|--------||X=0|0.1|0.2||X=1|0.3|α|则α的值为_______，P(X+Y=1)=_______。6.设随机变量X,Y独立，X服从U(0,1)，Y服从指数分布E(2)，则E(XY)=_______。7.设随机变量X,Y独立同分布，均服从N(0,1)，则P(X^2+Y^2≤1)=_______（可使用π）。8.设随机变量X,Y的相关系数ρ(X,Y)=0.5，D(X)=1,D(Y)=4，则Cov(X,Y)=_______。三、计算题1.甲、乙两人约定在下午1:00到2:00之间在某地会面，先到者等待另一人15分钟，过时就离开。假设两人在下午1:00到2:00之间到达该地的时刻是相互独立的，且均匀分布在[0,60]分钟上。求两人能会面的概率。2.设随机变量X的分布函数为F(x)={0,x<0;(1-p)p^x,0≤x<1;1,x≥1，其中0<p<1。(1)求X的概率分布律；(2)求E(X)和D(X)。3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)={4xy,0≤x≤1,0≤y≤x;0,其他。(1)求X的边缘概率密度函数f_X(x)；(2)判断X与Y是否独立；(3)求E(XY)。4.设随机变量X,Y独立同分布，均服从N(0,1)。(1)令Z=X+Y，求Z的概率密度函数f_Z(z)；(2)令W=X-Y，求W的方差D(W)。5.设随机变量X,Y独立，X服从U(0,1)，Y服从指数分布E(λ)。求Z=X+Y的概率密度函数f_Z(z)。四、证明题1.设随机变量X的期望E(X)存在，证明：对任意实数a，有P(X≥a)≤E(X)/a（a>0）。（提示：考虑随机变量Y=max(X,a)）2.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，证明：X与Y独立当且仅当X与Y不相关。试卷答案一、选择题1.B2.B3.A4.B5.A6.B7.D8.C二、填空题1.0.72.e^(-3)3.0.394.1/35.0.4,0.56.1/47.π/48.2三、计算题1.解：设X,Y分别为甲、乙到达时刻，X,Y~U(0,60)。两人能会面，当且仅当|X-Y|≤15。P(会面)=P(|X-Y|≤15)=∫[0,60]∫[max(0,x-15),min(60,x+15)](1/60*1/60)dydx=(1/3600)*[∫[0,15]∫[x-15]dydx+∫[15,45]∫[0]dydx+∫[45,60]∫[x-15]dydx]=(1/3600)*[15*15+45*15+15*(60-45)]=(1/3600)*[225+675+225]=(1125/3600)=5/16。答案：5/16。2.解：(1)P(X=k)=P(X≤k)-P(X≤k-1)=F(k)-F(k-1)。当k=0,P(X=0)=F(0)-F(-1)=(1-p)p^0-0=1-p。当k=1,P(X=1)=F(1)-F(0)=1-(1-p)p^0=p-(1-p)=p。X的概率分布律为：X~{p,1-p}。(2)E(X)=0*(1-p)+1*p=p。E(X^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p。D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p)。答案：分布律为{p,1-p}；E(X)=p,D(X)=p(1-p)。3.解：(1)f_X(x)=∫[-∞,+∞]f(x,y)dy=∫[0,x]4xydy=4x(y^2/2)|_[0,x]=2x^3,0≤x≤1。f_X(x)={2x^3,0≤x≤1;0,其他。(2)f_X(x)*f_Y(y)={2x^3*2y,0≤x≤1,0≤y≤x;0,其他}={4x^3y,0≤x≤1,0≤y≤x;0,其他}≠f(x,y)。故X与Y不独立。(3)E(XY)=∫[0,1]∫[0,x]xy*4xydydx=4∫[0,1]x^2∫[0,x]y^2dydx=4∫[0,1]x^2*(y^3/3)|_[0,x]dx=(4/3)∫[0,1]x^5dx=(4/3)*(x^6/6)|_[0,1]=4/18=2/9。答案：f_X(x)={2x^3,0≤x≤1;0,其他}；不独立；E(XY)=2/9。4.解：(1)f_Z(z)=∫[-∞,+∞]f_X(x)f_Y(z-x)dx=∫[-∞,+∞](1/(2π*√2))*exp(-(x^2)/2)*exp(-(z-x)^2/2)dx=(1/(2π*√2))*exp(-z^2/4)*∫[-∞,+∞]exp(-(x-(z/2))^2)dx。令t=x-z/2，则dt=dx，积分范围不变。f_Z(z)=(1/(2π*√2))*exp(-z^2/4)*∫[-∞,+∞]exp(-t^2)dt=(1/(2π*√2))*exp(-z^2/4)*(√(2π))=(1/√(2π))*exp(-z^2/4)。Z~N(0,2)。(2)D(W)=E(W^2)-(E(W))^2。E(W)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0-0=0。E(W^2)=E((X-Y)^2)=E(X^2-2XY+Y^2)=E(X^2)-2E(XY)+E(Y^2)。由于X,Y独立同N(0,1)，E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1+0=1，E(Y^2)=1。E(XY)=E(X)E(Y)=0*0=0。E(W^2)=1-2*0+1=2。D(W)=2-0^2=2。答案：(1)f_Z(z)=(1/√(2π))*exp(-z^2/4)；(2)D(W)=2。5.解：方法一：分布函数法。F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=∫[0,z]∫[0,z-x]f_U(x)f_V(y)dydx(假设z≥0)=∫[0,z]∫[0,z-x]1*exp(-λy)dydx=∫[0,z][(-1/λ)exp(-λy)]|_[0,z-x]dx=(-1/λ)∫[0,z][exp(-λ(z-x))-1]dx=(-1/λ)[exp(-λ(z-x))*(z-x)|_[0,z]-∫[0,z]dx]=(-1/λ)[0-(-z)exp(-λz)-z]=(-1/λ)[-z-z]=2z/λ*(1-exp(-λz))。F_Z(z)={0,z<0;2z/λ*(1-exp(-λz)),z≥0。f_Z(z)=F_Z'(z)={0,z<0;2/λ*(1-exp(-λz))+2z/λ*(-λ)exp(-λz),z≥0={0,z<0;2/λ*(1-exp(-λz)-zexp(-λz)),z≥0。方法二：卷积公式（假设z≥0）。f_Z(z)=∫[-∞,0]f_U(x)f_V(z-x)dx+∫[0,+∞]f_U(x)f_V(z-x)dx=∫[-∞,0]1*exp(-λ(z-x))dx+∫[0,+∞]1*exp(-λ(z-x))dx=[exp(-λ(z-x))/(-λ)]|_[-∞,0]+[exp(-λ(z-x))/(-λ)]|_[0,+∞]=[exp(λz)-0]/(-λ)+[0-exp(-λz)]/(-λ)=-exp(λz)/λ+exp(-λz)/λ=(1-z)exp(-λz)/λ。综合两部分，f_Z(z)={0,z<0;(2-2z)exp(-λz)/λ,z≥0。答案：f_Z(z)={0,z<0;(2-2z)exp(-λz)/λ,z≥0}。四、证明题1.证明：令Y=max(X,a)。由Y的定义知，Y≥a。E(Y)=E(max(X,a))=∫[-∞,+∞]max(x,a)f_X(x)dx。当x<a时，max(x,a)=a；当x≥a时，max(x,a)=x。E(Y)=∫[-∞,a]af_X(x)dx+∫[a,+∞]xf_X(x)dx=aP(X<a)+∫[a,+∞]xf_X(x)dx。由于P(X<a)=∫[-∞,a]f_X(x)dx，令t=x-a，则dt=dx，积分范围t∈[-a,0]。∫[a,+∞]xf_X(x)dx=∫[0,-a](t+a)f_X(t+a)dt=∫[0,-a]tf_X(t+a)dt+a∫[0,-a]f_X(t+a)dt。由于f_X(x)非负，且∫[-∞,+∞]f_X(x)dx=1，上式第二项积分为a。第一项积分上限小于下限，视为0或与aP(X<a)项抵消。因此，E(Y)=aP(X<a)+a。P(X≥a)=P(Y=a)=E(Y)-aP(X<a)=a-aP(X<a)=a(1-P(X<a))=aP(X≥a)。所以P(X≥a)≤E(Y)/a=aP(X<