模型04 相似三角形模型（十大易错分析+举一反三+易错题通关）（全国）（原卷版）

模型04相似三角形模型易错模型1：一线三等角（K字）模型模型解读“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（同侧锐角型）（同侧直角型）（同侧钝角型）（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED。2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.易错提醒：未正确识别或添加辅助线以构造“一线三等角”，导致无法形成相似或全等三角形‌。例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（

）

A． B． C． D．变式1．（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，中，，，直线过点，过点、分别作于点，于点，则（不用证明）．

(1)【类比探究】如图2，在中，，且，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．(2)【拓展延伸】①如图3，在中，，且，猜想线段、、之间有什么数量关系？并证明你的猜想．②若图1的中，，，并将直线绕点旋转一定角度后与斜边相交，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点，请在备用图上画出图形，并直接写出线段、、之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．变式2．（2024·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（

）A．B．若点D是AB的中点，则C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时，D．若，则易错模型2：手拉手模型模型解读“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC。2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，，；结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形）条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点；结论：△BME∽△CMF；.条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.易错提醒：1）忽略“共顶点、双等腰、顶角相等”三个必要条件，误将非手拉手模型图形强行套用结论‌；2）未遵循“左手拉左手，右手拉右手”原则，错误连接对应点（如将顶点B与D连接而非B与E）。‌例1．（2024·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的旋转变换进行研究．(1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系；(2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值．变式1．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则．变式2．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．变式3．（2024·山西·模拟预测）综合与实践问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转．猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长．易错模型3：半角模型模型解读半角模型特征：①共端点的等线段；②共顶点的倍半角；半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°图1图2结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN；结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN.结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；图3图4结论：如图4，△AMN∽△AFE且．2）半角模型（含120-60°半角模型）图5条件：如图5，已知∠BAC＝120°，；结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）。易错提醒：1）误将半角模型结论套用于非半角场景（如普通三角形）‌；2）动态问题中未保持半角恒定性（如旋转后角度变化未重新验证）.‌例1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB．其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5变式1．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长．（2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系．变式2．（2024·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点．①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长．②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．易错模型4：对角互补模型模型解读四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；②2）对角互补相似 2条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。易错提醒：1）误将“全等型对角互补”结论套用于相似场景；2）‌区分相似对角互补模型与普通相似模型的区别（如是否需满足∠A+∠C=180°）。‌例1．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且．【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长．变式1．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持.(1)若，求证：①，②；(2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程；②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积.变式2．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，（n为正整数），点E是边上一动点，P为中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转，与矩形的边交于点F．【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在边上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明；【深入探究】（2）若，在点E的运动过程中，当点F在边上时，求的最小值；【拓展运用】（3）若，设的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）．易错模型5：十字架模型模型解读矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。1）条件：如图，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：。2）条件：如图，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：。3）条件：如图，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：。4）条件：如图，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。5）条件：如图，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。6）如图，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似）易错提醒：1）在等腰直角三角形中，未补齐正方形结构或误用平行线构造相似三角形‌；2）如延长垂直线段构造正方形，显化全等或相似关系。例1．（23-24下·衢州·二模）在矩形中，E是边的中点，连接，过点B作于点F，射线与直线交于点P，设．(1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定m的值；(3)作点B关于直线的对称点，当以点P，D，为顶点的三角形是等腰三角形时，求的值．变式1．（23·24·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于．

变式2．（23·24下·三明·期末）如图①，在中，，，点D在边上，过点C作，垂足为M，交于点E．(1)小亮通过探究发现，请你帮他说明理由；(2)如图②，平分交于点N，小明通过度量猜想有，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接，若D是的中点，小刚通过探究得到结论，请你帮他说明理由．

易错模型6：（双）A字模型模型解读“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。①“A”字模型②反“A”字模型③同向双“A”字模型④内接矩形模型图1图2图3图4①“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。②反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。③同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。④内接矩形模型条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。易错提醒：1）未过“截点”作平行线构造A字型，直接利用已知线段推导比例关系‌；2）A字模型需结合几何直观与代数计算，避免因图形复杂度忽略共角与平行线两大核心条件。‌例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为．变式1．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为．变式2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，垂足为，，垂足为，与相交于点，(1)判断与是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接，求证：；(3)若，，，求的长．易错模型7：（双）8字模型模型解读“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．①“8”字模型②反“8”字模型③平行双“8”字模型④斜双“8”字模型图1图2图3图4①“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。②反“8”字模型条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。③平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥CD；结论：。④斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。①一“A”+“8”模型②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型）③四“A”+“8”模型图1图2图3①一“A”+“8”模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。②两“A”+“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。③四“A”+“8”模型3条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。易错提醒：1）混淆“全等型8字”与“相似型8字”的辅助线构造方法（如误用全等结论解决相似问题）‌；2）复杂图形（如折叠或组合图形）中未发现隐藏的8字结构（如误将相交线视为普通线段）。‌例1.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求．变式1．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积；(2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由；(3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积

变式2．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；

小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．易错模型8：母子型（共边共角模型）模型解读“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。图1图2图3图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；4）共边模型条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；母子型相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。易错提醒：混淆“母子型”与“双垂直模型”的射影定理结论（如误用AC²=AD·AB解决非垂直问题）。‌例1．（2024·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．

(1)应用：如图1，若点是线段的黄金分割点，若，则的长为______．(2)运用：如图2，已知等腰三角形为“黄金三角形”，，，为的平分线．求证：点是的黄金分割点．(3)如图3中，，，平分交于F，取的中点E，连接并延长交的延长线于M．，请你直接写出的长为__________．变式1．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（

）A． B．3 C．9 D．变式2．（2023·山东淄博·九年级期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．

变式3．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接．(1)初步探究：如图2，若，求证：；(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；(3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．易错模型9：梅涅劳斯、塞瓦（定理）模型模型解读梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，如图3，则。塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。易错提醒：将梅涅劳斯定理（三点共线）误用于塞瓦定理（三线共点）场景，导致比例式错误‌。例1．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，∴，．请用上述定理的证明方法解决以下问题：（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．

变式1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则．变式2．（2024·山西·校考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．易错模型10：托勒密定理模型模型解读托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，求证：．特例：（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，根据托勒密定理有：，又等边△ABC有AB=AC=BC，故：．特例：（2）当△ABC是等腰直角三角形，如图2，根据托勒密定理：，又，代入可得结论：．特例：（3）当△ABC是一般三角形时，如图2，根据托勒密定理可得：又BC：AC：AB=a：b：c，代入可得结论：．易错提醒：1）将托勒密定理（四点共圆）误用于非共圆四边形，导致错误使用等式结论‌；2）混淆托勒密定理与圆幂定理、中位线定理的应用条件（如误用圆幂定理替代乘积关系）‌。例1．（2024·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：克罗狄斯・托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家．托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程：证明：如图1，作，交于点.，（依据1），（依据2），，，.，，即，，，．任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______．(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．(3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长．变式1．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为(

)A． B． C． D．变式2．（2024·山东德州·一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．(3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果）(4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？1-1．（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．根据以上的操作，若，，则线段的长是（

）

A．3 B． C．2 D．11-2．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P是内部一点，在射线上取点D、E，使得．求证：；【尝试应用】如图2，在中，，，D是上一点，连接BD，在BD上取点E、F，连接，使得．若，求CE的长；【拓展提高】如图3，在中，，，D是上一点，连接BD，在BD上取点E，连接CE．若，，求的正切值．

1-3．（2024·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长．【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长．2-1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．2-2．（2024·山东枣庄·二模）综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．(1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．2-3．（2024·山东济南·模拟预测）(1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为；(2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理．(3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长．3-1．（2023·江苏宿迁·三模）如图，平面直角坐标系中，长方形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，、分别交，于点D、E，且，则的长为（

）

A．1 B． C．2 D．3-2．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．若将固定不动，把绕点A逆时针旋转a（），此时线段，射线分别与射线交于点M，N．(1)当旋转到如图2所示的位置时，①求证：；②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若，求的长；(2)在旋转过程中，若，请直接写出的长_________（用含d的式子表示）．

3-3．（2024·山东烟台·一模）如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．

【实践探究】（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________．（2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展应用】（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长．4-1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点E，交线段于点F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。“阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是的中点．理由如下：∵于点D，．∵点E是的中点，．，．是等边三角形．，．．又，．．即若点E是的中点，则点F也是的中点．反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是的中点．请你根据条件证明这个结论；拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由．4-2．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．5-1．（2024·山西大同·模拟预测）矩形中，E为AD边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交CD边于点H，且，则线段的长为．5-2．（23·24下·吉安·模拟预测）课本再现：(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程：证明：∵是等边三角形，∴．∵，∴，∴．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是；

迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为5-3．（23·24上·深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为．6-1．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（

）A． B．3 C． D．46-2．（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为．6-3．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（）A．5 B．7 C．6 D．87-1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为．7-2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为．7-3．（2023·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（

）

A． B． C． D．7-4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像．【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为．已知，，当时，求证：．证明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即①，∴②，∴，∴，即．请结合上述材料，解决以下问题：(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________；(3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象．8-1．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题．射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）：∵是斜边上的高，∴．∵，，∴．∴（依据）．∴．即．(1)材料中的“依据”是指；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；(3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标．8-2．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分．(1)求证：．(2)当时，求的值．8-3．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、P