《高等数学 上册》课件 第6章 第三节 微分方程的降阶法

讲解：数学教研室单位：公共课部第五节：微分方程的降阶法第六章：常微分方程二、y(n)=f(x)型的微分方程目录CONTENTS三、y″=f(x,y′)型的微分方程四、y″=f(y,y′)型的微分方程五、小结与练习一、一阶线性微分方程练习讲解01一阶线性微分方程练习讲解TransitionPageTitle7（1）求下列线性微分方程的通解解:这是一阶非齐次线性方程.用常数变易法，把C换成C(x),先求对应的齐次方程的通解.方法一故

于是方程的通解为代入原方程，得得即化简得7（1）求下列线性微分方程的通解1.定性：一阶非齐线性微分方程2.指出p(x),q(x)3.套公式方法二：套公式7（3）求下列线性微分方程的通解解:这是一阶非齐次线性方程.用常数变易法，把C换成C(x),先求对应的齐次方程的通解.方法一故

于是方程的通解为化简得得即代入原方程，得7（3）求下列线性微分方程的通解1.定性：一阶非齐线性微分方程2.指出p(x),q(x)3.套公式方法二：套公式8（1）1.定性：y是x的函数，一阶线性微分方程2.指出p(x),q(x)3.套公式特解为代入得02y(n)=f(x)型的微分方程TransitionPageTitle2.1分析

2.2求解

解法：特点：微分方程右端仅含有变量

x的函数依此法继续进行积分n次，阶数减为0，即可得原方程的通解。逐次积分，阶数递减例1求y″′=sinx+cosx的通解.解：原方程的通解为积分求得同理可得练习解：原方程的通解为积分求得同理可得03y″=f(x,y′)型的微分方程TransitionPageTitle3.1分析

3.2求解

设其通解为积分得原方程通解为特点：代入原方程得：即于是右端不显含未知函数yy″=f(x,y′)解法：设例2求方程满足初始条件的特解。计算得通解为积分得原方程通解为代入原方程得：即于是解：设代入初始条件得特解为（可分离变量）练习2求下列方程的通解。计算得通解为积分得原方程通解为代入原方程得：即于是解：设化简得：（一阶线性非齐方程）03y″=f(y,y′)型的微分方程TransitionPageTitle4.1分析

4.2求解

特点：解：设分离变量并积分得原方程通解为代入原方程得：设其通解为右端不显含自变量xy″=f(y,y′)例3解:

此方程不显含自变量，令y′=p,则原方程可化为从而

p=0,或前者对应解y=C,后者对应方程两边积分得即再分离变量后积分，得因此，原方程的解为y=C及求方程

的通解。P228例5练习求方程的通解。解:

此方程不显含自变量，令y′=p,则原方程可化为从而

p=0,或前者对应解y=C,后者对应方程两边积分得即再分离变量后积分，得因此，原方程的解为y=C

及总结可降阶微分方程的解法逐次积分令令通过代换将其化成较低阶的方程来求解.1.2.3.作

业作业

习题6-31、（1）（7）2、（4）3作业讲解TransitionPageTitle习题6-31、求下列各微分方程的通解:方程两边连续积分两次得解：习题6-3令

p=y′,则原方程变为得

故

解：习题6-3令

p=y′,则原方程可化为

以x=0,y′=0代入上式得，C1=kπ,当x=0,y=1,

代入上式得C2=1,故所求特解为

解：