不等式与一元一次不等式（讲练）-初中七年级数学下册（含解析）

专题9.12不等式与一元一次不等式

典例体系（本专题共56题23页）

一、知识点

1、不等式的性质：

①性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

②性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

③性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

2、解一元一次不等式

3、一元一次不等式的应用

二、考点点拨与训练

考点1：不等式的定义和意义

典例：（2020•浙江绍兴市•八年级其他模拟）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量

设为心则x的取值范围是.

规格：□□□□

贮藏：□□□□

【答案】10WXW25

【详解】

解：若每天服用2次，则所需剂量为15~25mg之间，

50

若每天服用3次，则所需剂量为10〜3mg之间，

所以，一次服用这种药的剂量为10~25mg之间，

所以10<x<25.

故答案为：10WXW25.

方法或规律点拨

本题考杳了不等式的意义、有理数的除法运算.解题的关键是理解题意，首先明白每天要服用的药量，然

后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量.

巩固练习

1.（2020•成都市锦江区四川师大附属第•实验中学八年级月考）下列说法错误的是（）

c.JI6的整数部分是D.负数没有立方艰

【答案】D

B、平方最小的数是0,故此说法正确；

・・・加的整数部分是3,故此说法正确；

D、负数有立方根，故此说法错误.

故选：D.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【详解】

解：3Vo是不等式，不是一元一次不等式；

4x+3y>0是二元一次不等式，不是一元一次不等式；

x=3是方程，不是一元一次不等式；

x+2>y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；

・••以上各式中一元一次不等式有1个.

故选:A.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【详解】解：①3V5；②4x+5>0：⑤x#4；⑥x+22x+l是不等式，

・••共4个不等式.

故选：C.

4.（2020•山西八年级期中）李明乘车驶入地下车库时，发现车库入口处有几个标志码（如图1）,其中第一个标

志（如图2）表示“限高2m”.若设车的高度为Xm,则以下几个不等式中对此标志解释准确的是（）

图I图2

【答案】C

【详解】解：设车的高度为Xm,则“限高2m”的意义为烂2.

故答案为C.

5.（2020・广西百色市♦七年级期末）己知。是正数，则用不等式表示。正确的是（）

【答案】A

【详解】〈a是正数,

Aa>0,

故选：A.

6.（2020•浙江金华市•八年级期末）如图，身高为“cm的1号同学与身高为），cm的2号同学站在一起时，如

果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成Xy.（用“〉”或填空）

【答案】>

【详解】解：由图形可得：1号同学的身高比2号同学的身高高，

如果用一个不等式来表示他们的身高关系

则这个式子可以表示成Q），

故答案为：>

7.（2020•四川巴中市•八年级期末）“数x不小于1”的数学表达式为

【详解】“数X不小于I”的数学表达式为止1一

故答案为:x>l.

【答案】②③④⑥

【详解】解：①a（b+c尸ab+ac是等式：

②2Vo是用不等号连接的式子，故是不等式；

③/5是用不等号连接的式子，盘是不等式；

@2a>b+l是用不等号连接的式子，故是不等式；

⑤x?2xy+y2是代数式；

⑥2x3>6是用不等号连接的式了，故是不等式，

【答案】D

【详解】

故选D.

【答案】B

【详解】解：A、在不等式两边同时减2,不等号方向不变，故错误；

B、在不等式两边同时加1,不等号方向不变，故正确；

C、在不等式两边同时乘2,不等号方向不变，故错误；

D、在不等式两边同时除以3,不等号方向改变，故错误；

故选：B.

6.（2021•浙江金华市•八年级期末）若〃则下列不等式变形正确的是（）

A.3a<3bB.ac1>bc2C.a-c>b-cD.-ac<-be

【答案】C

【详解】A、若a>b,两边同乘以3得3a>3b,故本选项不符合题意；

B,若aAb,则ac22bc2（当c=0时，ac2=bc2）,故木选项不符合题意；

C、若a>b,两边同减去c得：a-c>b-c,故本选项符合题意；

D、若a>b,当eVO时，则c>0得ac>bc,故本选项不符合题意；

故选：C.

【答案】C

故选C.

【答案】C

*'•。V—1,

故选：C.

A.-3B.—C.-D.2

23

【答案】A

【详解】

故选：A.

⑴求。的取值范围；

【详解】

考点3：不等式的解集

【答案】2

【详解】

解得，x=2

故答案为：2.

方法或规律点拨

本题考查三角形三边关系，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关

键.

巩固练习

1.（2020•河南驻马店市•七年级期末）下列说法不正确的是（）

【答案】D

故选D.

2.（2020•福建宁德市•八年级期末）下列各数中，是不等式心＞3的解的是（）

A.-3B.0C.3D.5

【答案】D

【详解】

5是不等式x＞3的解.

故选：D.

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【详解】

解•：2是小等式x＜3的解.故选：A.

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【详解】

不等式xV4的非负整数解有3,2,1,0,共4个.故选A.

【答案】＜

【详解】

故答案为：＜.

考点4：解一元一次不等式

两边都除以1得X,3⑤

（1）请指出他解答过程中从第（填序号）步开始出现错误；

（2）写出正确的解答过程.

【答案】（1）①；（2）见详解

【详解】（1）第①步绐两边乘以6时，给不等式的右边没有乘，所以从第①步开始出现错误;

方法或规律点拨

此题考查解一元一次不等式.其关键是掌握相关法则和解一元一次不等式的一般步骤，要注意去分母时两

边都要乘及两边乘以或除以负数时，不等号要改变方向.

巩固练习

1.(2016•山西九年级专题练习)一元一次不等式2(x+l)%的解集在数轴上表示为()

A._1-------------B.------1•・C.—।_ID.―._I

nIn।nini

【答案】A

【详解】解：2(x+l)>4

2x+2>4

2x>2

X>1

・•・不等式的解集在数轴上表示为：

________

故选：A

【答案】D

【详解】

故选：D.

【答案】A

故选A.

A.,a・，.B.1M.।一——

-2-1012-2-1012

C.，1AA_D.A▲」,■1

-2-1012-2-1012

【答案】C

故答案选c.

【答案】c

【详解】

解：根据题中的新定义化简得：2X43XV2,

移项合并得：3x>6,

解得：x>2.

故选：C.

A.—।------1---------1----------------LB.—I-------1--------1--------

-10123-10123

C.—I-------1--------1----------------D.—I------------------------1---------1----------------

-10123-10123

【答案】D

【详解】解：不等式4x8K）,

4x>8,

x>2；

D符合；

故选：D.

7.（2020•浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）关于x的一元一次不等式3x>6的解都能满足下

列哪一个不等式的解（）

A.4x-9<xB.2.v+4<0C.-3x+2<0D.x<2

【答案】C

【详解】

解：解不等式3x>6,可得：x>2,

A、4x9Vx,解得：x<3,不符合题意；

B、2x+4<0,解得：x<2,不符合题意;

2

C、3X+2V0,解得：x>-,符合题意；

3

D、xV2,不符合题意；

故选:C.

8.（2020•山东泰安市•八年级期末旧知如图是美于工的不等式2,1-3的解集，则。的值为.

-2~&012

【答案】I

【详解】解不等式2x-a>-3,

数轴上的解集为x>l

解得a=l

9.（2021•河南南阳市•七年级期末）关于x的不等式-2叶心4的解集如图所示，则a的值是

I1----1--------1-------L>

-2-1012

【答案】2.

【详解】解：・・・3色4,

VA<-1,

.*.a=2,

故答案为2.

【详解】

解：不等式(l)*xK)可变形为：12x20,

【详解】

(1)解此不等式并把解集在数轴上表示出来;

⑵试判断x=V2是否为此不等式的解.

【详解】

表示在数轴上为：

【详解】

考点5：一元一次不等式的应用

典例：(2021•浙江绍兴市•八年级期末)某市居民用电收费采用分段计费，计费方式如下表所示:

每月用电超过50千瓦

每月用电不超过50千瓦每月用电超过150千瓦

月用电量时，不超过150千瓦时

时的部分时的部分

的部分

计费单价0.53元/千瓦时0.59元/千瓦时0.64元/千瓦时

设每月用电量为x千瓦时.

(2)小林家六、七月份共用电200千瓦时，共缴电费不超过114.2元，已知六月份用电不超过10。千瓦时，请

帮小林计算一下他家7月份最多用了多少千瓦时的电？

【详解】

解：(1)由表格及题意得：

答：小明家七月份最多用了17()千瓦时.

方法或规律点拨

本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键.

巩固练习

1.(2021•河南南阳市•七年级期末)妈妈将某服饰店的促销活动内容告诉爸爸后，爸爸假设某一商品的定价为

x元，并列出关系式为0.8(2x-10D)V1500,则下列哪一项可能是妈妈告诉爸爸的内容()

A.买两件等值的商品可减100元，再打2折，最后不到1500元

B.买两件等值的商品可打2折，再减100元，最后不到1500元

C.买两件等值的商品可减100元，再打8折，最后不到1500元

D.买两件等值的商品可打8折，再减100元，最后不到1500元

【答案】C

【详解】由题意可得,

0.8(2x-100)V1500表示买两件等值的商品可减100元，再打8折，最后不到1500元，

故选：c.

2.（2021•广东佛山市•八年级期末）某电信公司推出两种手机收费方案.方案A：月租费30元，本地通话话

费。.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分.设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，

婷婷的爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案A比方案B优惠？（）

A.100分钟B.150分钟C.200分钟D.250分钟

【答案】D

【详解】解：设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，由题意得：

・•・只有D选项符合题意；

故选D.

3.（2021•浙江湖州市•八年级期末）假期，小云带150元去图书馆，下表记录了他当天的所有支出，其中小零

食支出的金额不小心被涂黑了，如果平均每包小零食的售价为5元，那么小云可能剩下的金额是（）

支出午餐购买课外资料公交车票小零食

金额（元）151204

A.I元B.2元C.3元D.47L

【答案】A

【详解】

解：设小云买了x包小零食，依题意得：

又门>0,

又・・・x是取正整数，

:.X的取值为1或2,

从A、B,C,。四个选项中，符合题意只有A答案.

故选：A.

4.（2021•湖南益阳市•八年级期末）李老师网购了一本《好玩的数学》，让大家猜书的价格.甲说：“不少于10

元”，乙说：“少于12元”.老师说：“大家说的都没有错”.则这本书的价格元）所在的范围为（）

A.10<x<）2B.10<.^<12C.10<.r<12D.1（）<^<12

【答案】A

【详解】解：设这本书的价格为X元，根据题意得，

10<X<12,

故选：A.

5.（2021•浙江湖州市•八年级期末）某超市开展促销活动，一次购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠.小

明同学准备为班级购买奖品.需买6本笔记本和若干支钢笔.已知笔记本每本4元.钢笔每支7元，如果小

明想享受打折优惠，那么至少买钢笔（）

A.12支B.11支C.10支D.9支

【答案】C

【详解】设该同学买了X支钢笔，根据题意可得：

・・・x为整数，

该同学至少买10支钢笔才能打折；

故答案选C.

6.（2021.河南南阳市.七年级期末）某社区计划对面积为3600届的区域进行绿化，经投标，由甲，乙两个工

程队来完成，已知甲队5天能完成绿化的面积等于乙队10天完成绿化的面积，甲队3天能完戊绿化的面积

比乙队5天能完成绿化面积多60浮.

⑴求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面枳；

（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，要使这次绿化的总费用不超过32万元，

则至少应安排乙工程队绿化多少天？

【答案】⑴甲工程队每天能完成绿化的面枳为120〃落乙工程队每天能完成绿化的面枳为60病：⑵至少应

安排乙工程队绿化40X.

【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为“小，则庠工程队每天能完成绿化的面积为2mA

依题意，得：3x2x-5x=60,

解得：工=60,

A2v=120.

答：甲工程队每天能完成绿化的面积为120加，乙工程队每天能完成绿化的面积为60〃人

解得：w>40.

答：至少应安排乙工程队绿化40天.

/.（2。21•广西梧州巾•八年级期末〕就目前情况，新冠肺炎疫情防控一点也不能放松，“戴口罩、勒洗手、少聚

会”仍是疫情防控的有效措施.为保证防疫口罩供应，某医药公司保持每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩

共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

口罩型号甲乙

成本（元/只）13

隹价（元/只）1.56

（1）该公司去年十二月份的口罩销售总收入为39万元，求该月公司生产甲、乙两种型号的口罩分别是多少万

只？

（2）设该公司每个月生产甲种型号口罩〃万只，月利润为w万元，求卬与〃的函数关系式（不要求写自变量的

取值范围）；

（3）如果公司在今年一月份投入口罩生产的总成本不超过28万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产

量，可使本月公司所获利润最大?并求出最大利润.

【详解】

解：(1)设甲型号口罩生产了X万只，乙型号口罩生产了)，万只，依题意得：

答：去年十二月份公司生产了甲型号口罩18万只，乙型号口罩2万只.

随着。的增大而减小

.••应安排生产甲型号口罩16万只，乙型号口罩4万只，可使本月公司所获利润最大，最大利润为20万元.

8.(2021•广东广州市•八年级期末)今年，“地摊经济”成为了社会关注的热门话题.小明从市场得知如下信息:

甲商品乙商品

进价阮/件)355

售价(元/件)458

小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售.设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润

为y元.

⑴求出y与x之间的函数关系式：

(2)小明用不超过200。元资金一次性购进甲，乙两种商品，求x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，请说明小明有哪些可行的

进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大.

【答案】⑴y=7x+3OO；⑵0WXW50：(3)甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；

甲商品进50件，乙商品进50件；当甲商品进50件，乙商品进50件时，利润有最大值.

【详解】

(I；•购进甲、乙商品共100件进行销售，小明购进甲商品x件，

・••甲商品利润为(4535)x=10x,乙商品利润为(100x)(85)=3003x,

•・•甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元，

Ay=IOx+(3(X)3x)=7x+3()O.

(2).••用不超过2(X)0元资金•次性购进甲，乙两种商品，

.\35x+5(100-x)<2000,

.\x<50,

又「xX),

A0<x<50；

⑶二甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，

A7x+300>632.5,

:.x>47.5,

由⑵可得0^x050,

/.47.5<x<50,

lx为整数，

.•・x=48,49,50,

・•・进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商

品进50件；

Vy=7x+300,7>0,

・・・y随x的增大而增大，

.,•当x=50时，y有最大利润.

,当甲商品进5（）件，乙商品进50件，利润有最大值.

9.（2021•浙江宁波市•八年级期末）倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某

垃圾处理厂计划向机器人公司购买A型号和B型号垃圾分拣机器人共60台，其中B型号机器人不少于A

型号机器人的1.4倍.

（I）该垃圾处理