勾股定理【教师版】-2024年八年级下册数学同步讲义（人教版）

第07讲勾股定理

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握勾股定理的内容并能够熟练的应用。

①勾股定理

2.掌握勾股定理的验证方法，并能够熟练的进行相关

②勾股定理的证明

应用。

思维导图

知识

知识点01勾股定理

i.文字描述：

在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。

2.几何语言：

如图。若直角三角形的两直角边分别是斜边是c,则有：5

/+川=J。[

匕a

变形式：c-___yja2+ZJ2___；a-___Vc2-b2___；b-___ylc2-a2___»

【即学即练1】

1.在RtZ\/BC中，ZC=90°,a,b,c为其三边长.

(1)若a=3,b=4,则c=:(2)若a=5,c=13,贝ijb=.

(3)若力=8,c=10,则a=；(4)若c=20,a：b=4：3,则6=.

【分析】在直角三角形中，己知三条边中的两条边长，都可利用公股定理求得第三条边长.

【解答】解：(1)斜边。=籽彳=5；

1

（2）直角边向={132-52=12：

（3）直角边a=dio2_g2=6；

（4）Va：b=4：3,・・・。=争，,J仔b）2+b2=20,解得b=12.

知识点02勾股定理的验证

1.勾股定理的验证方法：

如图①：由边长为的4个全等的直角三角形构成：

整体法表示面积：S=_j_。

用各部分面积之和表示面积：S=_4xg〃b+(b-Q)2.

整理可得：c1

如图②：由边长为QQc的4个全等的直角三角形构成：

整体法表示面积：S=_(a+6)2_。

用各部分面积之和表示面积：S=_4x-ab+c2_.

222

整理可得:c=a+bo

如图③：由边长为的2个全等的直角三角形构成.：

整体法表示面积：S=("十4o

~2~

用各部分面积之和表示面积：S=2x-ab+-c2o

—22―

整理可得：c2=a2+b2.

【即学即练1】

2.若〃为直角三角形的两直角边，。为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是()

2

【分析】根据图形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：选项/不能用来证明勾股定理，故符合题意；

选项8,正方形的面积=4乂工方+(力-a)2=+2qb+q2+b2-2"=口2+62=»,不符合题意;

2

选项C,正方形的面积=(a+/>)2=4X—ab+c2,

2

化简得,a2+b2=c\不符合题意；

选项。，梯形的面积=工(a+b)(a+b)=2X^ab+—c2,

222

化简得，a2+b2=c2,不符合题意；

故选：A.

题型精讲

题型01利用勾股定理求线段长度

【典例1】一更角三角形的两直角边长为6和8,则斜边长为()

A.10B.13C.7D.14

【分析】根据勾股定理计算即可求解.

【解答】解：由勾股定理可得,

斜边长为：J62+82=10,

故选：A.

【变式1］若Rt△/出C的两边长为5和12,则第三边长为()

A.13B.26C.V119D.13或行^

【分析】分两种情况考虑：若12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜

边，即为第三边；若12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边.

【解答】解：①若12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，

根据勾股定理得第三边为立耳商=13；

②若12为斜边，5和第三边都为直角边，

根据勾股定理得笫三边为1122-52=亦反

3

【分析】连接PR根据勾股定理求出4C的长，再根据垂直平分线的性质得出夕4=PC,设P力=x,则

PC=PB=4-X,再根据勾股定理得出方程求解即可.

【解答】解：如图，连接尸8,

在RtZVIBC'中，由勾股定理得，

-4C=VBC2-AB2=7S2-32=4>

•・•线段BC的垂直平分线交AC、BC于点P和点0,

:.PC=PB,

设尸彳=x,则PC=P8=4-x,

在左△4P8中，由勾股定理得，

P/+/42=P"2,

・*+32=（4-x）2,

解得、=工，

8

即PA=—,

8

故选：。.

题型02利用勾股定理求面积

以直角三角形的三边做相同的图形（等边三角形、等腰直角三角形、正方形、半圆），验证他们的面积

关系。

【典例1］如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形4的面积是（）

A.12B.24C.30D.10

【分析】利用勾股定理，进行计算即可解答.

【解答】解：由勾股定理可得：

直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,

工正方形4的边长的平方=18+6=24,

，正方形/的面积=24.

5

故选:B.

【变式1】如图，在Rt△48c中，ZC=90°,分别以川5、AC.4c为直径向外作半圆，它们的面积分别

记作用、S?、S3,若S[=25,§3=16,则S2为（）

【分析】先用含n的式子表示出力以BC,再根据勾股定理及等式的性质表示出力C,最后求出S2.

【解答】解：在Rta/18C中，ZC=90°,

：.AB2=AC2+BC2.

VS1=—（工8）\=—AB2=25,

228

AJ52=25X^-.

n

同理8C2=]6X-L.

n

：.AC2=AB2-BC2

=25X&-16xW

71n

=­•

：.Si=—(—,402n

22

=——AC2

8

=2Lx9xg

8n

故选：A.

【变式2】如图，是直角三角形，N4C8=90°,分别以力。、C8为边向两侧作正方形.若图中两

个正方形的面积和S+S2=36,则4B=6.

6

A

【分析】由正方形的面积公式求得力。2+402的值；然后在直角△/4C中，利用勾股定理求得力4的长

度.

22

【解答】解：根据题意知，AC+BC=S^S2=36,

则在直角△/出。中，由勾股定理知：^^=7AC2+BC2=V36=6-

故答案为：6.

【变式3】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若

正方形4、8、C、。的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是（）

【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形44,C,。的面积和即为最大正方

形的面积.

【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得力、8的面积和为S],C、。的面积和为52,S|+S2=S3,

于是S3=S]+S2，

即$3=2+5+1+2=10.

故选:B.

【变式4】如图，在四边形48CO中，ZDAB=ZBCD=90°,分别以四边形48C。的四条边为边向外作

S3,S4.若Si=48,的十$3=135,则$4=（）

C.119D.81

7

【分析】利用勾股定理的几何意义解答.

222

【解答】解：由题意可知：Si=AB*S广Be?,SO=CD»Sd=AD»

在直角△力8。和△SCO中，BD2=AD2+AB2=CI^+BC2,

即S।+S4=S3+S2»

因此&=135-48=87,

故选：B.

【变式5】如图，RtZ\W8C的两条直角边8C=6,AC=8.分别以RtZ\48C的三边为边作三个正方形.若

四个阴影部分面积分别为多,S2,S3,S4,则S2+S3・多的值为()

【分析】依据题意，证明△£4。0(SAS),得出S4=S△48c=24,证明(4SN),

由全等三角形的性质得出S△力派=SZSHG〃，证出SA48C=S1'设S四边形，“加C=X,sdBcLy，由勾股定

理及正方形的性质可得出S2+S3=S，则可得出答案.

【解答】解：由题意得，,：AE=AC,NEAD=NC4B,AD=AB,

.•.△EAD式ACAB(SAS).

，S4=S△480

又・：4ABK=/BGH,ZKAB=ZHBG,AB=BG,

:.△ABK^ABGH(ASA).

=

•**S^ABC^-S^BCKS\+S^BCK-

•••SzU5C=S[=S4・

乂由题意口J设S四边形ADHC=X,S&BCK=y，

8

••S3+S4+x=AC&S?47";BC4S[+x+y+S△皿c=AB2.

•：AC2+BC2=A82,

Ss+Sd+x+Sz+j^=S1

•**S3+S4+S2=S|+S^ABC-

又■:S&ABC=S\=S4,

•，•S^S2=S\.

S2^'S^=S\.

.*.52+53-5(=0.

故选：D.

题型03利用欧勾股定理在数轴上表示无理数

【典例1】如图，数轴上点/表示的数为-1,RtZX/IBC的直角边力8落在数轴上，且48长为3个单位长

度，8C长为1个单位长度，若以点4为圆心，以斜边力C长为半径画弧交数轴于点。，则点。表示的

数为（）

C

IIIIIr

-101B

A.V10B.V5-1C.V5D.V10-1

【分析】利用勾股定理求得4。的长度，即4。的长度即可得出结果.

【解答】解：由勾股定理知：22=22=

^C=5/AB+BCV3+1V10.

所以4Q=4C="75.

所以点。表示的数为J15-1.

故选：D.

【变式1】如图，Rt△力4C的直角边力。在数轴上，点力表示-2,且月C=3,BC=1,若以点［为圆心，AB

长为半径画弧交数轴于点P,则点尸表示的数为（）

23

A.V10B.V10-3C.1.2D.V10-2

【分析】利用勾股定理求得力8的长，得出力2的长，即可解决问题.

【解答】解：VZJC5=90°,AC=3,BC=1,

5=22

•'•^VAC+BC=Vs2+i2=

9

由题意可知，AP=AB=^flO,

•・•点”表示-2,

・•・点尸表示的数为：V10-2,

故选:D.

【变式2】如图的数轴上，点4C对应的实数分别为1,3,线段48_L4C于点儿且48长为1个单位长

度，若以点C为圆心，8c长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P,则点尸表示的实数为（）

A.3-V5B.V5-2c.V5-1D.3W10

【分析】利用勾股定理即可求得CB的长度，然后根据实数与数轴的关系即可求得答案.

【解答】解：由题意可得/历/C=90°,AB=\,AC=3-1=2,

则C5=^22+12=V5»

那么点〃表示的实数为3-4石，

故选:A.

【变式3】如图，在数轴上点力表示的数是2,点。表示的数是-2,NACB=90“，以点力

为圆心，的长为半径画弧交数轴于点。，则点。表示的数是（）

【分析】由勾股定理得力8=2萌，再由作图得/。=48=2，几，然后由点D在原点的左侧即可得出答

案.

【解答】解：•・•数轴上点力对应的数是2,点C对应的数是-2,

：.AC=4,

VZJC^=90°,

由勾股定理得：AB=A/AC2+BC2=^42+22=2V5»

•・•以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点。，

:.AD=AB=2

•・•点。在原点的左侧，

，点。表示的数为：-（2泥-2）=2-2泥，

故选：O.

10

题型04特殊直角三角形三边的比值

①30°所在的直角三角形：由30°所在直角三角形的性质以及勾股定理可得三边的比值为1：V3：2；

②等腰直角三角形（45°）：由等腰直角三角形两腰相等以及勾股定理可得三边的比值为1:1：41.

【典例11三角形三条边长之比为1：V3：2,那么这个三角形为（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【分析】首先根据三边之比设出三边长为x，心,2x,再根据勾股定理逆定理可证明出直角三角形.

【解答】解：设三条边长分别为x,V3v，2v,

・・・~+（V3r）2=⑵）2,

・•・这个三角形为直角三角形，

故选：C.

【变式1】如图，在△月中，乙4c3—90°,ZA-300,BC-2,CO是45边_1_的高，则月。的长为

)

A.2.5B.3C.3.5D.4

【分析】求出/8。。=30°,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得

2

再根据AD=AB-BD代入数据计算即可得解.

【解答】解：在RtZX/4C中，・・・/4C8=90°,BC=2,N/=30°,

工力B=2BC=4,

yCDlAB,

：.ZADC=ZCDB=90°,

/.ZACD=90°ZJ=60°,

：.ZBCD=90°-ZJCD=30°,

•:/CDB=90°,BC=2,/BCD=30°,

••・BD=yBC=l*

乙

:・AD=AB・BD=3,

故选：B.

11

【变式2】如图，四边形48CO中，ZA=90°,ZB=120°,/。=30°,48=2,8C=3,则CZ)=()

A.5B.6C.7D.8

【分析】延长力3,0c交于点E,证明△BCE是等边三角形，可得BE=CE=BC=3,从而得至U力七=<4+8£

=5,再由直角三角形的性质可得。石=24E=10,即可求解.

【解答】解：如图，延长力8,DC交于点E,

:.NCBE=60",

VZA=90°,ZD=30°,

AZ£=60°,

:・NCBE=NE=/BCE=60'；

.••△4CE是等边三角形，

：・BE=CE=BC=3,

：・AE=AB+BE=5,

在Rt△力。E中，NQ=30。，

：,DE=2AE=\0,

：,CD=DE-CE=7.

故选：C.

【典例1】21.如果一个三角形的三边长分别为1,1,泥，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答.

【解答】解：・门2+12=2,（V2）2=2,

/.12+12=（V2）2,

・••这个三角形是等腰直角三角形，

故选：D.

12

【变式1】下列四组数据中，能作为等腰直角三角形的三边长的是（）

A.6,8,10B.7,13,7C.2,V3,V?D.5,5,5近

【分析】利用勾股定理逆定理以及等腰三角形的定义，进行求解即可.

【解答】解：力、・・・6#8W10,・••不能作为等腰直角三角形的三边长，不符合题意；

B、,.・72+72工132,・••不能构成直角三角形，不符合题意；

C、・・・2#«W巾，，不能作为等腰直角三角形的三边长，不符合题意；

D、•••52+52=50,（575）2=50，•••52+52=（5。2,•••能作为等腰直角三角形的三边长,符合题

意.

故选：D.

2

【变式2]已知△力BC三边长〃、I）、c,且满足（a-2）+|b-2|+|c-2x/2I=0,则此三角形一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

【分析】根据平方，绝对值相加为0,可分别求出m8，c的值，根据边长可判断三角形的形状.

【解答】解：•・•（。・2）2邛・2|+|。・2a|=0,

••・。・2=0,。=2；b-2=0,人=2；c-272=0,c=242-

.•・22+22=（2^产

22

即:cr+b=cf

・••所以此三角形是直角三角形.

又,：a=b,

・•・故此三角形是等腰宜角三角形.

故选：C.

题型05利用勾股定理求两点之间的距离

在平面直角坐标系中，若和M-0N2），由勾股定理可得I明=J（X]-切2+礼-月）2

【典例1]在平面直角坐标系中，点P（3,1）到原点的距离是（）

A.1B.3C.V10D.±A/1Q

【分析】根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式进行求解，即可得到答案.

【解答】解：•・•点尸（3,1）,O（0,0）,

，点尸（3,1）到原点的距离=4（3-0）2+（卜0）2=J]5,

故选：C.

【变式1】在平面直角坐标系中有两点4（3,0）和8（0,4）,则这两点之间的距离是（）

A.3B.4C.5D.7

13

【分析】由勾股定理即可得出答案.

【解答】解：如图，

'：A(3,0),B(0,4),

225

：・AB=VOA2-K)B2=V3+4=，

故选：c.

【变式2］如图，已知点力(2,3)和点4(4,1),在坐标轴上有一点P,且点P到点力和点5的距离相

等，则点尸的坐标为()

A.(1,0)B.(0,-1)

C.(1,0)或(0,-I)D.(2,0)或(0,I)

【分析】连接CP交x轴于点尸，点P与点P即为所求的点，根据点的位置写出坐标即可得出选项.

【解答】解：如图，连接CP交x轴于点P，

4P={］2+B2=8P,

・••点尸与点P即为所求的点，

即P(1,0)或P((),-1),

故选：C.

题型06勾股定理的验证及其求值

【典例1］我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代

14

由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细

注释，并给出了另外一个证明：下面四幅图中，不能证明勾股定理的是()

【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积

表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理.

【解答】解：力、大正方形的面积为：

也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：yabX4+(b-a)2=«2+^»

：,a2+b2=c2,故力选项能证明勾股定理.

22

B、梯形的面积为|.(a+b)(a+b)=1(a+b)+ab：

也可看作是2个直角三角形和•个等腰直角三角形组成，则其面积为：yabX2-^-c2=ab-^c2»

ab-+^~c2=-^-(a2+b2)+ab

：.a2+b2=c2,故8选项能证明勾股定理.

。、大正方形的面积为：(a+b)2：

也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：-abX4+c2=2^+c2,

乙

/.(.a+b)2=2ab+2,

：.a2+b2=c2,故C选项能证明勾股定理.

力、大一正方形的面积为：(〃+b)2：

也可看作是2个矩形和2个小上方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab,

Ca+b)2=。2+乂+2〃8,

・・.。选项不能证明勾股定理.

故选：

【变式1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽

弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为

】，较短直角边长为从若ab=6,大止方形的面枳为16,则小止方形的面积为()

15

A.8B.6C.4D.3

【分析】利用整体代入的思想求出(a-b)2的值即可.

【解答】解：由题意可得，,

./+bJ16

・••小正方形的面积=(a-b)2=a2+b2-2ab=\6-12=4,

故选：C.

【变式2】如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，己

知大正方形面枳为25,(x+y)2=49,用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),下列选项中正确的是

()

A.小正方形面积为4B.，+炉=5

C.X2-}>2=7D.k=24

【分析】根据勾股定理解答即可.

【解答】解：根据题意可得：/+产=25,故8错误，

(也)2=49,

.*.2^=24,故。错误，

(x-y)2=1,故彳错误，

・•・/■炉=7,故C正确：

故选：C.

【变式3】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，由间是个小正方形，这个图形是我国汉代数

学家赵爽在注解《周醇算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点

得到图2的“风车”图案(阴影邮分).若图1中的四个史角三角形的较长直角边为9.较短直角边为5,

则图2中的“风车”图案的周长为()

16

A.16+4741B.16+4近1C.20+4低D.20+4收

【分析】根据勾股定理即可得到结论.

由题意可知，AB=CD=5,BC=9,

:・BD=BC-CD=9-5=4,

2

^AD=y]^+=y[Ti，

・•・“风车”图案的周长为4al+4X5=4jH+20

故选：C.

强化训练

1.在△ABC中，/A,ZB,NC的对边分别是a,b,c,若N4+/C=90°,则下列等式中成立的是（）

A.a2+b1=c1B.b2+c2=a2

C.a2+c2=h2D.以上都不对

【分析】由一知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用勾股定理即可

得到结果.

【解答】解：•・•在△/14C中，ZJ+ZC=90°,

AZB=90°,

・•・△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：a2-^c2=b2.

故选：C.

17

2.如图，在RtZ\48C中NC=90°,AC=2,BC=5,则49=()

A.V21B.V29C.V26D.6

【分析】根据勾股定理即可直接求出答案.

【解答】解：•・•在RtZS/gC中NC=90°,AC=2,BC=5,

,AB=VAC2+BC2=722+52=V29-

放选：B.

3.等腰三角形的一边长为4,另一边长为6,则这个等腰三角形的面积是（）

A.377B.8&C.677D.3枚或X版

【分析】因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腹，所以有两种情况，需要分类讨论.

【解答】解：①当4为底时，其它两边都为6,

4、6、6可以构成三角形，

底边上的高为462_22=小巧，

・•・等腰三角形的面积制x4）<4加=8近

②当4为腰时，

其它两边为4和6,

・.・4+4=8>6,

・••能构成三角形，

・•・底边上的高为=442-32=诟,

・•・等腰三角形的面积=/XJ7X6=3"

故选：D.

4.如果直角三角形的三边长分别是6、8、x,则x满足（）

A.x=V28B.x=10

C.或x=10D.x=28

【分析】本题考查的是勾股定理，分直角边边长是8和斜边边长是8两种情况，根据勾股定理计算即

可.

【解答】解：当直角边边长是8时，

fflx2=62+82=100,

则x=10：

当斜边边长是8时，贝I]/=82-6?=28,

18

则x=V28；

综上所述：X的满足或1=10，

故选：C.

5.如图，在△ABC中，ZC=90°,4D平分NBAC交BC于点、D.若8C=16,且8：80=3：5,则点。

【分析】过点。作。E_L48于E,则OE即为点。到边力8的距离，根据角平分线的性质即可求解.

【解答】解：如图，过点。作。于E,

K

CDB

•••力。、卜分/8彳。，CD1AC,DE1AB,

:.CD=DE,

VZ?C=16,且CO：BD=3：5,

:・CD=6,50=10,

：・DE=6,

却点。到边力4的距离为6,

故选：C.

6.如图，在数轴上点48所表示得数分别是-1,1,CBVAB,BC=1,以点力为圆心，力C长为半径画

弧，交数轴于点。(点。在点4的右侧)，则点。所表示的数是()

以।「Q।.

-102

A.V5B.V5-IC.V2D.2-V5

【分析】根据题意运用勾股定理求出4c的长，即可得到答案.

【解答】解：在口△/4C中，AB=\-(-1)=2,BC=l,

由勾股定理得，力。=，22+/二遥，

19

则点。表示的数为遥-1.

故选：B.

7.如图，平面直角坐标系中，点43的坐标分别为(0,6),(8,0),以点力为圆心，43长为半径画弧,

交y轴负半轴于点C,则点。的坐标为()

【解答】解：,・,点15的坐标分别为(0,6),(8,0),

OA—6,OB—89

AB=7OA2-K)B2=IO*

•・•以点力为圆心，48长为半径画弧，交y轴负半轴于点C,

：,AC=AB=10,

：.OC=AC-OA=\()-6=4,

・••点C的坐标为(0,-4).

故选：D.

8.已知x,y为止数，且|x・6|+丁・8)2=0,如果以x,y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个

直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()

A.10B.100C.14D.196

【分析】由绝对值和偶次方的非负性质解出工、y的值，再由勾股定理求出斜边的长，斜边长的平方即为

正方形的面积.

【解答】解：,「X,歹为正数，旦|x-6|+(j-8)2=0,

Ax-6=0,y-8=0,

，x=6,y=8,

・••以x,y的长为直角边作一个直角三角形的斜边长为后市=10,

・•・以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为102=io。，

故选：B.

9.下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所

在正方形的面积.其中S的值恰好等于10的是()

20

【分析】由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：•••以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在正

方形的面积，

・•・每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方,

4、由勾股定理得：5=5+15=20,故选项/不符合题意；

B、由勾股定理得：5=8+6=14,故选项〃不符合题意；

C、由勾股定理得：5=8-6=2,故选项C不符合题意；

。、由勾股定理得：5=15-5=10,故选项。符合题意；

故选：D.

10.“四千年来，数学的道理还是相通的”.运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理.若图中空白部

分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25,则大正方形的边长是（）

A.B.3^3C.4^2D.3^2

【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为。、b,斜边为c,根据题意“空白部分的面积是11,

21

C-2Xyab=ll

整个图形（连同空白部分）的面积是25”可得（4，将两式相加并求解即可获得答案.

2

C+2X—ab=25

乙

【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为。、b,斜边为C,

21

•・•图中空白部分的面积是11,整个图形(连同空白部分)的面积是25,

'21

c-2X-i-ab=ll

・•.可有:“，

2

c+2X—ab=25

乙

解得/=18,

解得c=342或c=-3&(不合题意，舍去)，

・•・大正方形的边长是3加.

故选：D.

11.点尸(9,40)到坐标原点的距离是41.

【分析】根据勾股定理求解即可.

【解答】解：点P(9,40)到坐标原点的距离是4§2+402=41：

故答案为：41.

12.如图，在平面直角坐标系中，A(1,0),M(-2,3),连接力M,以点力为圆心，以4W长为半径画

弧.交x轴的负半轴于点N,则点N的坐标为_(_L0).

【分析】过M点作MBLr轴于8点，由点的坐标求解力8的长，再根据勾股定理求出4W,即可求得力N

的长，由坐标与图形性质解答即可.

【解答】解：过M点作轴于8点，

'：A(1,0),M(-2,3),

：.OA=\,MB=3,04=2,

・F8=3,

在RtA/lZ?M+,^^=VAB2+BM2=732+32=3V2*

：,AN=AM=3&，

：,ON=AO-OA=3^2-1，

•・・C点在x轴的负半轴上，

22

・••点c坐标为(1-3&.0).

故答案为：(1-3&，0).

13.如图Rt2\/8C,NC=90°,分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月

牙”：当月C=3,4。=4时，则阴影部分的面积为6.

AB

【分析】根据勾股定理求出48,分别求出三个半圆的面积和△力8c的面积，即可得出答案.

【解答】解在RtAJC/y中，N“C8=9O°,AC-3,4c=4,由勾股定理得^^=VAC2+BC2=^32+42

=5,

22X

所以阴影部分的面积S=」XnX(―)+AKX(―)+—X3X4'—TT(―)2=6,

2222222

故答案为：6.

14.如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在中，AC=b,BC=a,NACB=

90°,若图中大正方形的面积为34,小正方形的面积为4,则a+b的值为8.

【分析】根据图形表示出大，小正方形的面积：(…)a2+62=34,(b-a)2=4,再根据四个直角三角

形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab,然后利用完全平方公式整理即可得解.

【解答】解：•・•大正方形的面积为34,小正方形的面积为4,

/.a2+b2=34,(6-q)2=4,

.・.4xLb=34-4=30,

2

：.2ab=30,

(a+b)2=(b-a)2+4ab=4+60—64,

/.a+b=S.

故答案为：8.

23

15.在中，AB=6,AC=5,AC边上的高力0=4,则△/lAC的周长为14+2Jg或8+2.

【分析】分两种情况考虑如图1所示，此时△48C为锐角三角形，在直角三角形48。与直角三角形力CO

中，利用勾股定理求出8。与DC的长，由4。+。。求出8C的长可解答；如图2所示，此时△48C为钝

角三角形，同理由8。-CO求出4C的长可解答.

【解答】解：分两种情况考虑：

如图1所示，此时△48C为锐侑三角形，

在中，根据勾股东理得：^=7AB2-AD2=V36-16=2A/5：

在RtZX/lC。中，根据勾股定理得：CD=5/AC2_AD2=A/25-16=3,

此时BC=BD+DC=2函+3,

二.△ABC的周长为：48+力。+6。=6+5+2近+3=14+2遥；

如图2所示，此时△月AC为钝角三角形，

在RtZXZB。中，根据勾股定理得：^=VAB2-AD2=V36-16=2V5；

在Rtzx/C。中，根据勾股定理得：^=VAC2-AD2=A/25-16=3,

此时BC=BD-DC=245-3,

:AABC的周长为：AB+AC+BC=6+5+245-3=8+2存；

综上，AABC的周长为14+2遥或8+2遍.

放答案为：14+2遍或8+2栋.

16.在△力8c中，ZC=90°,a、b、c分别为N4、N8、NC的对边.

(1)如果a=5,6=12,那么e=13.

(2)如果c=6I,a=60,那么b=11.

(3)若N4=45°,«=2,则c=2源.

【分析】(1)利用勾股定理求解即可：

(2)利用勾股定理求解即可；

(3)先求出N8,根据等角对等边得出6=。=2,再利用勾股定理求解即可.

【解答】解：(1);在△力4C中，ZC=90°,a=5,〃=12,

Ac=Va2+b2=V52+122=13-

放答案为13；

(2).・•在△44C中，ZC=90°,c=61,。=6(),

24

AZ,=7c2-a2=V612-602=11-

故答案为II；

（3）:在△/BC中，ZC=90°,ZJ=45°,

・・・N8=90°-ZA=45°,

：・NB=NA,

:、b=a=2,

Ac=Va2+b2=^22+22=2V2.

故答案为2声.

17.如图，在Rt△4?C中，N4C3=90°,CDLAB,垂足为Q,4F平分NC4B,交CD于点、E,交CB于

点".若4c=12,48=20.

（1）试说明：CE=CF；

（2）试着求出线段CE的长.

【分析】（1）证NCQ1=NCE",即可得出结论；

（2）过点/作「G_L/i〃于点G.证△彳。7g△4（44S）,^AC=AG=\2,CF=GF,则8G=48-4G

=8,进而由勾股定理得8c=16,设CE=b=x,WJGF=x,BF=BC-CF=\6-x,然后在RlZ\8R7

中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】（1）证明：VZJC5=90°,CDLAB,

/.ZC/lF+ZCFJ=90o,^FAD+^AED=90°,

•・F尸平分NC48,

：・NCAF=/FAD,

：・NCF