2025年二项式定理的试题及答案

2025年二项式定理的试题及答案

一、单项选择题1.在\((x+\frac{1}{x})^{6}\)的展开式中，常数项是（）A.20B.12C.6D.1答案：A2.\((2x-\frac{1}{\sqrt{x}})^{6}\)展开式中\(x^{3}\)的系数为（）A.-160B.160C.-240D.240答案：B3.若\((1+2x)^{n}\)展开式中\(x^{3}\)的系数等于\(x^{2}\)的系数的4倍，则\(n\)等于（）A.7B.8C.9D.10答案：A4.\((x^{2}-\frac{1}{x})^{5}\)展开式中\(x^{4}\)的系数是（）A.-10B.10C.-5D.5答案：A5.\((1+x)^{n}\)展开式中第\(k\)项的二项式系数是（）A.\(C_{n}^{k}\)B.\(C_{n}^{k-1}\)C.\(C_{n}^{k+1}\)D.\(C_{n}^{n-k}\)答案：B6.\((a+b)^{n}\)展开式中，二项式系数最大的项是中间项，当\(n\)为偶数时，中间项是第（）项A.\(\frac{n}{2}\)B.\(\frac{n}{2}+1\)C.\(\frac{n+1}{2}\)D.\(\frac{n+2}{2}\)答案：B7.\((x-\frac{1}{x})^{8}\)展开式中\(x^{2}\)的系数为（）A.-56B.56C.-28D.28答案：A8.已知\((1-2x)^{7}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{7}x^{7}\)，则\(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{7}\)的值为（）A.2B.-2C.1D.-1答案：B9.\((x+\frac{1}{x})^{4}\)展开式中的常数项为（）A.6B.8C.10D.12答案：A10.\((2x+\frac{1}{x})^{5}\)展开式中\(x^{3}\)的系数为（）A.10B.20C.40D.80答案：D二、多项选择题1.对于二项式\((a-b)^{n}(n\inN^{})\)，下列说法正确的是（）A.展开式中\(a^{n}\)与\(b^{n}\)的系数互为相反数B.展开式中中间一项的二项式系数最大C.展开式中第\(k\)项的二项式系数为\(C_{n}^{k-1}\)D.展开式中各项的二项式系数之和为\(2^{n}\)答案：ACD2.在\((1+x)^{n}\)的展开式中，（）A.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和B.二项式系数最大的项是中间项C.若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中共有9项D.当\(x=2025\)时，\((1+x)^{n}\)展开式各项系数之和为\(2^{n}\)答案：AC3.已知\((x+\frac{1}{x})^{n}\)展开式的二项式系数之和为64，则（）A.\(n=6\)B.展开式中常数项为20C.展开式中含\(x^{2}\)的项的系数为15D.展开式中各项系数之和为729答案：ACD4.若\((1+ax)^{n}=1+10x+40x^{2}+\cdots+a^{n}x^{n}\)，则（）A.\(n=5\)B.\(a=-\frac{1}{2}\)C.二项式系数之和为32D.展开式中含\(x^{3}\)的项的系数为80答案：AC5.在\((x^{2}+\frac{1}{x})^{6}\)的展开式中，（）A.含\(x^{3}\)的项的系数为20B.含\(x^{6}\)的项的系数为1C.常数项为15D.各项系数之和为729答案：ABC6.对于二项式\((1-x)^{10}\)，下列说法正确的是（）A.展开式中第4项的二项式系数为\(C_{10}^{3}\)B.展开式中第4项的系数为\(-C_{10}^{3}\)C.展开式中第4项为\(-C_{10}^{3}x^{3}\)D.展开式中各项二项式系数之和为\(2^{10}\)答案：AD7.已知\((2x-\frac{1}{x})^{n}\)展开式的二项式系数之和为32，则（）A.\(n=5\)B.展开式中含\(x^{3}\)的项的系数为80C.展开式中含\(x^{-1}\)的项为\(-40x^{-1}\)D.展开式中各项系数之和为1答案：ACD8.在\((x-\frac{1}{x})^{8}\)的展开式中，（）A.含\(x^{6}\)的项的系数为-28B.含\(x^{4}\)的项的系数为70C.常数项为70D.各项系数之和为0答案：AD9.若\((1+mx)^{6}=1+6x+15x^{2}+\cdots+m^{6}x^{6}\)，则（）A.\(m=1\)B.\(m=2\)C.二项式系数之和为64D.展开式中含\(x^{2}\)的项的系数为15答案：CD10.对于二项式\((a+b)^{n}\)，下列结论正确描述的是（）A.展开式中\(a\)的次数从\(n\)递减到0，\(b\)的次数从0递增到\(n\)B.展开式中各项的二项式系数之和等于\(2^{n}\)C.展开式中第\(k+1\)项的二项式系数为\(C_{n}^{k}\)D.展开式中第\(k+1\)项的通项公式为\(T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}\)答案：ABCD三、判断题1.\((a+b)^{n}\)展开式中第\(r+1\)项的二项式系数是\(C_{n}^{r}\)。（）答案：√2.\((1+x)^{n}\)展开式中各项的二项式系数之和为\(n\)。（）答案：×3.\((x-\frac{1}{x})^{n}\)展开式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和。（）答案：√4.\((a+b)^{n}\)展开式中中间项的二项式系数最大。（）答案：×5.若\((1+2x)^{n}\)展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则\(n=6\)。（）答案：√6.\((x^{2}+\frac{1}{x})^{n}\)展开式中含\(x^{3}\)的项一定是中间项。（）答案：×7.\((1-2x)^{n}\)展开式中各项系数之和为\((-1)^{n}\)。（）答案：√8.\((a+b)^{n}\)展开式中第\(k\)项的系数与第\(n-k\)项的系数相等。（）答案：×9.\((x+\frac{1}{x})^{n}\)展开式中常数项一定是中间项。（）答案：×10.二项式\((a+b)^{n}\)展开式中各项的系数就是二项式系数。（）答案：×四、简答题1.写出\((a+b)^{n}\)展开式的通项公式。答案：\((a+b)^{n}\)展开式通项公式为\(T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}\)，其中\(r=0,1,2,\cdots,n\)。它表示展开式中的第\(r+1\)项。2.简述二项式系数的性质。答案：二项式系数具有对称性，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；当\(n\)为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当\(n\)为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大；二项式系数之和为\(2^{n}\)。3.已知\((1+x)^{n}\)展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，求\(n\)的值。答案：因为\((1+x)^{n}\)展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，根据二项式系数的对称性，可得\(C_{n}^{4}=C_{n}^{6}\)，所以\(n=4+6=10\)。4.求\((2x-\frac{1}{x})^{5}\)展开式中含\(x^{3}\)的项。答案：\((2x-\frac{1}{x})^{5}\)展开式通项为\(T_{r+1}=C_{5}^{r}(2x)^{5-r}(-\frac{1}{x})^{r}=(-1)^{r}2^{5-r}C_{5}^{r}x^{5-2r}\)。令\(5-2r=3\)，得\(r=1\)。所以含\(x^{3}\)的项为\((-1)^{1}2^{4}C_{5}^{r}x^{3}=-80x^{3}\)。五、讨论题1.在\((x+\frac{1}{x})^{n}\)展开式中，当\(n\)为偶数时，中间项是常数项，试讨论其常数项的求法及意义。答案：当\(n\)为偶数时，中间项为第\(\frac{n}{2}+1\)项。通项公式\(T_{r+1}=C_{n}^{r}x^{n-r}(\frac{1}{x})^{r}=C_{n}^{r}x^{n-2r}\)，令\(n-2r=0\)，得\(r=\frac{n}{2}\)，此时常数项为\(C_{n}^{\frac{n}{2}}\)。它反映了展开式中一个特殊的值，体现了二项式展开的一种平衡状态。2.已知\((1+ax)^{n}\)展开式中含\(x^{2}\)的项的系数为\(C_{n}^{2}a^{2}\)，讨论如何根据已知条件确定\(a\)和\(n\)的值。答案：先根据通项公式\(T_{r+1}=C_{n}^{r}(ax)^{r}=C_{n}^{r}a^{r}x^{r}\)，令\(r=2\)得到含\(x^{2}\)项的系数为\(C_{n}^{2}a^{2}\)。再结合已知的含\(x^{2}\)项的系数具体值，列出关于\(a\)和\(n\)的方程，通过解方程或方程组来确定\(a\)和\(n\)的值。3.讨论\((x^{2}+a)^{n}\)展开式中各项系数之和与二项式系数之和的关系。答案：令\(x=1\)可得\((x^{2}+a)^{n}\)展开式中各项系数之和为\((1+a)^{n}\)，而二项式系数之和为\(2^{n}\)。它们是不同的概念，各项系数之和与\(a\)的值有关，二项式系数之和是固定的\(2^{n}\)，二者没有直接的数量对应关系，但在某