向量及其应用 （知识清单）-2026年高考数学一轮复习解析版

专题01向量及其应用

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系.

02盘•基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分.

【知能解读01】向量的实概念

【知能解读02】平面向量的运算

【知能解读03】向量的数乘运算

【知能解读04】向量的数量积

【知能解读05】平面向量基本定理及坐标表示

【知能解读06】平面向量运算的坐标表示

【知能解读07】平面向量的应用

03破•重点难点：突破重难点，冲刺高分.重难

【重难点突破01】平面向量的平行向量

【重难点突破02】平面向量的数乘与线性运算

【重难点突破03】平面向帚数量积的性质及其运算

【重难点突破04】平面向景的投影向量

【重难点突破05】平面向量的基本定理

【重难点突破06】用平面向量的基底表示平面向量

【重难点突破07】平面向量共线（平行）的坐标表示

【重难点突破08】数量积表示两个平面向量的夹角

【重难点突破09】数量积判断两个平面向量的垂直关系

04辨♦易混：辨析易混知识点，夯实基础.

【易混易错01】零向量与单位向帚

【易混易错02】向量的运算

【易混易错03】数量积的运算律

【易混易错04】向量数乘的有关计算

【易混易错05】三角形的心的向量表示

【易混易错06】已知向量共线（平行）求参数

【易混易错07】平面向量的正交分解与坐标表示

【易混易错08】利用向量垂直求参数

05点•方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类

【方法技巧01】平面向量共线问题

【方法技巧02】利用坐标求向量的模

【方法技巧03】由坐标判断向量是否共线

【方法技巧04】已知向量垂直求参数

【方法技巧05】用向量解决线段的长度问题

【方法技巧06】由向量共线（平行）求参数

【方法技巧07】线段的定比分点

思纶导吩

，向量的二要素H"＞嬴i嬴Ri高口

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L向■的表示二二：

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01向量的实概念4*■46SCK*R*.idC|I

＜两种特殊的向黑、

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02平面向量的运算"一"丝上:叱匚匕2£，

向・减法YI瓶赢K

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黑鬻画.基本定理及正交分解及坐标表示)

坐标我不〉)------------

一・点的坐标与向■的坐标的关系」

|两个向■和(差)白勺坐标衰示］-a-b^Uj-Xj.r1.1

|芋面向量致理”!标袤示卜ab=1x,xz♦必尸」

06平面向・运苴的坐标

，平面吧长度(模)的坐标表示)T苦■■«口・司|・『・岳♦示*|,卜荷♦4J

表示

［｛夹角的坐标表示］8日,b_,「二+叩、；

⑶间病+£灰.£：

q垂直的坐标衰示卜1

i2a=（七,,）.b=（x2,＞-2）.则a_Lb=占七+乂）、=0」

-(1)证明线线平行或点共线问题

-：(2)证明线线垂直问题

07平面向■的应用求夹角问题|

(4)求线段的长度或说明线段相等］

(5)向量在物理中的应用

基砒如《?

知健斛校।:01向量的实概念

知识点1向量的实际背景与概念

1.数量与向量

在数学中，把既有大小乂有方向的量叫做向量，而把只有大小没有方向的量称为数量.

2.向量的二要素\向学不能比较大，卜.、＞数厘可认比轻/■、小,

向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征，方向是几何特征.

❾辨析比较

向量与矢量

数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、速度、加速度等)抽象出来的，但在这里我们仅考虑它的

大小和方向；而物理中的这些量，既同时具备大小和方向这两人属性，又具备其他属性(如"力”是由大

小、方向、作用点共同决定的).

知识点2向量的几何表示

1.有向线段的概念

具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以A为起点、8为终点的

有向线段记作A〃，以3为起点，4为终点的有向线段记作84.

起烹一所安/在终总的前曲.ABAB

(1)有向线段的长度

线段AB的长度也叫做有向线段48的长度，记作|A8|,易知

(2)有向线段的三要素

有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了.

2.向量的表示

方法形式

几何表示向量可以用有向线段AB表示，我们把这个向量记作向量AB.

字母表示向量也可以用字母a,Ac,表示.【注意印刷用黑体a,b,c,书写用注意区分.】

◎辨析比较

有向线段与向量的区别和联系

从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素.因此，这

区别

是两个不同的量.在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的.

有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线段.一条有向线段对应着一人向量，但一

联系

个向量对应着无数多条有向线段.

3向量的长度

向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模)，记作|A31.向量A3的长度在数值上等于线段AB的长度，

因此向量的长度是非负实数.

可W、叱软A小.

4.两种特殊的向量

长度为0的向量叫做零向量，记作0.

注意。与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且有|0|=0.

长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.

A特别提醒

向量相关概念的理解

1.定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向.

2.当有向线段的起点A与终点8重合时，AB=0

3.在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点可构成一个半径为1的圆.

知识点3相等向量与共线向■

1.平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行，记作ab.

规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a,都有Oja.

2.相等向量

(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.

(2)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向

相同且长度相等的有向线段表示同•个向量，因为向量完全由它的模和方向确定.

3.共线向量

由于向量与起点无关，因此向量是可以自由平行移动的.也就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直

线上，因此，平行向量也叫做共线向量.

如图，a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线/,在/上任取一点0,则可在/上分别作

出。A=a,0B=b,0C=c,如图.

_1_I

OBA

⑴

提示表示共线（平行）向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以在平行的直线上.

特别提醒

对共线（平行）向量的四个提醒

1.理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有X别的，平行直线不包括重合的情况，而平

行向量是可以重合的.

2.共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线（平行）

向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这

样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.

3.对共线向量的讨论，要考虑方向、长度，尤其不能忘记对零句量的讨论.

4.向量相等具有传递性，即若a=b,b=c,则&=。.而向量的平行不具有传递性，即若a||b,b|c,

未必有a|c.因为零向量平行于任意向量，那么当b=0时，可以是任意向量，所以a与c不一定平行.

但若bwO,则必有ab,bc=>ac.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量.

知健斛校।-平面向量而运算

知识点1向■加法的定义及两个重要法则

1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

2.向量加法的三角形法则

（1）前提：已知非零向量a,b.

（2）作法：在平面内任取一点A,作A3=a,BC=b,连接AC.

（3）结论：向量AC叫做a与b的和，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.

(4)图形:

C

3.向量加法的平行四边形法则

(1)前提：已知两个不共线的向量a,b.

(2)作法：在平面内任取一点0,作0A=a,0B=b,以0A0B为邻边作「OAC氏

(3)结论：以O为起点的向量。。就是向量a与b的和，即OC=a+b.

(4)图形:

规定：对于零向量与任意向量a,我们规定a+0=0+a=a.

❾辨析比较

向量加法的三角形法则和平行四边形法则

1.在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合,

则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；

向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量.

2.三角形法则与平行四边形法则的适用条件

法则三角形法则平行四边形法则

两向量位筮关系两向量共线或不共线均可只适用于两向量不共线的情况

两向量起点、终点的特点一个向量的终点为另一个向量的起点两向量起点用同

知识点2多个向■相加

为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向

量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示(对应多个向量相加的图形).

特别提醒

1.向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推,是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，

强调的也是“首尾相接”.

2.当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为0.如图6.2.1-2,在(〃+1)边形

44…4中，有a)A+44+44+…+A-iA,+4A)=0-

运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形.

知识点3向量加法的运算律

1.交换律：a+b=b+a

在如图所示的平行四边形ABCD中,AB=DC=a,AD=BC=b,则在\ABC中，

AC=AB+BC=a+b,在AAOC中，AC=AD+DC=b+a,故a+b=b+a,即向量的加法满足交

换律.(对应平行四边形交换律图形)

2.结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

如所示，AC=AB+BC=a+b,BD=BC+CD=b+c,所以在A4OC中，

A/)=AC+CO=(a+b)+c,在AAD区中，4。=A8+8O=a+(b+c),从而(a+b)+c=a+(b+c),

即向量的加法满足结合律.(对应结合律图形)

＜特别提醒

1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.

2.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：

一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量a,再走过的位多为向量b,方案②先走过的位移为向量b,

再走过的位移为向量a,则方案①②中质点4一定会到达同一终点.

3.多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c)；

a4-b+c+d+e=[d+(a+c)J+(b+e).

知识点4向量的减法运算

1.相反向量/与相专同另一臂，从"名度"和"方向"两方面亚行友义.

我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.零向量的相反向量仍是零向

旨里.3

互为相反向厘的两。向书子互相牛田

由相反向量的定义，我们有如下结论：

⑴一(一a)=a；

(2)a+(-a)=(-a)+a=O；

⑶若a,b互为相反向量，则2=—b,b=-a,a+b=O

2.向量减法的定义

向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b).求两个向量差的运算叫做向量的减法.

7

油去一。向年相当彳如上逐。向¥的相&向¥,两片向用的全通区一4'向道

3.向量减法的三角形法则

如图，已知向量a,b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则4A=。4-0区=2-5.即2-1)可

以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.

b

*知识剖析

1.作非零向量a,b的差向量a-b,可以简记为“共起点，连终点，指向被减”.

2.由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以转化为向量的加法a—b=a+(-b)(即平行

四边形法则）作差向量，显然，此法作图较烦琐.

3.如图，以48"。为邻边作平行四边形则两条对角线所对应的向量AC=a+b,DB=a-b.

【真题演练】（2025•辽宁•一模）已知VABC,点。满足3Q=33C，则AO=（）

A.3AB-2ACB.3AC-2AB

3113

C.-AB一一ACD.-AC--AB

2222

【答案】B

【分析】由图形结合向量的加法法则可得.

【详解】

AD=AB+BD=AB+3BC=A8+3（4C-48）=3AC-2AB.

故选：B

知健斛校।03向量的数乘运算

知识点1向量的数乘运算

1.向量的数乘的定义

一般地，我们规定实数义与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作2a,它的长度与方向

规定如下：I运用结果为向用.

（2）当；1>0时，/la的方向与a的方向相同；当4Vo时，加的方向与a的方向相反

注意当4=0时，相=0;当a=0时，/la=O应该特别注意的是结果是零向量，而非实数0

2.向量的数乘的几何意义

(1)当|加>1时，有|/la|>|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(义>1)或反方向(冗<一1)

上伸长到原来的|/1|倍；

(2)当0<|义|<1时，有|2a|<|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<2vl)或反方向

C-l<A<0)上缩短到原来的|7|倍

3.向量的数乘的运算律

设人〃为实数，那么

⑴2(7/a)=(2//)a:

(2)(2+//)a=2a+4a；

(3)A(a+b)=Aa+xb

特别地，我们有(一义)2=—(/^)=/1(-2),2(a-b)=Aa-Ab

A特别提醒

(1)实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如；l+a,zl-a均没有意义

(2)对于非零向量a,当力=」一时，4a表示a方向上的单位向量

|a|

(3)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”

及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数

4.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a,b,以及任意实数4,4,〃2,恒有

±//2b)=&4a±初2b

翻知识延伸

线性表示的概念

根据向量的线性运算，可知：若一个向量c是由另一些向量通过线性运算得到的，我们就说这个向量c可以

用另一些向量线性表示.

【真题演练1】(2025•四川自贡•三模)在VA8C中，。是A8边上的中点，则C4=()

A.2CD-CBB.CD-2CBC.2CD+CBD.CD+2cB

【答案】A

【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.

【详解】因为。是48边上的中方，

所以CA+C8=2CO，^CA=2CD-CB.

故选：A.

【真题演练2】（2025•广东深圳•二模）在四边形A8CD中，若AC=A8+AD，则“4C_L是"四边形ABC。

是正方形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据AC=AB+AO，判断出四边形488的形状，结合充分条件、必要条小的定义判断

即可.

【详解】在四边形A8CD中，若4C=A3+AD，则四边形48CD为平行四边形，

若AC1/?。，则平行四边形A3CO为菱形，但不一定为正方形，

四边形A3CO是正方形时，必有AC上BD,即有AC13Z），

故"AC_LB>'是"四边形"6是匚方形〃的必要不充分条件.

故选：B.

知识点2向量共线定理

1.向量共线定理

向量a（awO）与b共线的充要条步是：存在唯一一个实数2,使5=温

注意

a=0不能漏掉若a=b=O,则实数几可以是任意实数：若a=0,bwO,则不存在实数几，使得b=>la

2.向量共线定理的应用一求参

一段地，解决向量a,b共线求参问题，可用两个不共线向量（如“”？）表示向量a,b,设b=4a（a。0）,

0(4)=0

化戊关于4通2的方程。(团7=-例4兄2,由于7^2不共线，则4"，解方程组即可

［^(z)=0

.知识剖析

根据该定理，设非零向量a位于直线/上，那么对于直线/上的任意一个向量b,都存在唯一的一个实数2,

使b=/ia也就是说，位于同一直浅上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.

知饿斛读，。方量而数量祖

知识点1向■的数量积

1.向量数量积的物理背景

在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功

VV=|F||S|COS6>,其中0是F与s的夹角.

我们知道力和位移都是矢量,而功是•个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明

显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.

2.向量的夹角

已知两个非零向量a,b,如图所示，。是平面上的任意一点，作。4=a,OB=b,则NAOB=0叫做向

量a与b的夹角，也常用〈&牛表示.

同啰次南的职伯范闽为［0申］.

向量夹角的特殊情形，如图所示:

•~0

(3)

当0=0时，向量a,b共线且同向；

当。=工时，向量a,b相互垂直，记作aJ.b：

2

当。="时，向量a,b共线且反向.

3.两个向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为8,我们把数量|a||b|cos。叫做向量a与b的数量积（或内积），

记作a・b,即a­b=|a||b|cos〃.

ab不能表示为axb或ab.

a-b=|a||b|cos。两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，其符号由夹角的余弦值决定.

规定：零向量与任一向量的数量积为0,即O・a=O.

4.向量的投影

如图，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换：过A3的起点A和终点分

别作CQ所在直线的垂线，垂足分别为A，与，得到A4，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A4叫

做向量a在向量b上的投影向量.

如图，我们可以在平面内任取一点。，作OM=a,ON=b.过点M作直线ON的垂线，垂足为知…则

QM1就是向量a在向量b上的投影向量.显然，a在b上的投影向量（与向量b共线）与b在a上的投影向

量（与向量a共线）是不同的.

5.向量数量积的几何意义

如图，|a|cos。称为向量a在向量b上的投影的数量，可以表示为a・士

|b|

向量的数量积a-b的几何意义：b的长度|b|与a在b上的投影的数量|a|cos。的乘积；或a的长度|a|与b

在a上的投影的数量|b|cos0的乘积.

【真题演练1】(2025・湖南永州•模拟预测)已知,冉=60,同=3,忖=2,求4.c•与〃在。上的投影长度的

比值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】首先根据向量数量积公式求出〃・C，再根据向量投影公式求出。在c上的投影长度，最后求它们的

比值.

【详解】因为|a|=3,|d=2,〈a,c)=6()o,cos60o=；.

所以a•c二同同cosc)=3.

所以向最〃在C上的投影长度为I。COS〈4,。,

故与。在上的投影长度的比值为3+■InZ.

故选：B

【真题演练2】(2025•辽宁鞍山•模拟预测)已知|〃|=6,|〃|=8,。在〃上的投影的数量为-4,则|。+*=

()

A.6B.2历C.2mD.2历

【答案】C

【分析】根据投影数量求出数量枳，故可求|a+b|.

ab

【详解】因为〃在a上的投影的数量为-4,故K=-4,故。•力=—24,

^\a+b\=\la+2ab+b2=川00-48=2而，

故选：C.

知识点2向■数■积的性质和运算律

1.向量数量积的性质

设a,b是非零向量，它们的夹角是。，e是与b方向相同的单位向量，则

(1)a-e=e-a=|a|cos^.

注意任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量.

(2)a±b«a-b=0.

注意可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.

(3)当a与b同向时,ab=|a||b|；当a与b反向时，a-b=-|a||b|.

特别地，豕3=二=恒/或

注意当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量的模的平方，因此可用于求向量的模.

(4)|a-b|<|a||b|,当且仅当向量a,b共线,即a||b时，等号成立.

注意可以解决有关“向量不等式”的问题.

(5)cos0-------

|a||b|

注意夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角.

2.向量数量积的运算律

由向量数量枳的定义，可以发现下列运算律成立:

对于向量a,b,c和实数九,有

(1)交换律：ab=ba；

(2)数乘结合律:(2a)b=2(ab)=a-(2b)；

(3)分配律：(a+b)-c=ac+bc.

辨析比较

向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法之间的区别

向量的数量积向量的数乘实数的乘法

ab=0=>a,b至少有一个为0

/la=0(AGR)=4=0或a=0川7=0=>至少有一个为0

或〈a,b)=K

2

ab=bc=b=0或a=c或Aa=£R)=a=b或ab=bc=a=c或b=0

(b,a-c)=y4=0

（a・b）・c与a（b-c）不一定相等(2/w)a=丸(〃7a)(4£R)(ab)c=a(bc)

【真题演练1】（2025•四川达州•模拟预测）已知向量”，力的夹角为120〉a|=2,|^|-1,则卜一2小

A.&B.2C.2x/3D.473

【答案】C

【分析】由（G-20计算即可.

【详解】因为（。一2力『二。2-4。％+4方2=4—4又2乂以85120°+4=12,

所以卜-2〃|=26，

故选：C.

【真题演练2】（2025•江西新余•模拟预测）已知非零向量满足西。|=网，,+2可=悭-可，则下列结

论正确的是（）

A.cos（a、b）=B.（3a+8〃）_L〃C.（3a+8/?）_L〃D.（8"+3〃）_L〃

【答案】B

【分析】将已知条件平方，化简可得1力=-利用该结论依次判断各个选项.

O

r

【详解】由于庭向=村，则2/=尸，

又由卜+沙卜Ra—〃可得々2+4从+44.8=4々2+b2-4a-b，

3

即8山方=3必-3/=-3-2，^ab=--a2,

O

ab3a*3\/2

H=丽=一一行，故A错误；

对于选项B,由于。0二-京2,则8a力+3,尸=0,即（3"町S=0,

所以（3a+8〃）_La,故B正确；

对于选项C,（3a+8人）包=3。•0+8力2=_211+1642=岑。工0,故C错误；

对于选项D,（84+38）。=8。2+3。»=8。2_2/=蓑//0,故D错误.

故选：B.

【真题演练3】（2025・河北•三模）已知,卜2小2,ab=l，则,+〃|二（）

A.1B.2C.73D.77

【答案】D

【分析】利用+/+2人力，可求模.

【详解】\a+^\=〃2+//+2白》=4+1+2=7,

故心+同=6.

故选：D.

知犍解弦।105平面向量基本定理及坐标表示

知识点1平面向量基本定理

1.平面向量基本定理

若多,e2是同一平面内两个不共线向量，那么该平面内任一向量a,有且只有一对实数4,4，使

方点向学不能杓优其前

a=Ze1+40•若er.不共线，｛与通2｝叫表示平面内所有向量的一个基底.

杓负身启的向墨区委向老,且为京不唯一.

2.定理的证明：包含存在性和唯一性.存在性是说存在实数4,4,使2=4巧+4©2,通过作平行线构造平

行四边形，结合向量相等证明；唯一-性是指对任一向量a,若a=4eI+4e2且a=/4与+〃2%，利用由与

。2不共线，可推出4=〃],入2=〃2.

3.定理的实质:平面内任一向量可由平面内任意不共线的两个向量线性表示，即基于基底｛%,e?｝对向量a进

行分解.

4.定理的功能：由4^2（不共线）的所有线性组合构成的集合口臼+4©214,4wR｝是平面内全体向量，

｛巧,e?｝是基底，体现转化与化归思想，解决几何问题时可通过选基底转化向量来求解.

a知识剖析

对平面向量基本定理的理解

同一平面内两个不共线向量可构成基底，同一非零向量在不同基底.下分解式不同；基底给定时，4,4被

a,唯一确定；若｛©［透？｝是基底，a与e［共线则4=0,与e2共线则4=。，a=0时4=4=0.

5.平面向量基本定理的拓展：〃个不共线向量巧，…,与〃个实数4,…，4,组成的44+…+44是向量

线性组合，若a是其线性组合，称a可分解成这些向量的线性组合，｛er是关于a的基底.

【真题演练1】（2025•湖北武汉•模拟预测）如图，在平行四边形A8CO中，八。=0,/区4。=45°,七为。。

的中点，若AC.BE=2，则A8=（）

A.1B.y/2C.73D.2

【答案】A

【分析】利用平行四边形的性质，将AC与初用相和AQ表示出来，然后根据向量数量枳的运算律进行展

开，最后结合已知条件求解AB的长度.

【详解】用48和4）表示AC与跖，在平行四边形ABC。中，AC=AB+AD.

因为石为8的中点，所以。公国。，又因为在平行四边形中8…,则由

那么BE=BC+CE，BC=AD^CE=-DE=-^AB.所以8E=AA8.

已知AC=AB+4O，BE=AD-^AB,贝ljAC・8E=(48+4D)(AO-g48).

I―•1.J-2111-2-2

可得：(A8+AQ)•(AD——AB)=ABAD一一AB'+AD^一一AD-AB=-ABAD一一A8"+AD.

22222

已知AQ=&，/8AO=45°，设AB=x,

则AB-AD=|AB\\AD\cosZ.BAD=xx\/2xcos45=xx72x^-=x»

2

即AD2=|Afi『=(&y=2,八/冒人8『二Y.

所以—+=l.r--!-x2+2.

2222

因为AC•/旭=2，即gx-g/+2=2,得f-x=o，则x=()或x=i.

因为AB为平行四边形的边，长度不为0,所以舍去x=(),故45=1.

故选：A.

13

【真题演练2】(2025・湖南•三模)在VABC中，点。是线段上一点，若BD=2BC，AD=-AB+-AC,

44

则实数2=()

A.-yB.-C.—D.—

4334

【答案】D

【分析】由向量的线性运算得4Q=(1-2)4B+/IAC,结合平面向量基本定理即可得解.

【详解】因为8Q=/18C，所以初=4B+8O=A8+/i8C=AB+%(-A8+ACj=(l-7l)A8+/lAC,

因为A/)=-A8+2AC,所以；［=2.

444

故选：D.

知识点2平面向■的正交分解及坐标表示

1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫把向量作正交分解，其中两个基向量互相垂直构

成正交基底.平面内任一向量a可分解为4%+4a2,当叫与a2垂直时，就是正交分解，比如重力沿互相垂

直方向分解.

2.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，取与X釉、>轴方向相同的单位向量i,j作为基底，平面内任

意向量a可表示为2二刀+剪，有序数对（x,y）是向量a的坐标，记作a=（x,y）,x>y分别是a在x轴、

y轴上的坐标,Ki=(1,0),j=(0,l),0=(0,0).

3.点的坐标与向量的坐标的关系：平面内与a相等的向量可用以原点。为起点的。P表示，a=OP=（x,y）

时，（x,y）既是点P坐标也是。尸坐标，即平面内每个向量可用有序数对唯一表示，向量与有序数对一一对

应.

❾辨析比较

点的坐标与向量的坐标的区别与联系

表示形式上，向量a=（x,y）用等号连接，点A（x,y）无等号；意义上，点坐标表位鹿，向量殳标表大小和

方向，（x,y）可表点或向量，需指明；联系是向量坐标与其终点坐标不一定同，起点在原点时，向量坐标与

终点坐标相同.

【真题演练】（2025•安徽马鞍山•二模）已知平面向量”，〃满足〃=若〃//人则4（）

A.—>/3B.—25/3C.5/3D.25/3

【答案】B

【分析】由向量平行坐标表示可得答案.

【详解】因。//人〃-6）,8=（2㈤，则-2>A=X.

故答案为：B

知健斛校।【06平面向量运算的坐标表示

知识点1平面向■线性运算的坐标表示

1.两个向量和（差）的坐标表示

由于向量a=（R,y）,b=（孙％）等价于a=』i+yj,b=x2i+y2j,所以

a4-b=(Xji+yj)+(x2i+y2j)=[x]+x2)i+(y}+y2)j,即a+b=(%+%，,+%)•

同理可得a_b=(x_%)・

这就是说，两个向最和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

2.任一向量的坐标

已知4(元”,)，B(x2,y2),坐标原点为。，则OA=(不，*),OB=(x2,y2),所以

>

AB=OB-OA=(x2,y2)-(xi,yl)=(x2-xi,y2-yi).

注意向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.

因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.因此，在求一个向量的

坐标时，先求出这个向展的起点坐标和终点坐标.

特别提醒

1.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.

2.求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.

【真题演练1】(2025•云南•模拟预测)已知向量。=(2,1),〃=(1,2),贝山-“二()

A.72B.75C.2D.75

【答案】A

【分析】利用向量相减的坐标表示，得到〃的坐标表示，再使用公式计算模长即可.

［详解］\a-b\=|(2,1)-(1,2)|=|(1,-I)|=>/2.

故选:A.

【真题演练2】(2025•甘肃甘南•模拟预测)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若

c=M+〃〃(4,〃eR),则2+A的值为()

C.-2.5D.-3

【答案】C

【分析】建立坐标系，然后用坐标法计算即可

所以(-1,-3)+"(6,2)

2=-2

-1二一九+6〃则《1,

则，则4+〃=-2.5.

-3二九+2〃〃=一二

故选:C.

知识点2平面向・数■积的坐标表示

1.平面向量数量积的坐标表示

由于向量2=(内，必)，1)=*2，%)分别等价于2=工工+)4，b=x2i+y2j,所以

ab=(X|i+xj)・(X2i+y2j)=xR2『+X|y2i，j+XX2j，i+y%产•又ij=l，jj=l»ij=ji=0,所以

ab=xix2+yiy2.

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

A特别提醒

1.已知i,j为单位正交向量，则|i|=ljl=l,从而i2=|i|2=j2=|,j[2=]；i_Lj,即i.j=j.i=o

2.公式2小=|2||1)|以55〈2,1)〉与2小=工/2+)'1%都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，两者可

以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a・b=|a||b|cos〈a,b〉求解；若已知

两向量的坐标，则可选用公式a•b=x/2+y丁2求解•

2.平面向量长度（模）的坐标表示

若a=（x,），），则|af=Y+）,2或।分|=^x2+y2.

其含义是：向量a的长度（模）等于向量a的横、纵坐标平方和的算术平方根.

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（X],y）,（占，%），那么2=。2一片，%一）'i），

Ia1=，（占一%）2+（%-乂）2.

【真题演练1】（2025•福建漳州•模拟预测）已知向量。=（x,l）,E=（4,-2）,且&/必，则〃力=（）

A.-10B.-6C.6D.10

【答案】A

【分析】根据平面向量平行的坐标表示计算出x的值，可求得数量积.

【详解】由4/e可得-2工一1x4=0,求得x=-2；

因此可得=-2X4+1X（-2）=-10.

故选：A

【真题演练2】（2025•河北衡水•模拟预测）已知向量）=（1,2））=（2,3）,则下列结论不正确的是（）

rrrrrrr

A.仅-a）・a=3B.（a+5）_L（21a-13%）

C.忸-。卜2#D.。在〃方向上的投影向量为信片、

【答案】C

【分析】根据向量减法的坐标运算求出再根据向量的数量积运算判断A；根据向量加减的坐标运算

求出：+友20-13力，再根据数量枳是否为。判断B：根据向量模长的计算公式判断C；根据投影向量的计算

公式判断D.

【详解】对•于A,因为"（I2力=（2,3）,所以6-。=（覃），所以,一）a=lx]+lx2=3,故A正确；

对于B,因为&=(1,2),力=(2,3),所以。+〃=(3,5),2k7—13)=(—5,3),

所以(〃+人)(21a—I30)=3x(—5)+5x3=0,故B正确：

对于C,因为a=（l,2）/=（2,3）,所以2/2—。=（3,4）,所以8-a卜行彳=5,故C错误：

对于D,因为〃=（1,2）,/?=（2,3）,所以同=,产+22=下,£/=1X2+2X3=8,

ab8c、（816）

b在a方向上的投影向量为广丁"=3Z1'）=〒彳，故