探索三角形相似的条件 同步练习-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册第四章4.4探索三角形相似的条件

一、选择题

1.已知线段48=10cm,点C是线段48的黄金分割点（4CV8C）,则4c的长为（）

A.（5x/5-10）cmB.（5代一5）cmC.（15-5而）cmD.（10-2遥）cm

2.如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明△A8C与△ADE相似的是（）

C

BEA

AC_ABAC_BC

A.z.B=/-ADEB.zc=Z-AEDCr.而=而Un'AE=DE

3.如图,Z1=Z2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC-△ADE的是（）

A

BDC

「AB_AC八AB_BC

A.Z.C-Z.EB.乙B-Z.ADEAD=AEAD=DE

4.已知在△ABC中，z/l=78°,AB=4,AC=6，则下列选项中阴影部分的三角形与原^不相似的是

()

AB

A

-/1X（78。、

BCAC

AB

c

BCA4C

5.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形力8co的边C0上，.4尸与OC交于点H,若48=6,CE=2,则

DH的长为（）

AD

58

--

2D.3

6.如图，每个小方格的边长都是1,则下列图中三角形（阴影部分）与△力BC相似的是（）

rOA_PCnOA_AC

A.乙4=kBB.“=ZDOB=ODOB=BD

8.如图，在△ABC中，AB=AC,^BAC=36°,以点C为圆心，以BC为半径作弧交4c于点。，再分别以

B,。为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP交力B于点E,连接DE.

①乙BCE=36。②8C=4E③箓=与1④之策=缘1,以上结论可弹的个数是（

9.如图所示，给出下列条件：

①M=^ACD:②乙1DC=乙ACB；③看=罂；@AC2=AD-AB；⑤券=绘

其中单独能够判定AABCACD的个数为（)

10.我们把顶角为36。的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为与1.如图，在△4BC中,

Z.A=36°,AB=AC,8。平分KZ18C交AC于点D,若8c=2,贝的长为（）

A.V5-1B.V5-3C.V5+2D店+2

,~T~

11.如图，在人力FC中，AR=AC,Z/4=36°.作如下作图:

A

A

Kc

①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交84、BC于点M、N；

②分别以点M、N为圆心，大于的2MN长为半径作弧，两弧在△4BC内部交于点P；

③作射线BP交4c于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（）

①△8DC是等腰三角形@ZC=2Z.A®AD=BC®BC2=CD-AB

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

12.如图，在△ABC中,AA=36°,AB=AC=2,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交R4,BC

于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于义MN的长为半径画弧，两弧交于点P,射线BP交AC于点

D,则线段4。的长度是（）

ADtC

18.如图，C,D是线段AB的两个黄金分割点，且A0=近一1,则线段CD的长为米.

A•------•--•------•B

CD

19.如图，在△ABC中，AB=9,AC=12,BC=18,D为AC上一点，DC4AC.在AB上取一点E得

△ADE.若图中两个三角形相似，则DE的长是.

三、解答题

20.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足NADE=NB.

(1)证明：△ADB^AAED.

(2)若AB=9,AD=6,求AE的长.

21.如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点，求证:

△ADQ^AQCP.

22.如图，在AABC中，D是4c上一点，已知需=隽.

C

D

AB

(1)求证：/-ABD=4C；

(2)已知乙力=20°,ZC=40°,求匕C80的度数.

23.如图，在△ABC中,D是边BC上一点，且%=藻,

(2)若4c=4,BC=8,A04C的面积为9,求△480的面积.

24.如图，在RtAABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P由点A出发沿AB方向向

终点B以每秒1cm的速度匀速移动，点Q由点B出发沿RC方向向终点C以每秒2cm的速度匀速

移动，速度为2cm/s.如果动点同时从点A,B出发，当点P或点Q到达终点时运动停止.则当运动几秒

时，以点Q,B,P为顶点的三角形与AABC相似？

25.如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE1BC,垂足为点E,GF1CD,垂足为点

(1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形.

②推断：维的值为▲

（2）探究与证明；

将正方形CEGF绕点C沿顺时针方向旋转a角（（0。＜。＜45。）,，如图②所示，试探究线段AG与

BE之间的数量关系，并说明理由.

（3）拓展与运用:

正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,F三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点

H.若AG=6,GH=2/，则BC=

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】D

12.【答案】D

13.【答案】4V5-4

14.【答案】(90-30V5)

15.【答案】△ABC

16.【答案】ZABP=ZC(答案不唯一)

17.【答案】①②

18.【答案】2遥一4

19.【答案】6或8

20.【答案】(1)证明：

(2)解：

21.【答案】证明：・・•四边形力是正方形

・••乙0=ZC=90°,AD=CD=BC=4

•:BP=3PC

APC=1

•••Q是CD的中点

1

，DQ=CQ=^CD=2

...4D_4_2DQ2

•①一—rPC=1

.AD_DQ

，，CQ='PC

'：LD=ZC=90°

△ADQQCP.

22.【答案】（1）证明：•.•余=器，41=44,

•••△ABCADB,

LABD—zC；

（2）解：vZ-A=20°,zC=40°,

乙ABC=180°—20°-40°=120°,

由（1）得/ABO=4C=40。，

:.LCBD=4ABC-乙ABD=120°-40°=80°.

23.【答案】（1）证明：・・24。）=48。4,%=签,

△ACDBCA,

・••乙04C=乙B；

2\解%8

ZJ•-=

A41

・---2

・-J

B8

,LACD〜△8C4,

・S^ACD__1

••瓦嬴一(前)一甲

•・hOAC的面积为9,

•',SAABC=4sAACO=4X9=36,

**•△4B。的面积=S^ABC-S^ACD=36—9=27.

24.【答案】解：设t(0<t<4)秒后，以点Q,B,P为顶点的三角形与AABC相似，则PB=(6-

t)cm,BQ=2tcm.

•・28=90°