有理数的运算（20个高频易错考点训练 共40题）解析版-2024七年级数学上册（人教版）

有理数的运算（21个高频易错考点，42题）

目D易错考点目录指引_____________________________________________________________

易错考点01：有理数的加减混合运算....................................................1

易错考点02：有理数减中的简便运算....................................................4

易错考点03：有理数减混合运算的应用..................................................6

易错考点04：省略加法和挂号的形式....................................................8

易错考点05：有理数乘除混合运算......................................................9

易错考点06：有理数乘除中的简便运算.................................................11

易错考点07：有理数四则混合运算.....................................................12

易错考点08：有理数四则混合运算的实际应用...........................................15

易错考点09：数轴上的翻折...........................................................17

易错考点10：有理数的乘方运算.......................................................19

易错考点11：有理数乘方逆运算.......................................................22

易错考点12：乘方运算的符号规律.....................................................23

易错考点13：乘方的应用.............................................................26

易错考点14：程序流程图与有理数计算.................................................28

易错考点15：算“24”点.............................................................29

易错考点16：含乘方的有理数混合运算.................................................31

易错考点17：用科学记数法表示绝对值大于1的数.......................................33

易错考点18：求一个数的近似数.......................................................33

易错考点19：求近似数的精确度.......................................................34

易错考点20：近似数推断取值范围.....................................................35

困易$髓型培优训练____________________________________________________________

易错考点01：有理数的加减混合运算

1.（24-25七年级上•宁夏银川•阶段练习）计算:

⑴45+（_30）：

（2）（-8）-（-1）；

⑶（-2）+（+5）—（+6）一（—7）；

(4)(-12)—5+(-14)-(-39)；

(5用+(_*)+(一3+(+5§.

【答案】(1)15

(2)-7

⑶4

(4)8

⑸4

【思路引导】本题考查有理数的加减混合运算，掌握相应有理数的加减运算法则、运算律及运算顺序是解

题的关键.

(1)直接利用有理数的加法运算法则进行计算即可；

(2)直接利用有理数的减法运算法则进行计算即可；

(3)先化简，然后将正负数分组，再分别进行加减运算；

(4)先化简，然后将正负数分组，再分别进行加减运算：

(5)先化简，然后将分母相同的有理数分组并进行计算得名+另，再转化为(2+4)+G+J进行计算即可;

【规范解答】(1)解：454-(-30)

=45-30

=15：

(2)解：(-8)-(-1)

=(-8)+(+1)

=-(8-1)

=—7；

⑶解:(_2)+(+5)-(+6)-(—7)

=-2+5-6+7

=(-2-6)+(5+7)

=(-8)+12

=4；

(4)解：(-12)—5+(一14)一【一39)

=_12-5-14+39

=(-12-5-14)+39

=(-31)+39

=8

⑸解：2"(-媪)+(-扔(+53

2113

=2——1———+5—

3838

=(2禺)+kU)

11

=23+44

11

=2+3+4+4

=(2+4)4-(1+1)

7

=6+12

=%

2.(24-25七年级上-全国•课后作业)计算：

(1)(-73)-(-94)+(-194)+(-27)；

⑵(-8J)-(+12)-(-701)-(-81);

⑶&-(-9+(-3-(-：)•

【答案】(1)-200

(2)581

⑶8；

【思路引导】本题考查了有理数的加减运算，加法运算律，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的

关键.

(1)先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律订算即可：

(2)先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可；

(3)先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可.

【规范解答】(1)解：原式=(-73)+94+(一194)+(—27)

=[(-73)+(-27)]+[94+(-194)]

=(-100)+(-100)

=-200；

=(23+6)-(17+22)

=29-39

=—10；

(2)解：(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)

=(-2+2)+(3—3)+1—4

=0+0+1-4

=—3；

⑶解：1+(-D4+(-D

⑷解：31+(-2|)+51+(-81)

=9-11

=—2.

4.(25-26七年级上-仝国-阶段练习)(1)小马虎在计算一12+N时，误将“十”看成了“一”结果得

47,求一12+N的值.

(2)阅读并解决问题.

计算：53.27—(—18)+(-21)+46.73—(+15)+21

解：原式=53.27+18-21+46.73-15+21……第一步

=(53.27+46.73)+(21-21)+(18-15)……第二步

=100+0+3……笫三步

=103

①计算过程中，第一步把原式化成一的形式，体现了数学的_思想.为了计算简便，第二步应用的加法运算

律

②根据以上的解题技巧计算下列式子.

-21鸿-(-9-(+?

【答案】（1）-71；（2）①省略加号和括号，转化，交换律和结合律；②—18

【思路引导】本题主要考查有理数的加减混合运算.

（1）根据题意先求出N的值，再计算一12+N即可；

（2）①根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案；

②仿照题意利用加法的交换律和结合律简便计算即可.

【规范解答】解:（1）・・・-12—N=47,

・・.N=—59,

-12+N=-12-59=-71；

（2）①计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学的转化思想，为了计算简便,

第二步应用了加法的交换律和结合律.

故答案为：省略加号和括号，转亿，交换律和结合律；

2121

=-21-+3-+---

=(-21|+1)+(31-^)

=-21+3

=-18.

易错考点03：有理数减混合运算的应用

5.（24-25七年级上-黑龙江哈尔滨・开学考试）某儿童服装店老板以每件32元的价格购进一批连衣裙，针

对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若售价以每件55元为标准，将超过的钱数记为正，不足的

钱数记为负；售出件数以5件为标准，超过的件数记为正，不足的件数记为负.销售情况记录结果如下表:

售价与标准价的

-5+504-3+10

差额（元）

售出件数与标准

-4+3+50+1

件数的差额（件）

（1）根据记录可知，每件最高售价比最低售价高多少元?

（2）该服装店本次购进连衣裙多少件？

（3）求该服装店售完这批连衣裙所获的利润.

【答案】（1）15元

（2）30件

（3）800元

【思路引导】本题考查正负数的理解，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键.

（1）分别求出最高售价和最低售价，求差值即可.

（2）由题目已知即可得到答案.

（3）分别求出每种情况的单价，利润和数量，然后求解即可.

【规范解答】（1）解：最高售价：55+10=65（元）

最低售价：55-5=50（元）

最高售价比最低售价高：65-50=15（元）

答：每件最高售价比最低售价高15元.

（2）解：该服装店本次购进连衣裙30件.

（3）售价为55—5=50元的连衣裙售出5—4=1件.

售价为55+5=60元的连衣裙售出5+3=8件，

售价为55元的连衣裙售出5+5=10ft-,

售价为55+3=58元的连衣裙售出5件，

售价为55+10=65元的连衣裙售出5+1=6件，

总利润为：（50-32）x1+（60-32）x8+（55一32）X10+（58-32）x5+（65-32）X6=800.

答：该服装店售完这批连衣裙所获的利润为800元.

6.某检修小组开汽车从A地出发，在东西向的马路上检修电路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，

一天中七次行驶记录如下：一4,+7,-9,+8,+6,-7,-2.（单位：km）

（1）求收工时距A地多远？

（2）若每千米耗油0.5升，出发时油箱加满且容量为20升，求途中至少还需补充多少升油？

【答案】（1）收工时距A地1km

（2）途中还需补充1.5升

【思路引导】本题主要考查正负数的意义，绝对值的含义，及有理数的加减运算，正确理解止负数的意义

及掌握有理数的运算法则是解题的关键.

（1）由收工时距A地的距离等于所有记录数字的和的绝对值，从而可得答案；

（2）所有记录数的绝对值之和乘以每千米耗油量，就是共耗油数，再减去油箱中存油量即可得到答案.

【规范解答】（1）解：-4+7-9+8+6—7—2=—1,又|一1|=1,

故收_L时距离A地1km；

(2)解：0.5x(|一引+|+7|+|-9|+|+8|+|+6|+|-7|+|-2|)=21.5(升)

所以途中还需要补充：21.5-20=1.5(升).

答：途中还需补充L5升.

易错考点04：省略加法和括号的形式

7.为计算简便，把(-1.4)-(-3.7)-GO.5)+(+2.4)+(-3.5)写成省略力II号的和的形式，并按要求交换

加数的位置正确的是()

A.-1.4+2.4+3.7-().5-3.5B.-1.4+2.4+3.7+0.5-3.5

C.-1.4+2.4-3.7-0.5-3.5D.-1.4+2.4-3.7-0.5+3.5

【答案】A

【思路引导】根据有理数的运算法则计算即可.

【规范解答】原式=-1.4+3.7-0.5+2.4-3.5

=-1.4+2.4+3.7-0.5-3.5,

故选A.

【考点剖析】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则.

8.把下列各式写成省略加号的形式.

(1)—7—(—15)+(—3)—(—4)=；

⑵7+(—I)—(―1)=

【答案】-7+15—3+47—+1

【规范解答】试题分析：写成省略加号的形式，可先统一成加法运算，利用有理数减法运算的法则：减去

一个数等于加上这个数的相反数.然后再变成省略加号的和的形式，去掉括号各项不变号.

所以一7一(―15)+(-3)-(-4)=-7+15-3+4;

易错考点05：有理数乘除混合运算

9.(25-26七年级上-重庆・开学考试)计算:

⑴沁D6

(2)2吟x36+3彳x36+34||x36：

⑶99%xg+111；

⑷0.365x640+3|x36.5.

【答案】（1*

⑵等

（4）365

【思路引导】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练运用运算律和运算法则进行简便计算.

（1）先去括号，再通分，最后进行同分母分数的加减运算；

（2）观察到每一项都有因数36,利用乘法分配律进行简便计算；

（3）将带分数化为假分数，除法转化为乘法，再利用乘法交换律和结合律简便计算；

（4）根据积不变的规律对式子变形，使两项都有因数0.365,再用乘法分配律计算.

【规范解答】（1）解•：9+G一|+0

11

—+~~

612

(2)解：25^1x364-381x364-34|2x36

,1871311839、

x36

7187

x36

72

7187

2；

(3)解：9991x41-lll

8999371

="9_xTxm

3999

--------

243'

(4)解：0.365x640+3|x36.5

=0.365x640+0.365x360

=0.365x(640+360)

=0.365x1000

=365.

10.(25-26七年级上•全国•单元测试)阅读下面解题过程并解答问题：

计算：(―15)+(一如第4

解：原式=(—15)+(—分x6(第一步)

=(-15)+(-25)(第二步)

=-1(第三步)

(1)上面解题过程有两处错误：

第一处是第一步，错误原因是」

第二处是第一步，正确步骤的依据是」

⑵请写出正确的结果

【答案】(1)二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除

⑵个

【思路引导】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键.

(1)根据有理数的乘除混合运算的运算顺序及有理数除法的运算法则即可解答；

(2)先计算括号内的有理数乘法，再将除法转化为乘法计算即可.

【规范解答】(1)解・：第•处是第二步错误，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法:

第二处是第三步错误，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

故答案为：二，运算顺序错误：三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

(2)解：(—15)+(—x马弓

25

=(-15)+(-%~)x6

6

=(-15)x(--)x6

108

=­

易错考点06：有理数乘除中的简便运算

12.(23-24七年级上•广东河源•期中)学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题：

①(一扛；-0，(-3；

②（一点）+（—+9?•

下面是小刚和小明做的过程：

小刚：解：①原式=（—[+g_；）x（—24）=8—12+6=2.

小明：解：②原式=（一（）乂（-3+2—4）=（一（）乂（-5）=4.

请回答:

（1）小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程；

⑵小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即

可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？

⑶如果你认为小华是正确的，请试着计算:（一/）得+或QT）+Q+白白3+（T）・

【答案】（D小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析

（2）小华的思路止确，理由见解析

⑶3

【思路引导】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键.

（1）根据有理数除法的运算法则即可解答：

（2）根据倒数的性质即可得出结论；

（3）先计算弓+卷一（一2）+（—2）的值，再结合（2）中的结论即可求解.

【规范解答】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，

②的正确计算过程如下：

=(-L)X(T2)

1

二Z一・

9，

（2）解：小华的思路正确，理由如下:

=(一泊-2+(-5)X(一如(-泊

=1»

・••①、②这两个式子是互为倒数的关系，

由小刚的解题可得，(一9+：-5+(-5)=2,

+与⑴中的计算结果相符,

・•・先求出①式的结果，即可得到②式的结果，

・•・小华的思路正确；

⑶解：Q+或一套_4)+(一夜)

=(D(_-X(_72)

二-9-3+14+1

=3,

•••(_2)+@+5_/_/)与6+焉_/_2)+(_')互为倒数的关系，

•••(-/)+。+《一5-/)=:

；・原式=1+3=y.

易错考点07：有理数四则混合运算

13.(23-24七年级上•江苏南京•开学考试)计算下面各题，怎样算简便就怎样算.

(1)6.72-3.2+3.18-1.8

(2)0.25x32x1.25

(3)4+~+4

⑷(评)x7+：

呜xWW

哈箪孙斗

【答案】(1)4.9

⑵1()

⑶吟

(4)6

⑸]

(6)3

【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键.

(1)利用加法交换律和结合律简便计算即可；

(2)将32拆分为4x8,再利用乘法交换律和结合律简便计算即可；

(3)先将除法化为乘法计算，再进行减法计算即可；

(4)先利用乘法分配律展开，再利用加法结合律简便计算即可：

(5)先将除法化为乘法，再利用乘法分配律简便计算即可；

(6)先计算小括号内加法，再计算乘法，最后计算除法即可.

【规范解答】⑴解：6.72-3.2+3.18-1.8

=6.72+3.18-(3.2+1.8)

=9.9-5

=4.9；

(2)解：0.25x32x1.25

=0.25x4x8x1.25

=(0.25x4)x(8x1.25)

=1x10

=10；

44

(3)解：4+,—亍+4

741

=4X---X-

474

1

=/-7

=4

(4)解：G+§X7+：

321

=nX74--x7+—

)5b

141

=3+—+-

=3+3

=6；

「、&刀73,84

(5)解：记x7+京+q

7383

=TFX了+-X-

154154

=(i+^)x?

3

=1x—

⑹解：可

8-V2X4/

93

=—:—

88

98

=8X3

=3.

14.计算：

⑴（L+XO

⑵（一嘉）+6-9+：一：）

（3）0.5x[20-（4.5一J一25%

⑷6+1）x7+21x13

【答案】（1）一2

⑷（2）--10

⑶7.75

⑷若

【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，有理数的乘法运算律，解题的关键是掌握各运算法则.

（1）先将除法运算转化成乘法运算，再利用乘法运算律进行求解即可；

（2）先进行通分，再运用除法运算法则进行计算即可；

（3）先进行括号里面的运算，最后进行乘法运算；

（4）先利用乘法运算律进行计算，再进行除法计算即可.

【规范解答】(1)解.：G—+。子(_《)

231

=-x(-24)--x(-24)+-x(-24)

310

=-16+18-4

=—2；

⑵解：(一')+(|一白+，3

一(_mJ四一三十三.当

-\307-\30-30^30-307

=(-4)《

1

-

10,

(3)解：0.5乂[20—(4.5—；)一25%]

=0.5x(20-4.25-0.25)

=0.5x15.5

=7.75；

(4)解：修+1)x7+21x13

卢3、

=Ux7x13+百x13x7)+21

=(65I21)+21

=86・21

=喘・

易错考点08：有理数四则混合运算的实际应用

15.(25-26七年级上•全国•期中)某自行车厂计划每天生产200辆自行车，但由于种种原因，实际每天

生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况(超产记为正，减产记为负)：

星期—•二三四五六0

增减(辆)+5-2-4+13-10+16-9

(1)星期四生产自行车多少辆？

(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？

(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元；少

生产一辆扣10元，求这一周的工资总额.

【答案】(1)213辆

(2)26辆

(3)70630元

【思路引导】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，根据正数和负数的实际意义列得正确的算式

是解题的关键.

(1)结合表格数据，根据正数和负数的实际意义列式计算即可：

(2)由表格中数据求得最高产量及最低产量，然后作差即可：

(3)计算出这周生产的自行车总量，按照题意计算工资即可.

【规范解答】(1)解：200+13=213(辆)，

即该厂星期四生产自行车213辆，

故答案为：213：

(2)解：结合表格数据可得最高产量为200+16=216(辆)，最低产量为20。-10=190(辆)，

则216-190=26(辆)，

即产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车26辆：

(3)解：本周生产的自行车总量为200x7+5—2—4+13—10+16-9=1409(辆)，

本周工资为1409X50+(1409-200x7)x20=70630(元),

答：本周工费为70630元.

16.某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地50()米的顶峰冲击，设他们向上走为正,

行程记录如下，(单位：米)：

+150,-32,-43,+205,-30,+25,—20,-5,4-30,+75,-25.

(1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？

⑵登山时，5名队员在全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共使用了氧气多少升？

【答案】(1)他们最终没有登，顶峰，离顶峰还差170m

(2)128L

【思路引导】本题考查正负数的应用，有理数加减混合运算的应用，有理数四则混合运算的应用，理解正

负数在本题的实际意义是解题关键.

(1)将题H中的数据加在一起与500进行比较即可解答本题；

(2)将所有数据的绝对值加在一起，再乘以5乘以0.04即可解答本题.

【规范解答】(1)解•：+150+(-32)+(-43)+(+205)+(-30)+(+25)+(-20)+(-5)+(+30)+

(+75)+(-25)

=150-32-43+205-30+25-20-5+30+75-25

=330,

500-330=170（m）.

所以他们最终没有登上顶峰，离顶峰还差”0m；

（2）解：（150+32+43+205+30+25+20+5+30+75+25）X0.04x5=128（L）,

答：他们共使用了氧气128L.

易错考点09：数轴上的翻折

17.（23-24七年级上•江苏宿迁•期中）折叠纸面，若在数轴上一1表示的点与5表示的点重合，回答以

下问题：

-3-2-1012345

（1）数轴上10表示的点与—表示的点重合.

（2）若数釉上M、N两点之间的距离为2022（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示

的数是多少？

（3）如图，边长为2的正方形有一顶点A落在数轴上表示一1的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动）,

正方形的•边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点A的数与折叠后的哪个数

重合？

【答案】（1）-6

（2）M、N两点表示的数是一1009、1013

（3）正方形滚动2023次后，数轴上表示点A的数与折叠后的一4043重合

【思路引导】本题考查了数轴上两点的距离，数字类规律探究；

（1）先求出一1和5的中点，再根据对称列式计算即可求解；

（2）根据中点定义求出MN的一半，然后分别列式计算即可；

（3）根据边长为2的正方形有一顶点A落在数轴上表示一1的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示1

的点处，正方形滚动2次后一个顶点落在表示3的点处，正方形滚动3、4次后顶点力落在表示5的点处，即

可求出正方形滚动2023次后，顶点月落在表示4045的点处，进而即可求解.

【规范解答】（1）解：♦.♦在数轴上一1表示的点与5表示的点重合，

—1+5

•••—=2o

•••数轴上-1表示的点与5表示的点的中点是2表示的点.

.・•数轴上1。表示的点与一6表示的点重合.

故答案为一6；

（2）•••数轴上M、N两点之间的距离为2022,

1MN=1x2022=1011,

:.2+1011=1013,2-1011=-1009

二点M表示的数为一1009,

点N表示的数为1013.

答：M、N两点表示的数是一1009、1013；

（3）；边长为2的正方形有一顶点A落在数轴上表示一1的点处，

・•・正方形滚动第3次、第4次时，点A落在数轴上表示7的点处

正方形滚动第7次、第8次时，点A落在数轴上表示15的点处

规律是：正方形滚动第（4n-l）（n是正整数）次、第4n次时，点A落在数轴上表示（一i+8n）的点处

正方形滚动2023次后，顶点A落在表示一1+8x506=4047的点处，

此时，点A距离数轴上2表示的点的距离为：4047-2=4045,

2-4045=-4043

二正方形滚动2023次后，数轴上表示点A的数与折叠后的一4043重合.

18.（25-26七年级上•全国•周测）已知在纸面上有一数轴（如下图所示）.

-5-4-3-2-1012345

（1）折叠纸面，使表示1的点与表示一1的点重合，则表示一3的点与表示的点重合.

（2）折叠纸面，使表示一1的点与表示3的点重合，回答以下问题：

①表示5的点与表示________的点重合；

②若数轴上A,B两点之间的距离为11（点力在点8的左侧），且AB两点经折叠后重合，求A,B两点表示的数.

【答案】（1）3

（2）①一3：②A,B两点表示的数分别是一456.5

【思路引导】本题考查了数轴的折叠问题，通过折叠使数轴上的点重合，考查“对称点”和“中点”概念

的理解和应用.

（1）根据表示1的点和表示一1的点重合，由此可以得到折痕点为0,由此口J以得到表示一3的点重合的点.

（2）①根据已知条件可知对称点为表示1的点，由此即可找到与表示5的点的重合点.

②根据题意可知｛和8与对称点的距离，由此即可得到4和月两点表示的数.

【规范解答】（1）解：折叠纸面，使表示1的点与表示一1的点重合，所以折痕点为原点，借助数轴可得,

则表示一3的点与表示3的点重合.

故答案为：3.

（2）解：折叠纸面，使表示一1的点与表示3的点重合，所以折痕点为1：

①借助数轴可得，表示5的点与表示一3的点重合；

故答案为：一3.

②由题意可得，小8两点与折痕点的距离都为：

11-r2=5.5

因为点力在点”的左侧，所以A、B两点表示的数分别为-4.5,6.5.

易错考点10：扇埋数的乘方运算

19.（25-26七年级上•浙江•阶段练习）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的

运算叫做除方，比如2+2+2,（一3）+（—3）+（—3）+（—3）笔，类比有理数的乘方，我们把2+2+2写

作2③,读作“2的圈3次方”，（—3）+（-3）+（-3）+（-3）写作（一3产，读作“（一3）的圈4次方”，—

般地，把十二上二2（aH°）写作a⑥，读作。的圈〃次方”.

、下a

【初步探究】

（1）直接写出计算结果：2③=_；（一1J）③二二

【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数

的除方运算如何转化为乘方运算呢？

除方』2'=24-24-2^-2=2XyXyXy=（y）2—>1联

（2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成制的形式：（一3）⑤，a@（a0,n>3）.

i14）1〔6）

（3）算一算：122-（-1）x（-2）⑥一（一9）+33.

【答案】（1）（2）:Q）n-2.（3）-2

【思路引导】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，掌握除方的运算法则是解题的关键.

（1）直接根据除方的运算法则求解即可；

（2）根据除方的运算法则和有理数除法运算法则化简相关式子即可；

（3）利用（2）所得的运用法则将原式化成含乘方的有理数混合运算求解即可.

【规范解答］解：⑴2®=2-2-2=2x|xl=1,

(-1沪=(-升THTH(-初1)7

故答案为：P—

(2)(一3)⑤=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)

=(-3)x(-1)x(_ax(-1)x(-1)

=(-/

a®=a+a+a+….a(ar0)=ax；x：x…x；=

nfa

1④号、1⑥Q

(3)12?o+(—x(—2)—(--)+33

=144+(-3)2x(-1)-(一3尸+27

1

=144-r9x--81-7-27

16

=1-3

=—2.

20.（24-25七年级上•全国•阶段练习）类比有理数的乘方，我们定义''除方”运算，比如：2+2+2可

记作2③，（_3）+（—3）+（-3尸（一3）记作（一3严，一般地把〃个a相除记做a包读作“a的圈〃次方”.

⑴直接写出计算结果：2①、；（一3②、

（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何

转化为乘方运算呢？方法如下：

除方-2④=2-2-2-2=2X|X|X1=Q）T乘方的形式

仿照以上例子，把除方运算写成乘方形式：（-3）®=.

⑶算一算：］22+（_J⑷x（—2）⑥一（_J⑥+33

【答案】（1）2；1.

(3)-2.

【思路引导】（1）直接根据“除方”运算的定义，即n个a相除记作a01计算2①与（一J②的值.

（2）仿照所给例子，将除方运算转化为乘方形式，关键在于明确除方运算转化为乘法运算的规律.

（3）先根据（2）中得出的规律将除方运算转化为乘方形式，再按照有理数的混合运算法则进行计算.

本题主要考查了新定义运算以及有理数的混合运算.熟练掌握有理数的混合运算法则，以及根据新定义运

算的规则将除方运算转化为常见的乘方和乘法运算形式是解题的关键.

【规范解答】⑴解：2①=2,==

故答案为2；1.

(2)解：(—3)⑥

=(-3)+(-3)+(-3)+(—3)+(-3)+(—3)

=(-3)xx(-》xx(-1)x(-|)

=(-沪，

故答案为：(一0;

(3)解：122+(_J④x(—2)⑥—(—J⑥+33

=144+[(-$x(-3尸]x[(-2)x(-i)5]-[(-1)x(-3)5]

4-27

=144+[(-Jx(-27)]x[(-2)x(-^)X(-243)

-27

1

=144-r9X--81-27

16

=16x13

=1-3

=—2.

易错考点11：有理数乘方逆运算

21(2022七年级•江苏•专题练习)定义一种新运算(a,b),3fac=b,则(a,b)=c，例(2,8)=3,

(3,81)=4.已知(4,8)+(4,7)=(4,x),则>的值为_

【答案】56

【思路引导】设4m=8,4n=7,根据新运算可得m+n=(4,x),从而得到4m+n=x,即可求解.

【规范解答】解：设4nl=8,4n=7,

•・・（4,8）+（4,7）=（4,x）,

.•.n+n=（4,x）,

.•.4m+n=x,

/.4mx4n=x,

.*.8x7=x,

.*.x=56,

故答案为：56.

【考点剖析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题.

22.（22-23七年级上•重庆云阳・期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题.

如果a（a>0,ah1）的b次凝等于N,即指数式a、=N,那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：

logaN=b例如：

①因为指数式22=4,所以以2为底4的对数是2,对数式记作：log24=2：

②因为指数式42=16,所以以4为底16的对数是2,对数式记作：.log416=2

（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：

①62=36：②43=64

⑵将下列对数式改为指数式：

①logs25=2②Iog327=3

（3）计算:log264

【答案】（D@log636=2；@log+64=3

⑵①52=25；②33=27

（3）6

【思路引导】（1）根据对数的定义求解；

（2）利用对数的定义写成事的形式；

（3）先利用乘方的意义得到26=64,然后根据对数的定义求解.

【规范解答】⑴解:①62=36；

对数式记作：log黑=2：

②43=64；

对数式记作：1。区64=3；

（2）①log$25=2；

指数式为52=25,

②啕27=3；

指数式为33=27；

(3)•••26=64,

log264=6.

【考点剖析】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方.也考查了阅读理解能力.

易错考点12：乘方运算的符号规津

23.(2024七年级上•安徽•专题练习)如图，A,B,C三个点在数轴上表示的数分别为a,b,c,且

|a+16|+|b+6|+(c-8)2=0.动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动.

ABC

IIII>

ab0c

⑴求a,b,c的值；

⑵点P运动到点C前，若点P到点A距离是到点C距离的3倍，求点P运动的时间；

(3)若点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以

同样的速度返回，运动到终点A,在点P开始运动后，P,Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能,

请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由.

【答案】(l)a=-16,b=-6,c=8

(2)当点P的运动时间为:8(秒)时，点P到点A距离是到点C距离的3倍

⑶点P表示的数为一2或0或3或4

【思路引导】(1)利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解：

(2)利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点P表示的数为2,进而可求得BP=8,

再根据速度、时间及路程之间的美系即可求解；

(3)分类讨论：①点P在点Q右侧，两点同向而行，②当点P在点Q左侧，两点同向而行，③当点P在点Q左

侧，两点背向而行，④当点P在点Q右侧，两点背向而行，进而可求解.

【规范解答】⑴解:v|a+16|+|b+6|+(c-8)2=0,

a+16=0,b+6=0,c—8=0,

a=-16,b=—6,c=8.

(2)由(1)可知，AC=8-(-16)=24,

因为点P在AC之间，且点P到点A的距离是到点C距离的3倍，

所以CP=24x[=6,

因为点C表示的数为8,点P在点C的左边，

所以点P表示的数为：8-6=2,

所以BP=2-(-6)=8,

因为点P以每秒1个单位长度的速度运动，

所以当点P的运动时间为：8+1=8(秒州、J,点P到点A距离是到点C距离的3倍.

(3)能,理由如下:

点P从点B运动到点C需要隼包=14秒，而点Q从点A运动到点C需要吃誓=8秒，点Q到达点C时，此时点

JLO

P表示的数为2,

所以当点P从点B运动到点C的过程中，点Q从点A运动到点C,又从点C返回，因此可分为四种情况讨论：

点Q到达点C之前：

①点P在点Q右侧，两点同向而行，

运动时间为詈=4秒，所以此时点P表示的数为一6+4x1=—2；

②当点P在点Q左侧，两点同向而行，

运动时间为警=6秒，所以此时点P表示的数为-6+6xl=0：

点Q从点C返回后：

③当点P在点Q左侧，两点背向而行，

运动时间为8+等=9秒，所以此时点P表示的数为一6+9X1=3；

④当点P在点Q右侧，两点背向而行，

运动时间为8+3祟=10秒，所以此时点P表示的数为-6+10x1=4.

综上所述，点P表示的数为一2或()或3或4.

【考点剖析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规

律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键.

24.(2024七年级上-全国・专题练习)阅读材料，解决问题：431=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36

=729,37=2187,38=6561,…不难发现3的正整数幕的个位数字以3,9,7,1为一个周期循环出现，由

此可以得到：因为31°°=3仅25,所以31。。的个位数字与34的个位数字相同，应为1；因为3%5=34x91+1,

所以3365的个位数字与3】的个位数字相同，应为3.

(1)请你仿照材料，分析求出，户9的个位数字及899的个位数字；

(2)请探索出2301+7301+8301的个位数字.

【答案】(1)3,2

(2)7

【思路引导】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算.

(1)此题不难发现：7n的个位数字是7,9,3,1四个一循环，所以99+4=24...3,则799的个位数字是

3；8n的个位数字是8,4,2,6四个一循环，所以99+4=24...3,则8。9的个位数字是2；

(2)分别找出23。1,73。1,83。1的个位数字,然后个位数字相加所得个位数字就是23。1+73。1+83。1的个

位数字.

【规范解答】⑴解:V71=7,72=49,73=343,74=2401,7s=16807,

・・・7的正整数基的个位数字以7,9,3,1为一个周期循环出现，

••y99_74x24+3,

・•・799的个体数字与73的个位数字相同，应为3：

V81=8,82=64,83=512,84=4096,85=32768,…，

・・・8的正整数塞的个位数字以8,4,2,6为一个周期循环出现.因为899=84x24+3,

・・・899的个位数字与83的个位数字相同，应为2；

(2)解：V21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,-,

・・・2的正整数基的个位数字以2,4,8,6为一个周期循环出现，

•••2301=24x75+1的个位数字与21相同,是2,

根据(1)可知，7301=74x75+1的个位数字是7,8301=84x75+1的个位数字是8,2+7+8=17,

/.2301+7301+83。1的个位数字是7.

易错考点13：乘方的应用

25.(24-25七年级上•河北石家庄•期中)利用如图所示的图形，可求3+/+£的值是

/

29r31

*32

32

【答案】C

【思路引导】该题主要考查了有理数乘方的应用，解题的关键是读懂图象.

根据图象得出亚£+5+3+E即为①+②+③+④+⑤的面积，再计算①+②+③+④+⑤的面

积即可.

【规范解答】解：假设正方形的面枳为1,

根据图象可彳%+卷+摄+盘■+套即为①+②+③+④+⑤的面积，

•・•①+②+③+④+⑤的面积=1一金=1一1=3

故;+《+£+《+《的面积为苏

故选：C.

26.(24-25七年级上•辽宁抚顺•期中)生活中常用的十进制是用0、9这十个数字来表示数，满十进一，

例：312=3X102+1X101+2；

计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，

例：二进制数10101转化为十进制数：1x24+0x23+1x22+0x21+1=21；

例如(10101)2就是二进制数10101的简单写法.卜进制数一般不标注基数.

其他进制也有类似的表示方法和算法….

(1)【发现】根据以上信息，将数(101010)2转化为十进制数是多少；

⑵【迁移】按照上面的格式将十进制数“89”转化为二进制数和八进制数；

(3)【应用】二进制的运算和十进制的运算规则相同，不同的是十进制的数位有0~9十个数码，满十进一,

而二进制的数位有。和1两个数码，满二进一，借一当二.

即二进制的加法和减法运算规则如下：

加法：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=(10)2.(满2进1)

减法：0-0=0,1-0=1,1-1=0,(10)2—1=1(同一•数位不够减时，向高一位借1当2)

根据以上信息，结果保留二进制：

计算①(10110)2+(Hll)2=_________.

②(110101)2-(11110)2=_________.

【答案】(1)42

(2)(1011001)2,(131)8

(3)①：(100101)2,②：(10111)2

【思路引导】本题考查了有理数乘方的应用，正确理解题中二正制转换十进制的计算方法是解题的关键

(1)根据题目信息直接进行计算即可：

(2)根据十进制转二进制和转八进制的方法列式计算即可；

(3)根据满二进一和借一为二的法则，进行二进制数的加减运算即可.

【规范解答】(1)解：(101010)2转化为十进制数:

1X25+0X24+1X23+0x22+1x21+0=42,

(2)89=64+16+84-1=1x26+0x254-1x24+1x23+0x22+0x21+1即

89转化为二进制是：(1011001)2，

89=64+24+1=1x82+3x81+1,

即89转化为八进制是：(131)8

(3)从右往左逐位相加：

最右动：0+1=1,

接着：1+1=(10)2,(满2进1,写下()，进位1),

再接着：1+1=(10)2,(加上之前的进位1,得11,满2进1,写下1,进位1),

然后：1+0=1,(加上之前的进位1,得2,写下0,进位1),

最左边：1+。=1,(加上之前的进位1,得2,写下0,进位1),

所以(10110)2+(1111)2=(100101)2；

②计算(110101)2—(11110)2：

从右向左算，

1-0=1,

0-1,(不够减，向高位借1当2),

(10)2-1=1，(借位后计算的结果)，

0-1,(不够减，向高位借1,前一位是()，向前两位借I),

(100)2-1-11,(写1进1)

1-1=0

0-1,(不够减，向高位借1当2)

(10)2-1=1

所以,(110101)2-(11110)2=(10111)2.

易错考点14：程序流程图与有理数计算

27.(24-25七年级上•安徽安庆•期中)小力在电脑上设计一个有理数运算程序：输入a,按*键，再输入

b,得到运算a*b=a2—b2—[2(a3-1)-1](a—b).

⑴求(—3)*2的值;

(2)小华在运算此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”你清小华在输入数据时，可能是出现了什么情

况？为什么？

【答案】(1)一黑

(2)见详解

【思路引导】本题是信息题，把-3当作82当作4代入运算程序中进行计算.同时考查了有理数的混

合运算，利用了分母和除数不能为0求第二小题.

(1)把一3当作&2当作从代入运算程序中计算即可：

(2)由于程序中有分数，分母不能为0；程序中有除法，除数不能为0,围绕这两方面找原因.

【规范解答】⑴解：(—3)*2

=(_3)2_22-{2x[(-3)3-1]--(-3-2)

=9一4一2x(一27-1)一；]+[一5)

=5-(2X(-28)-1]-(-5)

=5,(-56-1)x

L113

=>---------

10'

63

=---

10

(2)解：由于分母不为0,且程序中有;和除以(a—b),故b=0或a=b时，程序无法操作.