2025年大学《统计学》专业题库- 主成分图分析方法在统计学中的应用

2025年大学《统计学》专业题库——主成分图分析方法在统计学中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共20分）1.主成分分析的主要目的是什么？A.提高模型的预测精度B.减少变量维度，提取主要信息C.对原始数据进行分类D.检验变量之间的相关性2.在主成分分析中，决定新变量（主成分）重要性程度的指标是？A.相关系数B.均值C.特征值D.标准差3.如果一个主成分的特征值为3.5，而所有原始变量的方差之和为14，那么该主成分的方差贡献率是多少？A.0.25B.0.50C.0.75D.1.754.累计方差贡献率达到多少通常被认为提取了足够多的主成分来代表原始数据？A.50%B.70%C.85%D.95%5.主成分分析中，计算协方差矩阵或相关系数矩阵的目的是？A.消除量纲影响B.计算原始变量的均值C.找到数据的主要方向D.计算特征向量6.主成分得分的计算通常基于？A.原始数据B.特征向量C.特征值D.A和B7.绘制主成分散点图时，通常将哪个主成分放在横轴，哪个放在纵轴？A.特征值最大的两个B.累计方差贡献率最高的两个C.解释原始变量方差最多的两个D.任意两个8.主成分分析是一种什么类型的统计方法？A.分类方法B.回归方法C.降维方法D.抽样方法9.当原始变量之间存在较强的多重共线性时，主成分分析可以用来？A.排除共线性变量B.增加模型复杂度C.提高模型解释性D.以上都可以10.主成分分析得到的成分是？A.原始变量的线性组合B.原始变量的非线性组合C.独立的正态分布变量D.原始变量的平方和二、填空题（每空2分，共20分）1.主成分分析首先需要对原始数据进行________，以消除不同变量量纲的影响。2.主成分是原始变量的________线性组合。3.特征向量决定了每个主成分的方向，而特征值反映了每个主成分所________的原始数据方差量。4.主成分分析通过保留累计方差贡献率达到某个阈值（如85%）的几个主成分，实现了数据的________。5.主成分图是一种用于可视化________得分的方法，可以帮助识别数据中的模式或聚类。6.在主成分分析中，第一个主成分总是解释________的原始数据方差。7.如果两个原始变量在第一主成分上有较高的载荷，说明这两个变量在第一主成分的方向上具有较大的________。8.主成分分析是一种________分析方法，它不产生新的分类标签。9.进行主成分分析时，选择保留的主成分数量需要根据________和解释力来决定。10.主成分分析结果的可解释性有时会受到________的影响，因为主成分本身可能没有明确的意义。三、简答题（每题5分，共20分）1.简述主成分分析的主要步骤。2.解释什么是主成分的方差贡献率，并说明其作用。3.主成分图分析的主要目的是什么？它能揭示数据中的哪些信息？4.与因子分析相比，主成分分析的主要区别是什么？四、计算与分析题（共40分）1.（15分）某研究收集了四个变量（X1,X2,X3,X4）的数据，计算得到相关系数矩阵的特征值为：λ1=3.8,λ2=1.2,λ3=0.5,λ4=0.05。假设原始变量的均值为零。(1)计算前两个主成分的方差贡献率和累计方差贡献率。(2)基于方差贡献率，说明应保留几个主成分？并解释理由。(3)假设第一个主成分的特征向量为（0.6,0.7,0.5,0.4），请写出该主成分的表达式（即线性组合形式）。2.（25分）对某数据集进行主成分分析，得到如下结果：(1)前两个主成分的得分如下表所示（单位：标准分）：|样本|主成分1得分|主成分2得分||:---:|:----------:|:----------:||1|2.1|-1.5||2|-1.8|2.0||3|0.0|0.5||4|2.5|1.2||5|-2.0|-1.8|请绘制简化的主成分散点图（无需坐标轴刻度）。(2)根据散点图，描述样本在主成分空间中的大致分布模式（如是否存在聚类、样本是否按某种趋势分布等）。(3)结合主成分的方差贡献率（假设前两个主成分累计贡献率超过85%），解释散点图中观察到的模式可能反映了原始变量之间怎样的关系或数据结构。---注意：本试卷为模拟试卷，题目和答案均为示例，仅供参考。实际考试内容可能有所不同。试卷答案一、选择题1.B2.C3.B4.C5.C6.D7.C8.C9.A10.A二、填空题1.标准化2.线性3.贡献4.降维5.主成分6.最大7.共同性8.降维9.累计方差贡献率10.意义三、简答题1.解析思路：主成分分析步骤包括：(1)对原始数据进行标准化处理；(2)计算标准化数据的协方差矩阵或相关系数矩阵；(3)对协方差矩阵或相关系数矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量；(4)根据特征值的大小对主成分进行排序；(5)根据累计方差贡献率确定保留的主成分数量；(6)计算保留的主成分得分（即原始数据在这些主成分方向上的投影）。2.解析思路：方差贡献率是指每个主成分所解释的原始数据总方差的比例。计算公式为：某主成分方差贡献率=该主成分特征值/(所有特征值之和)。方差贡献率的作用是衡量每个主成分的重要性，并用于判断应保留多少个主成分来代表原始数据的大部分信息。通常选择累计方差贡献率达到一定阈值（如85%）的主成分。3.解析思路：主成分图分析的主要目的是通过可视化主成分得分，直观地展示样本在降维空间中的分布情况，从而识别数据中的潜在模式，如聚类结构、异常点或变量间的关系模式。它能揭示样本之间在多个原始变量组合上的相似性或差异性。4.解析思路：主成分分析是纯粹的降维技术，目标是提取新的综合变量（主成分），这些成分是原始变量的线性组合，并按解释的方差量排序。它不产生新的分类或解释性结构。因子分析则试图解释原始变量之间的相关性，认为这些相关性是由少数潜在的共同因子引起的，因子分析的目标是识别这些潜在因子。四、计算与分析题1.(1)解析思路：总特征值之和=3.8+1.2+0.5+0.05=5.55。前两个主成分的方差贡献率分别为：3.8/5.55≈0.686；1.2/5.55≈0.215。累计方差贡献率=0.686+0.215=0.901≈90.1%。答：前两个主成分的方差贡献率分别为约68.6%和21.5%，累计方差贡献率为约90.1%。(2)解析思路：根据累计方差贡献率，前两个主成分的累计贡献率已超过85%，因此应保留前两个主成分。理由是这两个成分保留了数据绝大部分（超过90%）的变异信息，能有效代表原始数据的主要结构，同时实现了显著的降维。答：应保留两个主成分。理由是前两个主成分的累计方差贡献率达到90.1%，超过了常用的85%阈值，能很好地代表原始数据的主要信息，实现有效降维。(3)解析思路：主成分1的表达式=0.6*X1+0.7*X2+0.5*X3+0.4*X4。答：主成分1的表达式为0.6X1+0.7X2+0.5X3+0.4X4。2.(1)解析思路：根据给出的样本得分，在二维坐标系中绘制散点图，横轴为第一个主成分得分，纵轴为第二个主成分得分。将每个样本的得分作为坐标点标出。（此处无法绘制图形，但需想象一个二维散点图，横轴和纵轴分别标示主成分1和主成分2得分）(2)解析思路：观察散点图中点的分布。样本点似乎大致形成两个相对聚集的群组（聚类），一个群组得分在主成分1和主成分2上都较高（如样本4），另一个群组得分在主成分1上较低（负值），在主成分2上也有正有负但绝对值较小（如样本1,5）。可能存在一个从左下到右上的趋势（样本2,3,4）。答：样本在主成分空间中的分布大致呈现两个聚集的群组，可能存在一个从左下角向右上角延伸的趋势。(3)解析思路：结合主成分的高方差贡献率（假设超过85%）和散点图的模式。第一主成分解释了大部分方差，其得分的差异反映了样本在由载荷向量（题干未给，但隐含在方向中）指示的原始变量组合上的主要差异。散点图中形成的群组说明存在至少两类具有不同特征的样本。第一主成分得分的正负可能