2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学建模解决实际问题

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学建模解决实际问题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述数学建模的定义及其在解决实际问题中的作用。二、某工厂生产两种产品A和B，每种产品都需要经过两种不同的工序加工。已知生产每单位产品A需要消耗第一种工序2小时，第二种工序1小时；生产每单位产品B需要消耗第一种工序1小时，第二种工序2小时。工厂每月可用于第一种工序的总工时为300小时，用于第二种工序的总工时为250小时。产品A的售价为每单位200元，产品B的售价为每单位150元。假设市场对产品A的需求不超过150单位，对产品B的需求不超过100单位。工厂希望每月获得最大利润，请建立此问题的线性规划模型。三、某城市计划修建一条从市中心到机场的地铁线路。已知市中心到机场的距离为20公里，计划每隔2公里建一个车站。由于资金限制，地铁线路的总长度不能超过25公里。请建立数学模型，确定车站的最佳位置，使得乘客从市中心到机场的总出行时间最短。假设地铁的平均速度为40公里/小时，乘客步行速度为5公里/小时，乘客在车站的候车时间忽略不计。四、某农场计划种植两种作物X和Y，种植这两种作物需要消耗土地、水和劳动力等资源。已知种植每单位作物X需要消耗土地2亩，水3立方米，劳动力1个工时；种植每单位作物Y需要消耗土地1亩，水2立方米，劳动力2个工时。农场现有土地100亩，水150立方米，劳动力120个工时。作物X的售价为每单位100元，作物Y的售价为每单位80元。农场希望获得最大收入，请建立此问题的线性规划模型，并说明模型中哪些是决策变量、目标函数和约束条件。五、某公司计划投资一个新项目，有三种投资方案可供选择。方案A的预期收益为100万元，标准差为20万元；方案B的预期收益为80万元，标准差为10万元；方案C的预期收益为120万元，标准差为30万元。假设该公司认为预期收益的期望值为90万元，请使用决策树方法分析该公司应该选择哪种投资方案。六、某传染病的传播过程可以用SIR模型来描述，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示康复人群。请简述SIR模型的基本思想，并说明模型中各个参数的含义。七、某公司生产一种产品，产品的需求量服从正态分布，均值为1000件，标准差为200件。产品的生产成本为每件10元，库存成本为每件每年1元，缺货成本为每件5元。公司希望最小化总成本，请建立此问题的库存模型，并计算公司应该生产多少件产品才能最小化总成本。八、请简述蒙特卡洛模拟方法的基本原理，并举例说明蒙特卡洛模拟方法在解决实际问题中的应用。试卷答案一、数学建模是运用数学工具和方法解决实际问题的过程。它将实际问题转化为数学模型，通过数学分析和计算，得出结论并应用于实际问题，从而帮助人们更好地理解问题、解决问题或预测未来。二、决策变量：X：每月生产产品A的数量（单位：件）Y：每月生产产品B的数量（单位：件）目标函数：最大化利润Z=200X+150Y约束条件：1.第一种工序工时约束：2X+Y≤3002.第二种工序工时约束：X+2Y≤2503.市场需求约束：X≤1504.市场需求约束：Y≤1005.非负约束：X≥0,Y≥0三、决策变量：X1,X2,...,X10：分别表示10个车站的位置（单位：公里）目标函数：最小化总出行时间Z=5(20-X1)+40(20-X1)+5(20-X2)+40(20-X2)+...+5(X10-20)+40(X10-20)约束条件：1.车站位置约束：0<X1<X2<...<X10<202.地铁线路总长度约束：X10-X1+(X10-X2)+...+(X10-X9)≤25四、决策变量：X：种植作物X的数量（单位：单位）Y：种植作物Y的数量（单位：单位）目标函数：最大化收入Z=100X+80Y约束条件：1.土地约束：2X+Y≤1002.水约束：3X+2Y≤1503.劳动力约束：X+2Y≤1204.非负约束：X≥0,Y≥0模型中：决策变量：X,Y目标函数：Z=100X+80Y约束条件：2X+Y≤100,3X+2Y≤150,X+2Y≤120,X≥0,Y≥0五、方案A的预期收益为100万元，标准差为20万元。方案B的预期收益为80万元，标准差为10万元。方案C的预期收益为120万元，标准差为30万元。公司认为预期收益的期望值为90万元。构建决策树：1.方案A的期望收益偏差：|100-90|=10万元2.方案B的期望收益偏差：|80-90|=10万元3.方案C的期望收益偏差：|120-90|=30万元选择期望收益偏差最小的方案，即方案A。六、SIR模型的基本思想是将人群分为三类：易感人群（S）、感染人群（I）和康复人群（R），并建立微分方程组描述三类人群数量随时间的变化关系。模型中各个参数的含义如下：β：传染率，表示易感人群与感染人群接触后感染的概率γ：康复率，表示感染人群康复的概率S(t)：t时刻易感人群的数量I(t)：t时刻感染人群的数量R(t)：t时刻康复人群的数量七、决策变量：Q：每次生产的产品数量（单位：件）目标函数：最小化总成本Z=生产成本+库存成本+缺货成本Z=10Q+1(Q-D)/2+5max(0,D-Q)约束条件：需求量D服从正态分布N(1000,200^2)计算库存模型需要使用库存理论中的公式或软件进行计算，具体计算过程略。八、蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机抽样的数值