2025年大学《数理基础科学》专业题库-控制理论在工程系统中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——控制理论在工程系统中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在括号内）1.系统的特征方程为D(s)=s³+2s²+3s+4，根据劳斯判据，该系统（）。A.有一根在s左半平面B.有两根在s左半平面C.有一根在s右半平面D.所有根都在s左半平面2.若系统的传递函数为G(s)=(s+2)/(s²+3s+2)，其零点是（）。A.-2B.-1C.1D.-33.已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)=K/(s(s+1)(s+2))，当K增大时，系统（）。A.稳定性变好B.稳定性变差C.稳定性不变D.稳定性变化趋势不确定4.一阶系统G(s)=1/(T₁s+1)，其时间常数T₁表示（）。A.系统的上升时间B.系统的超调量C.系统的调节时间D.系统响应速度的快慢5.在控制系统中，引入负反馈的主要目的是（）。A.提高系统的型别B.减小系统的阻尼比C.提高系统的开环增益D.提高系统的稳定性和抑制干扰二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在横线上）1.若系统的传递函数为G(s)=5/(s²+2s+5)，其自然频率ωₙ为______，阻尼比ζ为______。2.绘制奈奎斯特图时，若开环传递函数G(s)H(s)在s=jω处有一个零点，则奈奎斯特曲线在该点附近会______（填“穿越”或“绕过”），并且穿越方向与原点距离为______。3.对于二阶系统，若要求其单位阶跃响应的超调量σₚ≤5%，则阻尼比ζ的取值范围应在______之间。4.将传递函数G(s)=s/(s²+s+1)变换为状态空间表达式（可控标准形），其状态方程为ẋ=Ax，其中A=______。5.在PID控制中，比例(P)、积分(I)、微分(D)三项分别主要用来克服系统的______响应、______响应和抑制______。三、计算题（共45分）1.（10分）已知闭环系统的特征方程为s⁴+2s³+3s²+4s+5=0。试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并说明在s右半平面的根的个数。2.（10分）系统的开环传递函数为G(s)H(s)=K(s+3)/(s(s+1)(s+2))。试绘制该系统的根轨迹图（至少标出起点、终点、分离点、会合点、渐近线参数），并分析当K从0变化到无穷大时，闭环系统根的变化趋势。3.（15分）系统的传递函数为G(s)=10/(s²+2s+10)。试求该系统在单位阶跃输入下的响应，并计算其超调量σₚ、上升时间tₖ和调节时间t₅。4.（10分）设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s(s+1))。若要求闭环系统在单位阶跃输入下的稳态误差ess≤0.1，试确定满足此要求的开环增益K的取值范围。并说明该系统是否可以通过添加积分环节来消除稳态误差。四、设计题（20分）已知一阶被控对象G₀(s)=1/(10s+1)，希望设计一个控制器使闭环系统的单位阶跃响应无超调（即σₚ=0%），且调节时间t₅尽可能短。请采用合适的控制策略（如PID控制），确定控制器的传递函数Gc(s)，并简要说明设计思路。试卷答案一、选择题1.C2.A3.B4.D5.D二、填空题1.2；0.52.绕过；无穷大3.0<ζ≤0.74.[[-1-1],[10]]5.稳态；滞后；干扰三、计算题1.解析思路：利用劳斯判据判断稳定性。首先构造劳斯表，然后观察劳斯表第一列元素的正负号变化。第一列元素中出现负号表示对应频率平面的右半平面有根。根据第一列元素符号变化的次数确定右半平面根的个数。答案：劳斯表：s³|135s²|240s¹|100s⁰|500第一列元素符号变化一次（从+1到-1）。系统不稳定，s右半平面有一根根。2.解析思路：绘制根轨迹图需遵循根轨迹绘制的基本规则：起点和终点、渐近线、实轴上的根、分离与会合点、根轨迹的走向。首先确定起点（K=0，s=0,-1,-2）和终点（K→∞，s=-3）。计算渐近线数目（n-m=1条）、角度（-180°）和交点（-2）。在实轴上，-∞到-3和-1之间为根轨迹段。检查分离点（实轴上G(s)H(s)符号改变的点，需解方程），此处无分离点。会合点（虚轴上G(s)H(s)符号改变的点，需解方程），此处无会合点。根轨迹从-2出发，沿实轴到-3，然后进入s左半平面，随着K增大，闭环根逐渐向-3靠近。答案：（此处无法绘制图形，请根据规则自行绘制）根轨迹从s=0,-1,-2出发，沿实轴到s=-3终止。有一条渐近线，位于s=-2，角度为-180°。闭环根随着K增大，从s=0,-1,-2逐渐移动到s=-3附近。3.解析思路：对于标准二阶系统G(s)=ωn²/(s²+2ζωns+ωn²)，可以直接利用二阶系统单位阶跃响应公式求解性能指标。首先将给定传递函数与标准形式对比，确定ωn和ζ。然后根据公式计算σₚ=exp(-ζπ/√(1-ζ²))*100%，tₖ=π/ωd=π/ωn√(1-ζ²)（ωd=ωn√(1-ζ²)为阻尼振荡频率），t₅=4ζωn。注意检查阻尼比是否在0和1之间。答案：对比G(s)=10/(s²+2s+10)，得ωn²=10,ωn=√10,2ζωn=2,ζ=1/√10。σₚ=exp(-π/√(1-(1/√10)²))*100%≈13.5%。tₖ=π/(√10*√(1-(1/√10)²))≈2.2s。t₅=4*(1/√10)*√10=4s。4.解析思路：计算稳态误差ess需要利用终值定理，ess=lim(s→0)sR(s)/(1+G(s))。对于单位反馈系统，ess=lim(s→0)s/(1+G(s))。将G(s)=K/(s(s+1))代入计算。为消除稳态误差，需要系统至少有一个积分环节（即开环传递函数中s=0的因子）。检查G(s)是否含有s=0的因子。答案：G(s)=K/(s(s+1))。ess=lim(s→0)s/(1+K/(s(s+1)))=lim(s→0)s²(s+1)/(s(s+1)+K)=lim(s→0)s(s+1)/(s+1+K/s)=0/(1+K/0)=0。若要消除稳态误差，需要G(s)H(s)含有s=0的因子，即系统需要串联一个积分环节（1/s）。此时ess=lim(s→0)s/(1+K/(s(s+1))*(1/s))=lim(s→0)s/(1+K/(s²+s))=lim(s→0)s³(s+1)/(s²+s+K)=0。因此，原系统已是无差系统，稳态误差为0，不需要添加积分环节。满足ess≤0.1的K值范围是0<K<∞。四、设计题解析思路：设计目标是闭环系统无超调（σₚ=0%），这意味着闭环系统必须是临界阻尼或过阻尼的二阶系统（ζ=1或ζ>1）。首先确定被控对象的传递函数G₀(s)=1/(10s+1)，其时间常数为T=10。目标是设计一个控制器Gc(s)使得闭环传递函数具有临界阻尼特性。对于单位反馈系统，闭环传递函数为Gb(s)=Gc(s)G₀(s)/(1+Gc(s)G₀(s))。要求闭环系统为临界阻尼二阶系统，其标准形式为Gb(s)=ωn²/(s²+2ωns+ωn²)，其中ζ=1。通过比较分母多项式，可以推导出Gc(s)的形式。由于被控对象是一个积分环节的惯性环节，为了使其成为临界阻尼，控制器通常需要引入一个积分环节和一个额外的零点来抵消原系统的零点并增加一个极点。常见的控制器形式为PI控制器或PID控制器。这里选择PID控制器Gc(s)=Kp(s+z₁)/(Tis+1)，其中Kp,Ti,z₁为待定参数。需要选择z₁=1（抵消G₀(s)的零点s=-1/10）和Ti=10（增加一个极点s=-1/Ti）。为简化，可以设Kp=1，得到Gc(s)=(s+1)/(10s+1)。验证：闭环传递函数Gb(s)=[(s+1)/(10s+1)]*[1/(10s+1)]/[1+(s+1)/(10s+1)]*[1/(10s+1)]=(s+1)/(100s³+111s²+21s+1)。要求为临界阻尼，分母应为s²+2s+1。比较可知，上述Gc(s)可以使闭环系统成为临界阻尼（如果Kp足够大）。更直接的方法是使用状态反馈或输出反馈设计，但对于此题，提供一个基于频域或古典控制理论的设计思路即可。答案：采用PID控制策略。设控制器传递函数为Gc(s)=Kp(s+z₁)/(Tis+1)。为使闭环系统无超调，需使闭环系统为临界阻尼二阶系统。考虑被控对象G₀(s)=1/(10s+1)含有零点s=-1/10。设计PID控制器Gc(s)=Kp(s+1/10)/(Tis+1)=Kp(