2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 演算理论在自动机设计中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——演算理论在自动机设计中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分。请将正确选项的字母填在括号内）1.下列语言中，属于正则语言的是（）。(A){a^nb^n|n≥0}(B){a^mb^n|m,n≥1}(C){w|w中a和b的数量相同}(D){w|w以a开头，以b结尾}2.一个有限自动机M=(Q,Σ,δ,q0,F)，其中Q={q0,q1,q2},Σ={a,b},δ为状态转移函数，q0为初始状态，F={q2}。若δ(q0,a)=q1,δ(q0,b)=q0,δ(q1,a)=q2,δ(q1,b)=q0,则M能够接受的语言是（）。(A){a,b}(B){aa,bb}(C){a^nb^m|n,m≥0}(D){a^n|n≥1}3.下列关于非确定性有限自动机的叙述中，错误的是（）。(A)非确定性有限自动机可以接受正则语言。(B)非确定性有限自动机至少有一个空串移动。(C)非确定性有限自动机可以转换为等价的确定性有限自动机。(D)非确定性有限自动机的接受条件与确定性有限自动机相同。4.下推自动机M=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,F)，其中Q={q0,q1},Σ={a,b},Γ={Z0,X},δ为状态转移函数，q0为初始状态，Z0为初始栈符号，F={q1}。若δ(q0,a,Z0)={(q1,X)},δ(q0,b,Z0)={(q0,Z0)},δ(q1,a,X)={(q1,XX)},δ(q1,b,X)={(q1,ε)},则M能够接受的语言是（）。(A){a^nb^n|n≥0}(B){a^mb^m|m≥1}(C){w|w中a和b的数量相同}(D){w|w为空串或以a开头，以b结尾}5.下列关于形式语言的叙述中，正确的是（）。(A)任何形式语言都可以被有限自动机接受。(B)任何形式语言都可以被下推自动机接受。(C)上下文无关文法产生的语言一定是正则语言。(D)正则表达式和有限自动机是等价的。二、填空题（每小题2分，共10分。请将答案填在横线上）1.一个有限自动机M=(Q,Σ,δ,q0,F)，其中Q={q0,q1,q2},Σ={a,b},δ(q0,a)=q1,δ(q0,b)=q0,δ(q1,a)=q2,δ(q1,b)=q0,δ(q2,a)=q2,δ(q2,b)=q2,F={q2}。则M不能接受字符串bab。2.一个非确定性有限自动机M=(Q,Σ,δ,q0,F)，其中Q={q0,q1},Σ={a,b},δ(q0,a)={q0,q1},δ(q0,b)={q0},δ(q1,a)={q1},δ(q1,b)=∅,F={q1}。则M能够接受的语言包含字符串aa。3.一个下推自动机M=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,F)，其中Q={q0,q1},Σ={a,b},Γ={Z0,X},δ(q0,a,Z0)={(q1,X)},δ(q0,b,Z0)={(q0,Z0)},δ(q1,a,X)={(q1,ε)},δ(q1,b,X)={(q1,XX)},F={q1}。则M在输入字符串aba时，最终栈内容为Z0。4.正则表达式(a+b)*a(a+b)*表示的语言包含字符串aaa。5.上下文无关文法G=(V,T,P,S)中，V={S,A},T={a,b},P={S→aSb,S→ε,A→a},S为起始符号。则G产生的语言包含字符串aaab。三、判断题（每小题2分，共10分。请将“正确”或“错误”填在括号内）1.任何正则语言都可以被有限自动机接受。()2.任何下推自动机都可以转换为等价的有限自动机。()3.如果一个语言可以被有限自动机接受，那么它也可以被下推自动机接受。()4.正则表达式和有限自动机是等价的。()5.上下文无关文法产生的语言一定是上下文有关语言。()四、简答题（每小题5分，共20分）1.简述有限自动机的定义及其接受的语言类型。2.简述非确定性有限自动机的定义及其与确定性有限自动机的关系。3.简述下推自动机的定义及其与有限自动机的区别。4.简述形式语言的概念及其分类。五、计算题（每小题10分，共20分）1.构造一个确定性有限自动机，接受语言L={w|w中包含两个连续的a}，其中Σ={a,b}。2.构造一个下推自动机，接受语言L={w|w为奇数个a和偶数个b}，其中Σ={a,b}。六、综合题（20分）证明：任何正则语言都可以被有限自动机接受。试卷答案一、选择题1.D2.C3.B4.A5.D二、填空题1.错误2.正确3.Z0X4.正确5.正确三、判断题1.正确2.错误3.错误4.正确5.错误四、简答题1.有限自动机是一个五元组M=(Q,Σ,δ,q0,F)，其中Q是一个有限的状态集合，Σ是一个有限的输入符号集合，δ是一个状态转移函数，q0是初始状态，F是接受状态集合。有限自动机接受一个语言L，当且仅当对于任意字符串w∈L，存在一个状态序列q0,q1,...,qk∈Q，使得δ(q0,w)=q1,δ(q1,w)=q2,...,δ(qk-1,w)=qk，且qk∈F。2.非确定性有限自动机是一个五元组M=(Q,Σ,δ,q0,F)，其中Q是一个有限的状态集合，Σ是一个有限的输入符号集合，δ是一个状态转移函数，q0是初始状态，F是接受状态集合。非确定性有限自动机的状态转移函数δ可以映射到一个状态集合，而不是单个状态。非确定性有限自动机接受一个语言L，当且仅当存在至少一个状态序列q0,q1,...,qk∈Q，使得δ(q0,w)={q1},δ(q1,w)={q2},...,δ(qk-1,w)={qk}，且qk∈F。3.下推自动机是一个五元组M=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,F)，其中Q是一个有限的状态集合，Σ是一个有限的输入符号集合，Γ是一个有限的栈符号集合，δ是一个状态转移函数，q0是初始状态，Z0是初始栈符号，F是接受状态集合。下推自动机的状态转移函数δ可以映射到一个状态-栈符号对集合，而不是单个状态-栈符号对。下推自动机接受一个语言L，当且仅当存在一个栈内容序列γ0,γ1,...,γk，使得δ(q0,w,γ0)=(q1,γ1),δ(q1,w,γ1)=(q2,γ2),...,δ(qk-1,w,γk-1)=(qk,γk)，且qk∈F，且γk仅包含Z0。4.形式语言是由字母表上定义的语言，可以形式地描述为字母表上所有字符串的子集。形式语言分类通常基于其生成方式或接受方式，常见的分类包括正则语言、上下文无关语言、递归可枚举语言等。五、计算题1.M=(Q,Σ,δ,q0,F)Q={q0,q1,q2}Σ={a,b}δ(q0,a)=q1,δ(q0,b)=q0δ(q1,a)=q2,δ(q1,b)=q0δ(q2,a)=q2,δ(q2,b)=q2F={q2}2.M=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,F)Q={q0,q1}Σ={a,b}Γ={Z0,X}δ(q0,a,Z0)={(q1,X)}δ(q0,b,Z0)={(q0,Z0)}δ(q0,a,X)={(q1,ε)}δ(q0,b,X)={(q0,XX)}δ(q1,a,X)={(q1,ε)}δ(q1,b,X)={(q1,ε)}F={q1}q0为初始状态，Z0为初始栈符号六、综合题证明：设L为正则语言，存在一个正则表达式R表示L。根据正则表达式的定义，R可以是一个字母、R1R2、R1+R2或(R1)*的形式。对于每种形式，我们可以构造一个等价的有限自动机。1.如果R是一个字母a，则构造一个包含两个状态q0和q1的有限自动机，其中δ(q0,a)=q1，q1属于接受状态集合F。2.如果R是R1R2，则构造两个有限自动机M1和M2，分别接受语言R1和R2。将M1的接受状态与M2的初始状态合并为一个新状态，并修