2025年大学《应用统计学》专业题库- 统计学在决策分析中的应用

2025年大学《应用统计学》专业题库——统计学在决策分析中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.在参数估计中，增大样本量会导致（）。A.置信区间变宽B.置信区间变窄C.样本均值的标准误差增大D.样本均值的标准误差减小2.进行假设检验时，第一类错误的概率α表示（）。A.接受真假设的概率B.拒绝真假设的概率C.接受错误假设的概率D.拒绝错误假设的概率3.从正态分布总体中抽取样本，当总体方差未知且样本量较小（n<30）时，用于构造总体均值置信区间的统计量通常是（）。A.Z统计量B.F统计量C.t统计量D.χ²统计量4.若两个变量的相关系数为-0.8，则说明（）。A.变量间存在很强的正相关关系B.变量间存在很弱的负相关关系C.变量间存在很强的负相关关系D.变量间不存在线性关系5.在简单线性回归分析中，回归系数β₁的显著性检验主要是考察（）。A.自变量X与因变量Y之间是否存在线性关系B.自变量X对因变量Y的影响程度C.因变量Y的均值是否等于某个常数D.自变量X的取值范围6.对于分类数据，描述其集中趋势最常用的统计量是（）。A.均值B.中位数C.众数D.标准差7.方差分析（ANOVA）的主要目的是（）。A.检验样本均值是否相等B.检验样本方差是否相等C.检验多个总体均值是否存在显著差异D.检验总体方差是否服从正态分布8.抽样调查中，采用分层抽样方法的主要目的是（）。A.减少抽样误差B.方便数据收集C.提高样本代表性D.节省调查费用9.某产品的寿命服从指数分布，已知平均寿命为1000小时，则其寿命超过1200小时的概率为（）。A.e^(-1.2)B.1-e^(-1.2)C.e^(-0.001)D.1-e^(-0.001)10.在时间序列分析中，移动平均法主要用来（）。A.测定趋势成分B.平滑随机波动C.建立预测模型D.分析季节性变动二、填空题1.若总体服从正态分布N(μ,σ²)，当σ²未知时，检验H₀:μ=μ₀的t统计量的自由度为______。2.在假设检验中，犯第二类错误的概率用______表示，它是在原假设H₁为真时，错误地接受了H₀的概率。3.简单线性回归方程β̂=a+bX中，系数b称为______系数，它表示自变量X每变化一个单位，因变量Y的均值大约变化______个单位。4.若一组观测值的样本方差为s²=25，则其样本标准差为______。5.对于一组未分组数据，计算均值时使用“加总法”得到的均值称为______。6.在方差分析中，总离差平方和SS总可以分解为______离差平方和与______离差平方和之和。7.抽样分布是指______的概率分布。8.相关系数r的取值范围是______。9.若一个统计量的分布形式与总体分布形式无关，而仅与样本量有关，则称该统计量服从______分布。10.在指数体系中，综合指数是通过对______进行加权综合得到的。三、计算题1.某工厂生产一批零件，随机抽取50个进行检验，测得样本平均寿命为1000小时，样本标准差为120小时。假设零件寿命服从正态分布，能否在显著性水平α=0.05下认为这批零件的平均寿命大于950小时？2.某公司想比较两种广告方案的效果。随机抽取200名消费者，其中100名看到了广告A，100名看到了广告B，调查后发现有70名看到广告A的消费者购买了产品，60名看到广告B的消费者购买了产品。试用卡方检验（α=0.05）检验两种广告方案的购买效果是否存在显著差异。3.某商店记录了最近10周某种商品的周销售量（Y）和广告投入费用（X）如下（单位：件、千元）：(1,2),(2,3),(1,1.5),(3,4),(2.5,3),(2,2),(4,5),(3,4),(5,6),(4,5)。试建立销售量对广告投入费用的简单线性回归方程，并解释回归系数的含义。四、简答题1.解释第一类错误和第二类错误的含义，并说明它们之间存在怎样的关系？2.在进行相关性分析时，为什么说相关系数r的数值越大，并不能完全说明两个变量间线性关系就越强？五、综合应用题某房地产公司想了解房屋价格（Y，单位：万元）与其面积（X₁，单位：平方米）和房龄（X₂，单位：年）之间的关系，随机抽取了15套房屋的数据。通过回归分析得到如下回归方程（部分结果）：回归方程：Ŷ=80+0.5X₁-0.2X₂系数检验的p值（针对X₁为0.03，针对X₂为0.15）模型整体检验的F统计量对应的p值（0.05）R²=0.75请根据以上信息回答：(1)该回归方程的系数β₁和β₂分别表示什么含义？在α=0.05的显著性水平下，它们是否显著？(2)该模型的拟合优度如何？(3)假设某套房屋面积为120平方米，房龄为10年，请预测其大致价格范围（要求给出预测值及相应的置信区间，假设置信水平为95%，相关临界值t₀.025(13)≈2.160）。(4)简述在解释回归结果时，需要注意哪些潜在问题？试卷答案一、选择题1.D2.C3.C4.C5.A6.C7.C8.C9.B10.B二、填空题1.n-12.β₂(或βtypeIIerror)3.回归，b4.55.简单（或算术平均）均值6.组间，组内7.样本统计量8.[-1,1]9.t10.各个因素（或各个指标）三、计算题1.解：提出假设H₀:μ≤950,H₁:μ>950。计算检验统计量t=(1000-950)/(120/sqrt(50))=2.65。查t分布表，df=49，α=0.05，单尾临界值约为1.676。因为2.65>1.676，所以拒绝H₀。结论：在α=0.05水平下，认为平均寿命大于950小时。2.解：提出假设H₀:两种广告购买效果无差异（即比例相同），H₁:两种广告购买效果有差异。计算卡方统计量χ²=Σ(观测频数-期望频数)²/期望频数。构造2x2列联表：||购买|未购买|合计||---------|------|--------|------||广告A|70|30|100||广告B|60|40|100||合计|130|70|200|计算期望频数：E₁,₁=(100*130)/200=65,E₁,₂=35,E₂,₁=65,E₂,₂=35。χ²=[(70-65)²/65+(30-35)²/35+(60-65)²/65+(40-35)²/35]≈1.54+3.00+1.54+1.43=7.51。查χ²分布表，df=(2-1)(2-1)=1，α=0.05，临界值约为3.841。因为7.51>3.841，所以拒绝H₀。结论：在α=0.05水平下，认为两种广告方案的购买效果存在显著差异。3.解：计算所需数据：ΣX=28,ΣY=31,ΣX²=81,ΣY²=103.5,ΣXY=53.5,n=10。计算回归系数：b=nΣXY-ΣXΣY/nΣX²-(ΣX)²=(10*53.5-28*31)/(10*81-28²)=21/58≈0.362a=bar(Y)-b*bar(X)=31/10-(21/58)*(28/10)≈3.1-1.014≈2.086回归方程为：Ŷ=2.086+0.362X解析思路：根据最小二乘法原理计算回归系数b和截距项a，建立回归方程。b表示X每增加一个单位，Y的均值变化的估计值。四、简答题1.解：第一类错误（α）是指原假设H₀为真时，却错误地拒绝了H₀，即“以真为假”。第二类错误（β）是指原假设H₀为假时（即H₁为真），却错误地接受了H₀，即“以假为真”。α和β是相互关联的，通常情况下，减小α会导致β增大，反之亦然。它们之间没有简单的反比关系，可以通过增加样本量来同时减小α和β。2.解：相关系数r仅表示两个变量之间线性关系的强度和方向，其数值的大小受变量量纲和极端值的影响。当变量量纲不同或存在异常值时，r的数值可能无法真实反映变量间关系的密切程度。因此，在判断线性关系强弱时，不仅要看r的绝对值，还需要结合散点图进行直观分析，并考虑变量间的实际意义。五、综合应用题(1)解：β₁表示房屋面积每增加1平方米，在其他条件不变的情况下，房屋平均价格增加0.5万元。β₂表示房屋房龄每增加1年，在其他条件不变的情况下，房屋平均价格减少0.2万元。对β₁进行检验：p值=0.03<0.05，拒绝原假设，认为面积对价格有显著正向影响。对β₂进行检验：p值=0.15>0.05，不能拒绝原假设，认为房龄对价格的影响在统计上不显著。解析思路：根据回归系数的经济含义解释其意义，并根据p值与α的比较结果判断其显著性。(2)解：R²=0.75，表示模型中自变量（面积和房龄）能够解释因变量（房屋价格）变异性的75%。该模型的拟合优度较好。解析思路：根据R²的取值直接评价模型的拟合程度。(3)解：当X₁=120,X₂=10时，预测值Ŷ=80+0.5*120-0.2*10=80+60-2=138万元。计算置信区间：E(Ŷ)=Ŷ±t₀.025(s_e*sqrt(1/n+(X₁-bar(X₁))²/Σ(X_i-bar(X₁))²+(X₂-bar(X₂))²/Σ(X_i'-bar(X₂))²)))需要计算：bar(X₁)=28/10=2.8,bar(X₂)=10/15=2/3,Σ(X₁-X₁)²=81-28²/10=58,Σ(X₂-X₂)²=10²/15-2²/9=22/9。E(Ŷ)=138±2.160*sqrt(25*(1/10+(120-2.8)²/58+(10-2/3)²/(22/9)))≈138±2.160*sqrt(25*(0.1+1.436+0.595))≈138±2.160*sqrt(25*2.031)≈138±2.160*sqrt(50.775)≈138±2.160*7.125≈138±15.4置信区间约为[122.6,153.4]万元。解析