2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在环境科学研究中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在环境科学研究中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题4分，共20分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.某城市空气质量指数（AQI）y关于工业排放量x的回归模型为y=50+2x+ε，其中ε服从正态分布。当工业排放量x增加1个单位时，AQI的期望值（）。(A)增加1(B)减少1(C)增加2(D)不变2.在建立描述某物种数量变化的Logistic增长模型dP/dt=rP(1-P/K)时，参数K代表（）。(A)种群的最大增长率(B)种群数量的饱和值(C)种群的内禀增长率(D)种群数量的初始值3.若一个二维向量场F(x,y)=(-y,x)表示某流体在点(x,y)处的速度，则该向量场表示的流体运动可能是（）。(A)沿x轴正向的均匀流(B)沿y轴正向的均匀流(C)顺时针旋转的涡流(D)逆时针旋转的涡流4.在使用最小二乘法拟合环境监测数据时，目标函数（误差平方和）的最小值（）。(A)总是大于零(B)总是等于零(C)可能为零(D)总是小于零5.对于描述污染物在河流中弥散和吸附过程的对流-弥散-吸附方程，其数学形式通常包含（）。(A)线性项和非线性项(B)常数项和变量项(C)一阶和二阶偏微分项(D)代数项和积分项二、计算题（每题10分，共40分。请写出详细的计算步骤。）6.已知森林中某种树种的年增长量G（单位：株/年）与当前树龄t（单位：年）满足关系G(t)=10t-0.2t^2。求该树种在10年内的总增长量。7.考虑一个简单的生态系统，包含生产者（P）、消费者（C）和分解者（D）三个种群，其数量变化分别由下列微分方程描述：dP/dt=aP-bPC,dC/dt=bPC-cC,dD/dt=cC-dD。其中a,b,c,d为正常数。求消费者数量C(t)随时间t变化的表达式（假设初始条件为P(0)=P0,C(0)=C0,D(0)=D0）。8.某地区为了监测土壤中重金属污染，采集了5个样本的检测结果（单位：mg/kg）：15,18,17,16,19。计算样本均值、样本方差和样本标准差。9.某河流某断面监测到一年内每月的平均溶解氧浓度（mg/L）数据如下：8.5,7.8,7.2,6.5,6.0,6.8,7.5,8.0,8.3,8.6,8.8,8.5。试用算术平均法估计该断面年平均溶解氧浓度。若要预测下一月该断面的溶解氧浓度，请建立简单的线性回归模型，并给出预测值。三、数学建模题（共40分。请按题目要求完成建模、求解与分析。）10.某城市河流沿岸有排污口，导致下游水质受影响。假设排污口位于河流起点（x=0），河流流速恒为v。污染物在河流中扩散和稀释，其浓度c(x,t)满足如下的初值问题：∂c/∂t=D∂^2c/∂x^2-v∂c/∂xc(x,0)=C0(x>=0)，其中D为扩散系数，C0为排污口处初始浓度，v为河流流速。假设边界条件为c(∞,t)=0。(1)建立污染物浓度沿河流距离x随时间t变化的模型。(2)假设D=0.1m^2/s,v=0.5m/s,C0=10mg/L。求解该模型，并分析污染物浓度随时间在下游的扩散过程。(3)解释该模型在实际环境监测中的应用价值与局限性。试卷答案一、选择题1.(C)2.(B)3.(D)4.(A)5.(C)二、计算题6.解：总增长量G_total=∫[0,10]G(t)dt=∫[0,10](10t-0.2t^2)dt=[5t^2-(1/6)t^3]|_[0,10]=(5*10^2-1/6*10^3)-(5*0^2-1/6*0^3)=500-166.67=333.33(株)答：该树种在10年内的总增长量为333.33株。7.解：由dC/dt=bPC-cC=C(bP-c)分离变量并积分：∫(1/C)dC=∫(bP-c)dtln|C|=∫(bP-c)dt+ln|C0|C=C0*exp[∫(bP-c)dt]对dP/dt=aP-bPC，两边同除以P得：(1/P)dP=(a/b-C)dt∫(1/P)dP=∫(a/b-C)dtln|P|=(a/b)t-∫Cdt+ln|P0|P=P0*exp[(a/b)t-∫Cdt]由题意，无法直接从这两个方程中消去P或C得到C(t)的显式表达式，通常需要知道P(t)或两者之间的更具体关系。此题模型结构暗示了相互依赖，但标准解析解求解困难或需要特定假设。若题目意图是考察基本理解，则应认识到这种耦合性。8.解：样本均值：x̄=(15+18+17+16+19)/5=85/5=17样本方差：s^2=[(15-17)^2+(18-17)^2+(17-17)^2+(16-17)^2+(19-17)^2]/(5-1)=[4+1+0+1+4]/4=10/4=2.5样本标准差：s=sqrt(2.5)≈1.58答：样本均值为17，样本方差为2.5，样本标准差约为1.58。9.解：年平均溶解氧浓度：年均值=(8.5+7.8+7.2+6.5+6.0+6.8+7.5+8.0+8.3+8.6+8.8+8.5)/12=98.1/12≈8.175(mg/L)简单线性回归模型y=a+bx，其中y为溶解氧浓度，x为月份数（1-12）。计算斜率b：b=[nΣ(xy)-ΣxΣy]/[nΣ(x^2)-(Σx)^2]Σx=1+2+...+12=78,Σy=98.1,n=12Σ(xy)=1*8.5+2*7.8+...+12*8.5=738.7Σ(x^2)=1^2+2^2+...+12^2=650b=[12*738.7-78*98.1]/[12*650-78^2]=[8844.4-7645.8]/[7800-6084]=1198.6/1716≈0.699计算截距a：a=(Σy-bΣx)/na=(98.1-0.699*78)/12a=(98.1-54.722)/12a=43.378/12≈3.615回归模型为：y≈3.615+0.699x预测下一月（x=13）的溶解氧浓度：y_pred=3.615+0.699*13y_pred≈3.615+9.087y_pred≈12.702(mg/L)答：年平均溶解氧浓度约为8.175mg/L。简单线性回归模型为y≈3.615+0.699x。预测下一月溶解氧浓度约为12.702mg/L。*(注：实际环境数据通常更复杂，线性模型可能不适用，此处为简化处理)*三、数学建模题10.解：(1)该初值问题是一个非齐次一维对流-弥散方程，是描述污染物在河流中纵向迁移和扩散的标准模型。其中第一项D∂^2c/∂x^2表示污染物在x方向的弥散效应，第二项-v∂c/∂x表示污染物随河流流动的对流效应，C0为源强。该模型描述了污染物浓度c如何随时间t在距离x方向上传播、扩散和衰减。(2)给定D=0.1,v=0.5,C0=10。方程变为：∂c/∂t=0.1∂^2c/∂x^2-0.5∂c/∂xc(x,0)=10(x>=0),c(∞,t)=0该方程的解通常用特征线法和/或Green函数法求解。其解的形式一般表示为：c(x,t)=(C0/sqrt(4πDt))*exp(-(x-vt)^2/(4Dt))这表示污染物浓度呈现高斯分布，随着时间的推移，高斯峰随河流流动（位置x=vt），同时峰形展宽（标准差sqrt(2Dt)），峰值下降。随着时间t增加，污染物主体向下游移动，同时扩散范围增大，浓度降低。在x