广东省八校联盟2025-2026学年高二上学期教学质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省八校联盟2025-2026学年高二上学期教学质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（）A.0.5，0.5 B.0.51，0.51 C.0.49，0.49 D.0.5，0.49【答案】D【解析】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，故“正面朝上”的频率为，每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5.故选：D.2.如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】故选：A.3.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（

）A.A与B是对立事件 B.B与C是对立事件C.A与C是互斥事件 D.A与B是互斥事件【答案】B【解析】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误；对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确；对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误；对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误.故选：B．4.在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若点与点关于平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等．又，则，又，所以，.故选：A.5.已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（）A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9【答案】B【解析】由于与对立，，则，又与互斥，，则.故选：B6.在三棱锥中，若，，，则（）A. B.1 C. D.0【答案】B.〖祥解〗结合已知条件根据数量积的运算律求解即可.【解析】因为，，，所以故选：B.7.已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为是空间的一个单位正交基底，所以，，则，，所以空间向量在方向上的投影向量为，故选：D.8.如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件E，则，，而，因此，即该电子元件能正常工作的概率是.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（）A.身高在A层次中的女生人数比男生多B.身高在B层次中的人数最多C.身高在D层次女生，占女生人数的比例超过15%D.身高在E层次中的男生有3人【答案】BCD【解析】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人，样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人，所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误；对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多，所以样本中B层次身高人数最多，B正确；对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确；对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确.故选：BCD10.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（）A. B.C.侧棱与底面所成角的余弦值为 D.直线AM与CN所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】由正四面体ABCD，可得，对于A，，则，所以，故A正确；对于B，，则，故B错误；对于D，，则，，设直线所成角为，则，所以直线所成角的余弦值为，正弦值为,故D正确；对于C，连接，在上取点，使得，连接，则平面，则即为直线与平面所成角的平面角，在中，，则，由正四面体的结构特征可得，直线与平面所成角的相等，所以侧棱与底面所成角的余弦值为，故C正确.故选：ACD.11.下列说法正确的是（）A.已知事件，若，，且，则B.已知事件，若，且与相互独立，则C.已知事件，若，，且，则与相互独立D.某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和方差分别为45，20，则总体样本的方差为【答案】ACD【解析】对选项A，因为，所以，则，所以选项A正确；对于选项B，因为与相互独立，，则，又，所以选项B错误；对于选项C，因为，又，则，所以与相互独立，故选项C正确，对于选项D，样本总体平均数，总体样本的方差为，所以选项D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【答案】704【解析】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157，245，506，704，所以得到的第4个样本个体的编号是704.故答案为：704.13.从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______．【答案】或【解析】设3个红球分别为，2个黑球分别为，则试验的样本空间为，共10个样本点，选出的2个球中至少有1个黑球包含的样本点为，共7个，则所求概率为．故答案为：.14.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______．【答案】【解析】因为向量以为基底时的坐标为，所以．设向量在新基底下的坐标为，则，即则，解得，所以以为基底时的坐标为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，其中第15题和第19题为选做题，从选做1和选做2中任选一题作答.两题都答题者以选做1为准.15.已知，，，，，求：（1）的值；（2）与夹角的余弦值.解：（1）因为，所以，解得，，所以，又，则，即，得，于是，则.（2）由（1）得，设与的夹角为，所以，所以与夹角的余弦值为.16.在平面直角坐标系中，已知三点.（1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程；（2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.解：（1）由，得直线的斜率为，由，得直线的斜率为，所以直线的方程为，即（2）设直线在上的截距为，当时，直线过原点及点，方程为，即；当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为，所以直线的方程为或.17.为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率．解：（1）由已知可得，解得，所抽取的名学生成绩的平均数为（分），由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以，中位数，由题意可得，解得（分）.（2）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为，记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为，则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种.其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种.故所求概率为.18.在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求：（1）的长；（2）直线和所成角的余弦值.解：（1）如图，连接，设，，，依题意，而，，所以.（2）连接，，所以，又，，所以，故直线和所成角的余弦值为.19.甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（1）若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球概率；（2）为使乙获胜的概率更大，应该由谁首次投篮？解：（1）根据题意，设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，则，，记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C，则．（2）若由甲首次投篮，设“乙获胜”为事件，则；若由乙首次投篮，记“乙获胜”为事件E，则.因为，所以为使乙获胜的概率更大，应该由乙首次投篮.20.如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.（1）求证：；（2）为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值.（1）证明：以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，，，，则、、、、，是的中点，则，，，，，即.（2）解：假设存在使得平面，由（1）得，，设，其中，则，，因为平面，平面，故，平面，若平面，则只需，解得，，故存在点，使得平面，此时.（3）证明：因为为的重心，则，即，可得，因为为上一点，且，则，因为、、、四点共面，则存在，使得，即，所以，又因为，且、、不共面，由空间向量基本定理可得，因此为定值.21.如图，在四棱锥中，底面是菱形，．平面平面分别是棱的中点,分别在线段，上，且．（1）证明：四点共面；（2）证明：平面；（3）设直线与直线交于点，当直线与平面所成角的（1）证明：，分别是棱，的中点，，，,，,,,四点共面．（2）证明：底面ABCD是菱形，，，是等边三角形，取AB中点为