安徽省A10联盟2025-2026学年高二上学期10月学情诊断数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省A10联盟2025-2026学年高二上学期10月学情诊断数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线倾斜角为，，，则，故.故选：D.2.已知平面的一个法向量为，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为已知平面的一个法向量为，且直线平面，则满足，对于A，若，则，所以A不符合题意；对于B，若，则，所以B不符合题意；对于C，若，则，所以C符合题意；对于D，若，则，所以D不符合题意.故选：C.3.“直线与直线相互垂直”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由直线与直线相互垂直，可得，解得或，所以“直线与直线相互垂直”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.已知三棱锥中，点平面，若，则（）A.3 B.-3 C.2 D.-2【答案】A【解析】由题意得，，则，因为四点共面，所以，解得.故选：A.5.已知空间三点，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】由题意得，，则，则，则以为邻边的平行四边形的面积为.故选：B.6.已知正三棱柱的棱长均为6，点是的重心，点是线段的中点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，以线段的中点为原点，取的中点为，则由正三棱柱的结构性质可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则.设为平面的一个法向量，则，令，则是平面的一个法向量，则点到平面的距离.故选:A.7.已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（）A.4 B.7 C.8 D.14【答案】D【解析】设直线，其中，而，解得，当且仅当，即时等号成立，故，此时直线的纵截距为14.故选：D8.已知在正方体中，点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，可设，则，设平面的法向量为，则，令，可得，所以设直线与平面所成的角为，则，当时，；当时，，设，可得，所以，所以，因为，所以，则所以直线与平面所成角的正切值的最大值为.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间向量，其中，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由得，故A正确；因为，，所以，解得，所以，故B正确；因为且，所以，解得，故C错误；由B可知，，又，故，故D错误.故选：AB.10.如图，圆锥的体积为，母线与底面所成角为为底面的一条直径，点是线段上靠近的三等分点，点为的中点，则（）A.圆锥的侧面积为B.平面C.直线所成角的余弦值为D.点到平面的距离为【答案】AC【解析】A：设圆锥的高为，底面圆半径为，由题意得，，则，故圆锥的侧面积，故A正确；B：以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，则，，设为平面的一个法向量，则，令，可得，则，故B错误；C：因，故直线所成角的余弦值为，故C正确；D：记点到平面的距离为，则，故，故D错误.故选：AC.11.已知关于的二元一次方程表示一条直线，关于的二元一次不等式或，则表示一个平面区域，如表示直线上的点以及直线右上方的点构成的平面区域.基于上述事实，记不等式组所表示的平面区域为，面积为，则（）A若，则B.满足的的值有两个C.“”是“为三角形”的充分不必要条件D.若为五边形，则【答案】ACD【解析】由题知，表示的平面区域是以为顶点的正方形的边界及其内部，该正方形的面积为，由直线恒过，且该直线的斜率存在，当直线过时，，此时直线为，当直线过时，，此时直线为，当直线过时，，此时直线为，如下图轴，其中，若，则直线与正方形的一个交点在之间运动，此时表示的区域为直线左上方且在正方形内的区域，若，则直线与正方形的一个交点在之间运动，此时表示的区域为直线右上方且在正方形内的区域，若，则，由过正方形的中心，其面积，故A正确；由分正方形为两部分，其中左边三角形面积为，右边五边形面积为，所以直线与正方形的一个交点在（不含）之间时，一个交点在（不含）上运动时，综上，满足的值仅有1个（有一种情形的值不存在），故B错误；若为三角形，由上分析及图知或，故C正确；若为五边形，由上分析及图知，故D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则在上的投影向量为__________.【答案】【解析】由题意，所以在上的投影向量为.故答案为：.13.已知中，，线段的中点分别在轴上，则边上的中线所在的直线的方程为__________.（结果用一般式表示）【答案】【解析】设，则，得，而线段的中点坐标为，故边上的中线的斜率，所以中线所在的直线的方程为，即.故答案为：.14.已知四面体中，，若该四面体的体积为48，则直线的夹角为__________.【答案】或【解析】由题意得，，以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，又，设，则，解得，此时，因此，，则或，则或，所以直线的夹角为或.故答案为：或.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知点.（1）过点且与直线相互平行的直线的方程；（2）求过点且横截距、纵截距相等的直线的方程.解：（1）设直线，将点代入得，，解得，故直线的方程为.（2）若直线过原点，则设；将点代入得，，故直线；若直线不过原点，则设；将点代入得，，故直线；综上所述，直线的方程为或.16.如图，在三棱柱中，点为线段的中点，点是线段上靠近的四等分点.（1）若，求的值；（2）若.（i）求的值；（ii）求的大小.解：（1）由题意，故.（2）（i）由，所以，，.（ii）因为，所以.17.如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点.（1）求与所成角的余弦值；（2）求点到直线的距离.解：（1）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，因为，则，记直线所成角为，故；（2）因为，则，故，则点到直线的距离18.已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之和为.（1）求的值；（2）点在直线上运动.（i）若，求的取值范围；（ii）点，求当取得最小值时直线的方程.解：（1）直线的斜率，倾斜角为，直线的斜率，倾斜角为，由于，则，解得.（2）（i）由（1）可知，直线，表示点与点连线的斜率，作出图形如图所示，记，其中，观察可知，，所以的取值范围为.（ii）作点关于直线的对称点，则，解得，故，此时，，故直线的方程为，即.19.如图，三棱柱的所有棱长都相等，分别是线段的中点，平面.（1）证明：平面平面；（2）探究：在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：因为为等边三角形，为中点，所以，因为平面平面，所以，因为平面，所以平面.因平面，所以.因为四边形为菱形，所以，因为分别为中点，所以，所以.因为平面，所以平面，因为平面，故平面平面.（2）解：由（1）