高三开学数学考试卷子及答案

高三开学数学考试卷子及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，则\(A\capB\)等于（）A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,2\}\)D.\(\{1,2,3\}\)2.函数\(y=\log_2(x-1)\)的定义域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((0,1)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m\)的值为（）A.\(-4\)B.\(4\)C.\(1\)D.\(-1\)4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，其前\(n\)项和\(S_n=100\)，则\(n\)等于（）A.9B.10C.11D.126.双曲线\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的渐近线方程为（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)D.\(y=\pm\frac{5}{3}x\)7.已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(1)=f(2)=f(3)=0\)，则\(f(0)+f(4)\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(4\)8.若函数\(y=f(x)\)的图象与函数\(y=\log_2x\)的图象关于直线\(y=x\)对称，则\(f(x)\)等于（）A.\(2^x\)B.\(\log_{\frac{1}{2}}x\)C.\((\frac{1}{2})^x\)D.\(x^2\)9.已知\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geq2\\x-y\leq2\\y\leq2\end{cases}\)，则\(z=3x-y\)的最大值为（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)10.已知球\(O\)的半径为\(R\)，一正方体的顶点都在球面上，则该正方体的棱长为（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}R\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{3}R\)C.\(\sqrt{2}R\)D.\(\sqrt{3}R\)答案：1.C2.A3.A4.B5.B6.B7.A8.A9.C10.B二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在\((0,+\infty)\)上单调递增的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为实数，则下列结论正确的是（）A.若\(a\gtb\)，则\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(a-c\gtb-d\)C.若\(a\gtb\gt0\)，则\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)D.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(ac\gtbd\)3.关于函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，下列说法正确的是（）A.最小正周期为\(\pi\)B.图象关于点\((\frac{\pi}{3},0)\)对称C.图象关于直线\(x=\frac{\pi}{12}\)对称D.在\([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上单调递增4.一个正方体的表面展开图的五个正方形如图所示，第六个正方形在编号1，2，3，4的某一位置，则第六个正方形的位置是（）A.1B.2C.3D.45.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，则（）A.\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)B.\(|PF_1|^2+|PF_2|^2=4c^2\)C.\(S_{\triangleF_1PF_2}=b^2\)D.离心率\(e\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1)\)6.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，则（）A.\(f(0)=0\)B.当\(x\lt0\)时，\(f(x)=-x^2-2x\)C.\(f(x)\)的单调递增区间是\((-1,1)\)D.\(f(x)\)的值域是\(R\)7.已知直线\(l\)：\(y=kx+b\)与圆\(C\)：\(x^2+y^2=r^2\)（\(r\gt0\)）有公共点，则（）A.\(|b|\leqr\sqrt{1+k^2}\)B.若直线\(l\)与圆\(C\)相切，则\(r^2(1+k^2)=b^2\)C.若直线\(l\)过圆心，则\(b=0\)D.直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长为\(2\sqrt{r^2-\frac{b^2}{1+k^2}}\)8.下列命题中正确的是（）A.若\(\alpha\)，\(\beta\)是第一象限角，且\(\alpha\gt\beta\)，则\(\sin\alpha\gt\sin\beta\)B.函数\(y=\sinx\)，\(x\in[-\pi,\pi]\)的图象关于直线\(x=0\)对称C.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象可由\(y=\sin2x\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位得到D.函数\(y=\cosx\)，\(x\inR\)的图象与函数\(y=\sin(x+\frac{\pi}{2})\)，\(x\inR\)的图象相同9.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，则（）A.\(a_n=2^n-1\)B.\(a_n\)是等比数列C.\(S_n=2^{n+1}-n-2\)D.\(S_n\)是数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和10.已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+1\)，则（）A.函数\(f(x)\)有两个极值点B.\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上单调递增C.\(f(x)\)在\((3,+\infty)\)上单调递减D.\(f(x)\)的极大值为\(\frac{8}{3}\)答案：1.ABC2.C3.ACD4.AD5.ABCD6.ABD7.ABCD8.BCD9.ACD10.ABD三、判断题（每题2分，共20分）1.若\(a\gtb\)，则\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)。（）2.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）3.向量\(\vec{a}=(1,2)\)与向量\(\vec{b}=(-2,-4)\)平行。（）4.直线\(x=1\)与函数\(y=x^2\)的图象有两个交点。（）5.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，则\(b^2=ac\)。（）6.椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦点在\(x\)轴上。（）7.函数\(y=2^x\)是偶函数。（）8.若直线\(l_1\)：\(y=k_1x+b_1\)与直线\(l_2\)：\(y=k_2x+b_2\)垂直，则\(k_1k_2=-1\)。（）9.已知\(a\)，\(b\)为实数，若\(a+b\geq2\)，则\(a\)，\(b\)中至少有一个不小于1。（）10.对于函数\(y=f(x)\)，若\(f(x_1)=f(x_2)\)，则\(x_1=x_2\)。（）答案：1.×2.√3.√4.×5.√6.×7.×8.√9.√10.×四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(y=\log_3(x^2-2x-3)\)的定义域。答案：要使函数有意义，则\(x^2-2x-3\gt0\)，即\((x-3)(x+1)\gt0\)，解得\(x\lt-1\)或\(x\gt3\)，所以定义域为\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_n\)的通项公式。答案：设等差数列公差为\(d\)，则\(a_7-a_3=4d=13-5=8\)，得\(d=2\)。又\(a_3=a_1+2d=5\)，即\(a_1+4=5\)，\(a_1=1\)，所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知向量\(\vec{a}=(3,4)\)，\(\vec{b}=(-1,2)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)以及\(\vert\vec{a}-\vec{b}\vert\)。答案：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times(-1)+4\times2=5\)。\(\vec{a}-\vec{b}=(3-(-1),4-2)=(4,2)\)，则\(\vert\vec{a}-\vec{b}\vert=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。4.求曲线\(y=x^3\)在点\((1,1)\)处的切线方程。答案：对\(y=x^3\)求导得\(y^\prime=3x^2\)，当\(x=1\)时，\(y^\prime=3\)，即切线斜率\(k=3\)。由点斜式得切线方程为\(y-1=3(x-1)\)，即\(3x-y-2=0\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(y=\sinx\)与\(y=\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的单调性差异与联系。答案：在\([0,2\pi]\)上，\(y=\sinx\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)递增，\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)递减，\([\frac{3\pi}{2},2\pi]\)递增；\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)递减，\([\pi,2\pi]\)递增。联系是\(\sinx=\cos(x-\frac{\pi}{2})\)，二者图象可通过平移相互得到。2.已知直线与圆的位置关系有相交、相切、相离，讨论如何根据直线方程和圆的方程判断它们的位置关系。答案：可通过圆心到直线的距离\(d\)与圆半径\(r\)比较判断。设圆方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，直线\(Ax+By+C=0\)，\(d=\frac{\vertAa+Bb+C\vert