专题11锐角三角函数（高效培优讲义）数学浙教版九年级下册

专题1.1锐角三角函数教学目标1.借助相似直角三角形的性质，探索并理解锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）的定义，能准确表述直角三角形中边角的比值关系；2.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能直接进行特殊角的三角函数计算；3.能在给定直角三角形中，根据边长求锐角的三角函数值，或根据三角函数值判断边的关系教学重难点1.重点（1）锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）的概念建立；（2）30°、45°、60°角的三角函数值及应用。2.难点（1）理解“三角函数是锐角与比值的对应关系”，突破“边的比值与角的大小无关”的抽象认知；（2）特殊角三角函数值的推导过程（如利用等腰直角三角形、含30°的直角三角形性质）及记忆规律；（3）避免求三角函数值时“对边、邻边”的对应关系混淆。知识点01锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．注意：（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．（2）sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．（4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0【即学即练】1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列式子中正确的是（

A．sinA=BCAB B．tanA=BCAB【答案】A【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB∴sinA=tanA=cosB=tanB=故选A．【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．2．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（

）A．ab B．ba C．bc【答案】A【分析】根据正切的定义解答即可．【详解】解：tanA=BCAC故答案为A．【点睛】本题主要考查了正切的定义，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA．知识点02特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°注意：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．【即学即练】1．下列三角函数中，值为12的是（

A．cos30° B．tan30° C．sin45°【答案】D【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值直接判断．【详解】解：cos30°=32，tan30°故选：D．2．计算：（1）tan45°=（2）sin60°=【答案】13【分析】本题考查了特殊三角函数的值，解题关键是熟记特殊三角函数的值．利用特殊三角函数的值求解．【详解】（1）解：tan45°=1故答案为：1；（2）sin60°=故答案为：32知识点03锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．注意：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【即学即练】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AC的长为（

A．2sinα B．2cosα C．【答案】D【分析】本题考查解直角三角形，根据已知条件，利用正切定义求解即可．【详解】解：如图，∵tanA=BCAC，∠A=α∴AC=BC故选：D．题型01锐角三角函数的概念【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为斜边AC的高，DA．sinA=ADABC．tanA=ABBC【答案】D【分析】根据三角函数的定义计算判断即可．【详解】解：A、由sinA=B、由cosA=C、由tanA=D、由tanA=故选D．【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键．【变式1】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是（

）A．sinA=bc B．tanB=ba【答案】B【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握sinα=α的对边斜边，【详解】解：A.sinA=B.tanB=C.tanA=D.cosB=故选：B．【变式2】如图，△ABC中，∠C=90°，则∠A的正弦值可以表示为（

）A．ACAB B．ACBC C．BCAB【答案】C【分析】本题考查了正弦函数，熟练掌握“在直角三角形中，锐角θ的正弦值sinθ【详解】解：由图可知直角ΔABC的斜边是AB，∠A的对边是BC根据正弦函数的定义可知：sinA=故选：C．【变式3】如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠B=50°,BC=70cm，则点C到AB的距离为（

A．70cos50° B．70sin50° C．【答案】B【分析】本题主要考查了三角函数的应用、点到直线的距离等知识点，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．如图：过点C作CD⊥AB于点D，由三角函数定义可得CD=BC×sin【详解】解：如图：过点C作CD⊥AB于点D

在Rt△BCD中，sin∴CD=BC×sin∴点C到AB的距离为CD=BC×sin故选：B．题型02求角的函数值【典例2】在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,AC=5，则sinB的值为（A．513 B．1213 C．512【答案】A【分析】本题考查求一个角的正弦值，根据正弦的定义，进行求解即可．【详解】解：∵∠C=90°,AB=13,AC=5，∴sinB=故选A．【变式1】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，那么下列等式正确的是（

A．sinA=35 B．cosA=34 【答案】A【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先求解AB=A【详解】解：如图所示：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=AsinA=cosA=tanA=tanB=故选：A．【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=4【答案】2【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：如图，∵∠C=90°，∴sinA=故答案为：23题型03已知函数值求边长【典例3】如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（

）米．A．200cos20° B．200sin20° C．【答案】D【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可．【详解】解：∵sin∠C=∴AB=AC·sin故选：D．【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，sinB=23，则A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】本题考查了已知正弦值求边长，解题关键是掌握正弦的定义式．根据正弦的定义式可知sinB=ACAB，再根据AB=6，sin【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°∴sinB=∵AB=6，sinB=∴23=AC故选：C．【变式2】如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，cosA=35，AC=4，那么A．3 B．5 C．203 D．【答案】C【分析】本题考查三角函数值求线段长，涉及三角函数定义等知识，根据题意，由三角函数定义得到cosA=【详解】解：在Rt△ABC中，已知∠C=90°，cosA=35，AC=4，则故选：C．【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=8,tanA=43A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查正切函数，根据tanA=【详解】解：∵∠C=90°,BC=8,tan∴tanA=∴AC=6，故选：B．题型04特殊角三角函数值【典例4】计算cos60°的值为（

A．−12 B．12 C．−【答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：cos60°=故选：B．【变式1】sin30°=（

A．12 B．1 C．2 【答案】A【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：sin30°=故选：A．【变式2】cos45°的值等于（

A．12 B．22 C．3【答案】B【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值即可得出结果．【详解】解：cos45°=故选：B．【变式3】2tanA．12 B．32 C．23【答案】D【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值．根据特殊角锐角函数值解答即可．【详解】解：2tan故选：D题型05同角三角函数的关系【典例5】在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23，则【答案】5【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．BC=2k，AB=3k，再利用勾股定理求出AC=5【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∴BC设BC=2k，AB=3k，由勾股定理得：AC=A∴cos故答案为：53【变式1】已知0°<α<90°，如果cosα=3【答案】7【分析】本题主要考查了三角函数的关系，掌握sin2利用sin2【详解】解：∵cosα=34∴342+故答案为：74【变式2】已知sinα=33，α是锐角，则【答案】2【分析】根据sin2α+cos2α=1求得cos【详解】解：∵sinα=3∴cos∴tan故答案为：22【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握正弦函数、余弦函数、正切函数之间的关系．【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=45，则【答案】3【分析】设AC=4a,AB=5a，根据勾股定理求出BC的长，再根据sinA=【详解】解：如图所示，cosA=设AC=4a,AB=5a，

则BC=AsinA=故答案为：35【点睛】此题考查了同角的三角函数，勾股定理，关键是熟练运用数形结合的数学方法．题型06特殊角三角函数值的混合运算【典例6】计算(1)2(2)1【答案】(1)1(2)3【分析】本题考查实数的运算以及特殊三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题关键．（1）利用特殊角的三角函数值计算可得到结果；（2）利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的运算法则即可计算得到结果．【详解】（1）解：2=2×=1+=1．（2）解：1=2−1+4×1−2=2−1+4−2=3．【变式1】计算：−12【答案】1【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，以及实数的运算．直接利用乘方以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：−1=1+=1+1−1=1．【变式2】计算下列各式：(1)3cos(2)tan45°−2【答案】(1)1(2)2【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，二次根式的乘法，熟记特殊角的三角函数值与掌握二次根式法则是解题的关键．（1）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可；（2）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式===1（2）解：原式=1−2=1−2×=2【变式3】计算：−【答案】0【分析】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的函数值、零指数幂及负整数指数幂的意义、绝对值的意义等知识点是解决本题的关键．先算乘方，再化简绝对值、代入特殊角的函数值算乘法，最后加减．【详解】解：−===0．题型07三角函数的综合【典例7】阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．求证：asin证明：过点C作CD⊥AB于点D．∵sinA=CD∴CD=bsinA，∴bsinA=asin根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．求证：bsin(2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=160米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin(3)你能直接写出图2中△ABC的面积吗？（用a，b，c及角的锐角三角比表示）【答案】(1)见解析(2)这片区域的面积约为72003(3)见详解【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．（1）过点A作AE⊥BC于点E，利用三角函数表示AE后，即可建立关联并求解；（2）先根据题干结论求出BC≈180，根据三角形内角和定理求出∠C=60°，过点A作AF⊥BC于点F，解直角三角形即可．（3）根据题干和（1）中AE=csin【详解】（1）证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E．∵sinB=∴AE=csin∴csin∴b（2）解：∵BCsin∴BC∴BC≈180米，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，如图，过点A作AF⊥BC于点F，∵sinC=∴AF=ACsin∴S答：这片区域的面积约为72003（3）解：根据题干可得CD=bsinA，∴S△ABC=1根据（1）可得AE=csin∴S△ABC=1同理，S△ABC=1【变式1】如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=35【答案】BC=9，tan【分析】根据直角三角形中，AB=15，sinA=35，得出BC长，再结合勾股定理求出AC【详解】解：在RtΔABC中，∠C=90°，AB=15，∴sinA=3根据勾股定理可得AC=A∴tan【点睛】本题主要考查三角函数值求线段长及求三角函数值，掌握三角函数值的定义，利用勾股定理求线段长是解决问题的关键．【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D．（1）若AC=3,AB=5，求tan∠BCD（2）若BD=1,AD=3，求tan∠BCD【答案】（1）43；（2）【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义解答；（2）根据相似三角形的判定定理证明△BCD∽△CAD，根据相似三角形的性质求出CD，根据正切的定义解答．【详解】（1）∵∠ACB=90°,CD⊥AB，∵∠BCD+∠B=∠A+∠B=90°，∴∠BCD=∠A，在Rt△ABC中，BC=A∴tanA=∴tan∠BCD=（2）∵∠ACB=90°,CD⊥AB，∴∠BDC=∠CDA=90°，由（1）可知∠BCD=∠A，∴△BCD∽△CAD，∴BDCD∴CD∴CD=3∴tan∠BCD=【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式3】如图，在ΔABC中，AB=AC=13，BC=10，D是边AC上一点，且tan∠DBC=

（1）试求sinC（2）试求ΔBCD的面积.【答案】（1）sin∠C=1213；（2）ΔBCD【分析】（1）作等腰三角形底边上的高AH与BD交点为E，并根据勾股定理求出AH，即可求得sinC的值；（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，利用sin∠C=1213，【详解】（1）如图，过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E.

∵AB=AC=13，BC=10，∴BH=CH=5，在RtΔABH中，AH=A∴在RtΔEBH中，sin∠C=（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，

∵sin∠C=1213设DF=x，∴在RtΔDFC中，DFDC=12∴CF=C在RtΔDBF中，DFBF=3∴BF+FC=BC，即512解得x=40∴ΔBCD的面积=1【点睛】本题主要考查了解直角三角形，利用三角函数的意义，勾股定理以及三角形的面积来解决问题．一、单选题1．如图，在△ABC中，若∠C=90°，则（

A．sinA=ac B．sinA=bc【答案】A【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键．【详解】解：sinA=cos故选A．2．sin30°的值是（

A．1 B．33 C．12 【答案】C【分析】本题考查了特殊三角形的三角函数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据特殊三角形的三角函数求解．【详解】解：sin30°=故选：C．3．计算6tan45°−2cosA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．将特殊角的三角函数值代入求解即可．【详解】解：6=6×1−2×=6−1=5．故选：C．4．若∠α的余角是30°，则cosα的值是（

A．12 B．32 C．22【答案】A【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，求特殊角三角函数值，度数之和为90度的两个角互余，据此可得∠α的度数，再根据特殊角三角函数值求解即可．【详解】解：∵∠α的余角是30°，∴∠α=90°−30°=60°，∴cosα=故选：A．5．在△ABC中，A、B都是锐角，sinA=32，tanA．∠A=30° B．∠B=30°C．△ABC是等边三角形 D．△ABC是直角三角形【答案】C【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值分别求出∠A、∠B，根据等边三角形的判定定理判断即可．【详解】解：∵sinA=32∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°．∴△ABC是等边三角形．故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意．故选：C．6．tan60°+2cos30°A．3 B．3−1 C．323【答案】D【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：tan60°+2故选：D．7．如图，△AOB绕点O逆时针旋转40°后得到△DOE．若点A恰好落在边DE上，且∠BOD=105°，则cosB的值是（

A．12 B．22 C．32【答案】B【分析】本题考查旋转的性质，特殊角的三角函数值，等边对等角．根据旋转的性质可得∠AOD=∠BOE=40°，AO=DO，∠E=∠B，再由∠BOD=105°，可得∠DOE=65°，再根据AO=DO，可得∠D=70°，然后求出∠B，据此求解即可．【详解】解：根据旋转的性质得：∠AOD=∠BOE=40°，AO=DO，∠E=∠B，∵∠BOD=105°，∴∠DOE=105°−40°=65°，∵AO=DO，∴∠D=1∴∠E=180°−∠D−∠DOE=180°−70°−65°=45°，∴∠B=∠E=45°，∴cosB=故选：B．二、填空题8．计算：−5+−3+π【答案】5【分析】本题主要考查零指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先求绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值，再计算加减即可．【详解】解：原式=5+1−2×1故答案为：5．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=2，则∠A的度数为【答案】45°/45度【分析】本题主要考