专题03图形的相似（期中复习讲义）九年级数学上学期华东师大版2024

专题03图形的相似（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律成比例线段理解成比例线段的定义，熟练运用成比例线段的性质基础常考题，经常出现在选填题中平行线分线段成比例掌握平行线分线段成比例的几种基本图形并熟练的使用常考题，单独在选填题中进行考查，或者作为解答题的桥梁进行求解相似三角形的性质掌握相似三角形的性质，并能够运用在题目中高频常考题，常出现在选填题相似三角形的判定熟练掌握相似三角形的几种判定，面对不同的题型能够正确的选择相应的判定方法进行求证高频常考题，相似三角形的性质与判定作为本学期的几何知识点，是期中必考知识点中位线及其应用理解中位线的定义，熟练的应用中位线的性质进行求解常考题，中位线的性质常出现在选填题中，或者作为解题的某一个关键步骤出现位似图形理解位似图形，能够正确的找到位似中心，准确在直角坐标系中画出位似图形期中常考题，辨别位似图形，找出位似中心常出现在选填中，作位似图形常出现在解答题中知识点01成比例线段①对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如ab=cd（或a:②成比例线段的基本性质：（1）如果ab=c（2）如果ad=bc知识点02平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）模型一：如图所示三条平行线分别被m、n所截，得到AB模型二：如图所示，DE∥BC，得到ADAB=模型三：如图所示，ED∥BC，得EA知识点03相似图形及其性质①定义：两个图形如果形状相同但大小不一定相等，则称这两个图形相似。②性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等。知识点04相似三角形①对应边成比例、对应角相等的三角形，相似符号用“∽”来表示，读作“相似于”②平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。知识点05相似三角形的判定相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角相似相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角相似知识点06相似三角形的性质①相似三角形对应角相等，对应边成比例；②相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方。知识点07三角形的中位线我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。知识点08位似图形如图所示，两个图形的对应点A与A'，B与B'，C与C'......的连线都交于一点O，并且OA'OA=OB'题型一根据比例的性质判断选项是否正确【典例1】(2425九上·甘肃兰州第八中学·期中)已知mn=2A．m−nn=13 B．m【答案】B【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．【详解】解：A、∵mn∴m−即m−nnB、∵mn∴m=∴m+2n+3C、∵mn∴m2n=D、∵mn∴3m=2n故选：B．【变式1】(2425九上·黑龙江哈尔滨第十七中学·期中)用2，3，4，6四个数组成比例，正确的是（

）A．2:3=4:6 B．2:4=6:3 C．2:6=3:4 D．6:2=4:3【答案】A【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质．根据比例的基本性质，若两个比相等，则其外项积等于内项积，逐一验证各选项是否符合这一条件即可．【详解】解：选项A：2:3=4:6外项积：2×6=12内项积：3×4=12外项积等于内项积，比例成立，符合题意；选项B：2:4=6:3外项积：2×3=6内项积：4×6=24外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意；选项C：2:6=3:4外项积：2×4=8内项积：6×3=18外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意；选项D：6:2=4:3外项积：6×3=18内项积：2×4=8外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意；故选：A．【变式2】(2425九上·福建东盛教育集团·期中)已知5a=3bA．a3=5b B．b3=【答案】C【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可．【详解】解：A.由a3=5B.由b3=5C.由ba=5D.由a+ba−b故选：C．题型二利用比例的性质求代数式解｜题｜技｜巧比例的性质示例剖析（7）等比性质：【典例2】(2425九上·宁夏银川·期中)已知a2=b3【答案】2【分析】此题考查了比例的性质．设a2=b3=c4=k【详解】解：∵a2∴设a2∴a=2k，b=3∴a+2故答案为：2．【变式1】(2324九上·安徽宿州灵璧县第一初级中学·期中)已知ab=cd=e【答案】15【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件得到a=43【详解】解：∵ab∴a=又∵a+∴43∴4(b∴b+故答案为：15．【变式2】(2425九上·四川巴中南江县实验中学·期中)若xy=115，求代数式【答案】15/【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确用k表示x、y．由xy=115，设x=11【详解】解：由xy=115，设x=11∴x−2故答案为：15【变式3】(2324九上·湖南邵阳·期中)已知a2=b5，那么代数式【答案】−【分析】本题考查了代数式求值，比例的性质，设a2=b【详解】解：设a2∴a=2∴a+故答案为：−7题型三判断是否为成比例线段解｜题｜技｜巧四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【典例3】(2425九上·四川眉山青神县·期中)下列各组线段中，能成比例的是（

）A．1cm,2cm,C．0.1cm,0.2cm,【答案】D【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，若四条线段满足最小与最大的乘积等于中间两数的乘积，则它们成比例，据此对各选项逐一验证即可．【详解】解：A、1×4≠2×3，不能成比例，不符合题意；B、1×4≠2×1.5，不能成比例，不符合题意；C、0.1×0.4≠0.2×0.3，不能成比例，不符合题意；D、3×8=4×6，能成比例，符合题意；故选D．【变式1】(2425八下·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)下列各组中的四条线段成比例的是（

）A．a=4cm，b=6cmB．a=2cm，b=3cmC．a=2cm，b=3cmD．a=2cm，b=3【答案】B【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断．【详解】解：A．5×6≠4×10，这四条线段不成比例，故不符合题意；B．3×4=2×6，这四条线段成比例；符合题意；C．3×4≠1×2，这四条线段不成比例，故不符合题意；D．2×3≠2故选：B．【变式2】(2425九上·重庆朝阳中·期中)下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（

）A．3cm，5cm，9cm，15cm B．3cm，C．2cm，3cm，5cm，8cm D．4cm，【答案】A【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项分析即可得解．【详解】解：A、3×15=5×9，故3cm，5cm，9cmB、3×9≠5×7，故3cm，5cm，7cmC、2×8≠3×5，故2cm，3cm，5cmD、4×15≠6×9，故4cm，6cm，9cm故选：A．题型四比例的性质解答题综合【典例4】已知线段a，b，c满足a2=b(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．【答案】(1)a=6，b=15(2)k【分析】本题考查了比例线段．（1）设a2=b5=c3=m，然后用mk表示出a、b、c，再代入a（2）根据比例中项的定义列式得到k2=ab【详解】（1）解：设a2=b5=c3又∵a+∴2m解得m=3∴a=2m=2×3=6，b（2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项，∴k2解得k=310或∴线段k=3【变式1】已知：a+23=c+56=b4【答案】a=4，b=8【分析】本题考查了比例的性质．设a+23=c+56=【详解】解：设a+2∴a+2=3∴a=3∵2a∴23解得：k=2∴a=3k−2=6−2=4，b∴a=4，b=8，【变式2】(2425九上·河南平顶山·期中)已知ab=c(1)求a+(2)若b−5d+6【答案】(1)2(2)6【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键．（1）根据等比性质求解即可；（2）根据给出的条件将a−5c+6【详解】（1）解：∵ab∴a=2∴a（2）解：由ab=c∵b−5∴a−5题型五分割相关求解解｜题｜技｜巧【典例5】鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是比例，即矩半径长半径=5−12．如图，点C是BP的分割点BC>PC，点P是AB的分割点【答案】2【分析】本题主要考查了分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据分割点的定义可求出PC，进而可求出BP，再根据分割点的定义即可求出AP．【详解】解：∵点C是BP的分割点BC>∴PCBC∴PC=∴BP=∵P是AB的分割点AP>∴BPAP∴AP=故答案为：2．【变式1】(2425九下·吉林松原长岭县·期中)生活中到处可见分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若b=2m，则a约为【答案】1.24【分析】本题考查了分割，解决本题的关键是掌握分割的定义．根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，图中b为2米，即可求出a的值．【详解】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，b=2∴ab∴a∴a的值为1.24故答案为：1.24【变式2】(2425九上·安徽合肥第四十五中学森林城分校·期中)如图，古筝上的一根弦AB的长度约为162cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是弦AB靠近点B的分割点，则线段AC的长度约为【答案】81【分析】本题考查了分割点的应用，熟练掌握分割的定义是解题的关键．根据分割的定义计算即可．【详解】解：∵支撑点C是弦AB靠近点B的分割点，AB=162∴AC故答案为：815【变式3】(2425九上·河南郑州第十一初级中学·期中)把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值5−12为分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了分割比．如图，若点C可看作是线段AB的分割点AC<CB，若【答案】60−20【分析】本题主要考查了分割．根据分割的定义及AB的长求出BC的长，据此求出AC的长即可解决问题．【详解】解：∵点C可看作是线段AB的分割点AC<CB，∴BC∴AC∴AC的长为60−20题型六由平行线分线段成比例求数值解｜题｜技｜巧平行线分线段成比例常见模型模型一：“A”字型和反“A”字型如图（1）所示：DE∥BC，△ADE∽△ABC，可得ADAB=如图（2）所示：∠A=∠A，∠AMN=∠ACB，可得AN模型二：“8”字型和反“8”字型如图（3）所示：CD∥AB，△ABE∽△CDE，可得ABCD如图（4）所示：∠CFD=∠AFB，∠D=∠B，△ABF∽△CDF，可得DF【典例6】(2425九上·四川眉山·期中)如图，l1∥l2∥l3，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点DA．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．【详解】解：∵l1∴ABBC∵AB=4，DE=3，∴4BC∴BC=8故选：C．【变式1】(2425九上·河南郑州第十一初级中学·期中)如图，AB∥CD∥EF，AD=4，BCA．214 B．94 C．4【答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得ADDF=BC【详解】解：∵AB∴AD∵AD=4，BC∴4∴CE∴BE=故选：A．【变式2】(2324九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BCA．25 B．23 C．32【答案】B【分析】本题考查平行线分线段成比例，再准确的得到对应线段的比是解本题的关键．根据DE∥BC，【详解】解：∵DE∥∴AEAC∴ECAC∴AEEC=故选：B．【变式3】(2425九上·安徽合肥第四十五中学森林城分校·期中)如图，a∥b∥c，直线AC，DF与这三条平行线分别交于点A，A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据题意得到ABBC=DE【详解】解：∵a∴AB∴AB∵AB∴3∴DE故选：C．题型七相似图形的相关求解【典例7】如图所示，若把矩形ABCD截除一个正方形CDFE(阴影部分)后，剩下的矩形ABEF仍与原矩形相似，那么原矩形ABCD的两边AB与BC应满足的关系是（

A．AB:BC=1:C．AB:BC=(【答案】B【分析】本题考查的是相似多边形的性质、解一元二次方程．解决本题的关键是根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可求出结果．【详解】解：由题意可知：矩形ABEF∽矩形BCDA∴AF∵AF∴BC−整理得：AB∴(AB解得：ABBC=5故选：B．【变式1】(2425九上下·山东烟台牟平区（五四制）·期中)如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是（

A．∠B．六边形ABCDEF的周长等于六边形GHIJKL的周长的2倍C．ABD．六边形ABCDEF的面积等于六边形GHIJKL的面积的2倍【答案】C【分析】本题考查的是相似图形，熟知相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似图形的性质解答即可．【详解】解：∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1∴∠E∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1∴六边形ABCDEF的周长等于六边形GHIJKL的周长的2倍，故B选项错误，不符合题意；∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1∴AB∴AB+∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1∴六边形ABCDEF的面积等于六边形GHIJKL的面积的4倍，故D选项错误，不符合题意，故选：C．【变式2】(2425九上·山西长治武乡县多校·期中)如图，在矩形绸布ABCD中，边AB的长为2m，沿图中实线部分将其裁剪成三块形状大小完全相同的矩形绸布．若裁出的绸布与绸布ABCD相似，则绸布边BC的长为（

A．25m B．4m C．2【答案】C【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据题意可得BF=13BC，矩形ABCD【详解】解：根据题意可得：BF=13BC，矩形ABCD∴AB∴2解得BC=23或故选C．【变式3】(2425九上·四川宜宾兴文县·期中)如图，小福在矩形ABCD的左边分割出正方形ABEF，然后在矩形FECD的一组对边EF，CD上分别取中点M, N，分割出矩形FMND和矩形MECN，最后把矩形FMND对半分割成矩形FMHG和矩形GHND．若矩形GHND与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的宽与长的比ABA．12 B．−1−52 C．5【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程；设FG=DG=a，DN=CN=b，由矩形GHND与矩形ABCD相似得DGAB【详解】解：由题意得，AB=EF=CD，设FG=DG=则FD=2a，∵ABEF是正方形，∴AF=∴AD=2∵矩形GHND与矩形ABCD相似，∴DGAB∴a2∴a2∴ab∴ab=−1+∴ADAB∴ABAD故选D．题型八选择或补充条件使得两个三角形相似解｜题｜技｜巧相似三角形的判定方法，如图所示①两角分别相等的两个三角形相似例如∠A=∠D，∠B=∠E，可得△ABC∽△DEF；②两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似例如ABDE=③三边对应成比例的两个三角形相似例如ABDE=【典例8】(2425九上·河南马店·期中)如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（A．AEAC=ADAB B．∠B=∠【答案】D【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】A、AEAC=ADAB且夹角B、∠B=∠ADEC、∠C=∠AEDD、AEAC=DE故选：D．【变式1】(2425九上·北京延庆区·期中)如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABCA．∠ABD=∠CC．ABBD=CB【答案】C【分析】此题考查了相似三角形的判定．由∠A【详解】解：∵∠A∴当∠ABD=∠C或∠故A与B正确；当ADAB=AB故D正确；当ABBD=CBCD时，因为由所给比例涉及的两个三角形根本不是△ADB与△ABC，而是故C错误．故选：C．【变式2】(2425九下·四川眉山青神县·期中)如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC【答案】D【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可．【详解】解：在△ABP和△∵∠A∴当∠ABP=∠C当∠APB=∠ABC当ABAP=AC当BPCB=AB故选：D．【变式3】(2425九上·山西临汾·期中)如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADEA．∠C=∠E B．∠B=∠ADE【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据∠1=∠2，求出∠DAE【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠DAEA、添加∠C∵∠DAE=∠BAC∴△ABCB、添加∠B∵∠DAE=∠BAC∴△ABCC、添加ABAD∵∠DAE=∠BAC∴△ABCD、添加ABAD=BC故选：D．题型九判断剪下的三角形与原三角形是否相似【典例9】如图，△ABC中，∠B=60°，AB=6，AC=8．将△A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．【详解】解：A、∵∠C=∠C∴△DECB、∵∠C=∠C∴△CDEC、由图形可知，只有∠B=∠BD、∵∠A=∠A∴△AED故选：C．【变式1】(2425九上·河北保定第三中学分校·期末)如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；C、6−39−7=3D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意．故选：D．【变式3】(2425九上·辽宁沈阳育源中学·月考)如图，在△ABC中，∠A=75°，AB=8，AC=6A．B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断A不符合题意；根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，可判断B不符合题意；根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断C不符合题意；由对应成比例的边所夹的角不相等，可知阴影三角形与原三角形不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C、∵4.56=D、∵48=36，阴影三角形已知两边所夹的角是∠故答案为D．题型十相似三角形的相关证明【典例10】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，连接EF，过点B作BG⊥EF于点G，FH∥CD交AD于点【答案】详见解析【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定．利用平行线的性质求得∠HEF=∠BFG【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF∵FH∥∴∠AHF∵BG⊥∴∠BGF∵∠HEF∴△BGF【变式1】(2425九上·江苏扬州翠岗中学·期中)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，连接BE和EF，AB=9，AE=3，【答案】见解析【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出DE，再证明ABDE=AE【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，AB=9∴AD=AB∵AE∴DE∴ABDE∵DF∴AEDF∴ABDE∴△ABE∽△DEF【变式2】(2425九上·甘肃天水甘谷县新兴初级中学·期中)如图所示，将矩形纸片ABCD沿AE折叠得到△AFE，且点F恰好落在DC上．求证：△

【答案】见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出∠B=∠C【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B∴∠AFD∵矩形纸片ABCD沿AE折叠得到△AFE，且点F在DC∴∠AFE∴∠AFD∴∠DAF∴△ADF【变式3】已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线．求证：

【答案】见解析【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．如图，过C点做AB的平行线与AD的延长线交于点E，可证△ABD∽△ECD，得到AB【详解】证明：如图，过C点做AB的平行线与AD的延长线交于点E，

∵AB∥∴∠ABD=∠ECD∴△ABD∴AB又∵AD为∠∴∠BAD∴AC∴ABAC题型十一相似三角形综合求解【典例11】(2425九上·江西九江·期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，点D为BC边的中点，连接(1)求证：△CAE(2)若BC=8，求ED【答案】(1)见解析(2)ED【分析】本题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线、含30度角的直角三角形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和旋转的性质是解题关键．（1）先根据直角三角形斜边上的中线和直角三角形的性质可得∠B=60°，AD=12BC=（2）先利用勾股定理和线段中点的定义可求出AC=43，CD=4，再根据等边三角形的性质可得∠ACE=60°，CE【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC∴∠B∵点D为BC边的中点，∴AD=∴△BAD∴∠BAD由旋转的性质得：AE=∴△CAE∴∠ACE∴∠ACE在△CAE和△∠ACE∴△CAE（2）解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴AB=12∵点D为BC边的中点，∴CD=∵△CAE∴∠ACE=60°，∴∠DCE则在Rt△CDE中，【变式1】(2425九上·海南儋州·期中)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB和CE交于点F，DF=FB，(1)求证：△BEF(2)求证：四边形ADCF为平行四边形；(3)若DB⊥CE，AD=4，BF【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)2【分析】（1）证明EF是△ABD的中位线，得EF∥AD，EF=1（2）由（1）知：EF∥（3）根据三角形中位线的性质推出∠BFE=∠ADB=90°，EF=12【详解】（1）证明：∵DF=∴点F是DB的中点，∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD∴EF∥AD，∴∠BEF=∠BAD∴△BEF（2）由（1）知：EF∥AD，即又∵AF∥∴四边形ADCF为平行四边形；（3）解：∵DB⊥CE，AD=4∴∠ADB由（1）知：EF∥AD，∴∠BFE=∠ADB∴∠BFC=180°−∠BFE∵四边形ADCF为平行四边形，∴CF=在Rt△BCF中，∴BC的长为213【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．【变式2】(2324九上·陕西咸阳永寿县启迪中学永寿分校·期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且(1)求证：△ABF(2)若AE=2，∠BAE=30°【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．（1）由平行的性质结合条件可得到∠AFB=∠EDA（2）由平行可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，由含【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠C+∠∵∠BFE=∠∴∠AFB∴△ABF（2）∵AB∥CD，∴∠ABE∵AE=2，∠∴BE=由勾股定理得：AB=题型十二利用相似三角形的性质求解解｜题｜技｜巧①两相似三角形中任意一组对应边的比例称为这两个相似三角形的相似比；②若两三角形相似，则这两个三角形的对应边上的高成比例且其比例等于相似比；③若两三角形相似，则这两个三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。【典例12】(2324九上·广西南宁·期中)已知△ABC∽△DEF，相似比为3:2，若△ABC的周长是9，则A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形周长的比等于相似比求解，即可解题．【详解】解：∵△ABC∽△DEF∴△ABC的周长:△DEF的周长∵△ABC∴△DEF的周长为6故选：C．【变式1】(2425九上·辽宁朝阳建平县沙海中学·期中)已知△ABC∽△DEF，且面积比为9:16，则△ABC与A．3:4 B．3:2 C．9:16 D．【答案】A【分析】本题考查的是相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．直接根据相似三角形对应中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答．【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，面积比∴两三角形的相似比等于3:4，∴△ABC与△DEF的对应中线之比为故选：A．【变式2】已知△ABC∽△DEF，AM、DN分别为BC边，EF边上的高，且AM=3，DN=9，已知△【答案】3【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的相似比等于高的比，得相似三角形的相似比=1【详解】解：∵△ABC∽△DEF，AM、DN分别为BC∴AM∴S∵△DEF∴S故答案为：3．【变式3】(2425八·辽宁盘锦大洼区第二中学·期中)若△ABC∽△A′B′C′，且ABA′【答案】16【分析】本题考查了相似三角形的性质（周长比与相似比的关系），解题的关键是掌握“相似三角形的周长比等于它们对应边的比”这一性质，结合已知对应边的比和△ABC的周长，计算△A根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．【详解】解：∵△ABC∽△∴相似三角形的周长比等于对应边的比，即L△ABC已知ABA′B设L△A′交叉相乘得3x=12×4，解得故答案为：16．题型十三相似三角形中动点问题【典例13】如图所示，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB、BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，它们同时出发t秒时，使【答案】2或5【分析】本题考查相似三角形的性质，一元一次方程的运用，根据相似三角形的性质分情况①当PBCB=BQ【详解】解：由题意，设经t秒后，△PBQ由于∠PBQ=∠ABC=90°，①当PBCB∴10−解得t=2故经过2秒时，△PBQ②当PBBA∴10−解得t=5故经过5秒时，△PBQ故答案为：2或5．【变式1】(2425九上·甘肃张掖甘州区张掖育才中学·期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、A．2或3.4 B．3.5或3.2 C．2或3.5 D．3.2或3【答案】C【分析】此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°∴AB∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1∴BD=1若∠BED∵∠ABC∴∠BDE∴BE∴AE∴t若∠BDE∵∠ABC∴∠BED∴BE∴AE∴t综上可得：t的值为2或3.5．故选：C．【变式2】(2425九上·陕西咸阳永寿县御家宫中学·期中)如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D以1cm/s的速度从点A出发沿AB方向向点B运动．动点E以2cm/s的速度从点C出发沿CA方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、EA．4.5s或4.8s B．3s C．4.5s D．3s或4.8s【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为ts，由题意得，AD=tcm，CE=2t【详解】解：设运动时间为ts由题意得，AD=∴AE=∵∠A∴只存在△ADE∽△ABC当△ADE∽△ABC∴t6解得t=3当△ADE∽△ACB∴t12解得t=4.8综上所述，t=3或t故选：D．【变式3】(2425九上·四川资阳安岳中学·期中)如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm(1)几秒后，PQ的长度等于42(2)线段PQ能否将△ABC分成面积3:5(3)若△ABC与△BPQ相似，求【答案】(1)当t1=25(2)经过3秒时，线段PQ能将△ABC分成面积3:5(3)1811秒或2.4秒时，△PBQ与【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用；（1）在Rt△（2）分△BPQ的面积为△ABC面积的38和△BPQ的面积为（3）设经过t秒时，△BPQ与△ABC相似，分①△PBQ【详解】（1）解：设经过t秒后，PQ的长度等于42由题意，得：AP=∴BP=当PQ=42时，在∵B∴(6−整理，得：5t解得：t1∴当t1=25,（2）解：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积3:5依题意有：△ABC的面积=①当△BPQ的面积为△ABC面积的则：12整理，得：y2解得：y=3②当△BPQ的面积为△ABC面积的则：12整理，得：y2∵Δ∴方程无实数根；∴经过3秒时，线段PQ能将△ABC分成面积3:5（3）解：设经过t秒时，△BPQ与△△PBQ∴BP∴6−∴t②当△PBQ∴BP∴6−∴t综上所述，1811秒或2.4秒时，△PBQ与题型十四相似三角形的判定与性质综合【典例14】如图，在△ABC和△ADE中，AD是△ABC的角平分线，∠ADE=∠B，边

(1)求证：AF⋅(2)若AE∥BC，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△ADF∽△ABD（1）由∠DAF=∠BAD,∠ADE=∠B（2）先由AE∥BC，得∠C=∠EAC，则∠ADB=∠CAD+∠C=∠CAD+∠EAC=∠【详解】（1）证明：∵AD是△ABC∴∠DAF∵∠ADE∴△ADF∴AFAD∴AF⋅（2）证明：∵AE∥∴∠C∴∠CAD∵∠ADB∴∠ADB∵∠ADE∴△ADB∴ABDE由（1）得AFAD∴DFAF∴ABDE∴AB⋅【变式1】(2425九下·河南驻马店新蔡县·期中)如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF=90∘，延长EF交(1)求证：BE(2)若AB=6，求CG【答案】(1)详见解析(2)9【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．（1）由正方形的性质与已知得出∠A=∠BEG（2）由AB=AD=6，E为AD的中点，得出AE=DE=3，由勾股定理得出BE=【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG∴∠A∴∠ABE∴∠∴△ABE∴AE即BE（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD又E为边AD的中点，∴AE在Rt△ABE中，BE由（1）知B即35∴BG∴CG【变式2】(2425九上·广东东莞东华初级中学·期中)如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C(1)求证：△BA(2)求C′D和【答案】(1)见解析；(2)C′D的长是53，CE【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点，解决此题的关键是根据旋转的性质证明三角形相似；（1）先根据旋转的性质得到角相等和边相等，进而得到相似的条件，进而解决问题即可；（2）先根据（1）中的相似得到DC′的长度，再证明△B【详解】（1）解：由旋转的性质可知：∠BAB′=∠DA在△BAB′∴ABAD=∴△BA（2）解：由（1）可知：△BA∴ABAD在▱ABCD中，AB=3，∴DC=AB=3又BB∴34∴D由旋转可知：B′C′=BC∴DC设DE为x，EC′为y，则EC为3−x，B在△B′CE∵∠B′CE∴△B∴B′即3解得：x=∴EC=3−∴C′D的长是53，CE题型十五与重心相关的问题解｜题｜技｜巧三角形的重心是指三角形三条中线的交点，如图所示三角形的重心性质：①每条中线将三角形分成面积相等的两个三角形；②O分别为三角形每条中线的三等分点，O到顶点的距离与到底边的距离之比是2:1【典例15】如图，点G是△ABC的重心，连接BG，作∠BGD，使∠BGD+∠ABC=180°，GD交BC于点D，BD=8A．42 B．2 C．25 【答案】A【分析】本题主要考查了重心的性质及相似三角形的判定和性质，利用三角形重心的性质得出MGAM=13,通过作平行线得到∠BGD【详解】解:连接AG并延长交BC于点M,过点G作GH∥AB交BC于点H,连接∵点G是△ABC∴MGAM=∵GH∴∠∴HM∴BH又∵∠∴∠∵∠∴△BHG∴BHBG∴B∴BG故选：A．【变式1】(2425九上·福建泉州晋江季延中学·期中)如图，已知，AD是△ABC的中线，点G是△ABC的重心，过G作GE∥AB交BC于点E，GF∥AC交BC于点F．若A．4 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形的中线的性质，相似三角形的判定和性质．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据重心的性质可得GDAD=GDAG+GD=13，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△ABD=S【详解】解：∵点G是△ABC∴AG=2∴GDAD∵AD是△ABC∴S△∵GE∥AB，∴△DEG∽△DBA∴S△DEGS∴S△DEG=∴S△故选：A．【变式2】(2425九上·湖南衡阳县五校联考·期中)如图，在△ABC中，G是它的重心，AG⊥CG，如果BG⋅AGA．3 B．6 C．26 D．【答案】B【分析】本题考查了重心的性质，解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．延长BG交AC于点D，根据三角形重心的性质可得BG=2GD，D是AC的中点，然后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出AC=2GD，从而得出BG=AC，然后根据BG⋅AC=24【详解】解：延长BG交AC于点D，∵G是△ABC的重心，∴BG=2GD，D是∵AG⊥∴GD=12∴BG=∵BG⋅∴BG=∴GD=当GD⊥AC时，△AGC故选：B．题型十六相似三角形的实际应用【典例16】在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为AB=1m，又测得镜子与旗杆底部的距离BC=6m，已知人的眼睛距离地面的高度为A．3.53m B．7.70m C．8.25m【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得∠DBA=∠CBE，可证得△【详解】解：如图：根据光的反射定律得：∠DBA又∵∠DAB∴△DAB∴ADCE∴AB=1m，AD=1.7∴1.7CE∴CE=1.7×6=10.2∴CE=10.2故选：D.【变式1】(2425九上·甘肃清水县第三中学·期中)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线.已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5A．5.8m B．12.75m C．17m D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可知BC∥DE，得到△ABC∽△ADE【详解】解：∵CB⊥AD，∴BC∥∴△ABC∴ABAD=BC∵BC=1m，DE=1.5∴AB解得：AB=17故选：C．【变式2】(2425九上·福建东盛教育集团·期中)如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD=2FA，若盲区EB的长度是9米，则车宽FA【答案】9【分析】本题考查视点、视角和盲区以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．如图，过点P作PM⊥BE于点M，交FA于点N，根据相似三角形的判定和性质以及【详解】解：如图，过点P作PM⊥BE于点M，交FA于点∵FA∴∠PAF=∠PBE∴△PAF∴AFBE设DF=2k，则AF=3∴3k解得k=∴DF=6故答案为：95【变式3】(2425九上·北京延庆区·期中)如图，小明在晚上由路灯AC走到路灯BD．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯AC的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯BD的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且AP=(1)求两个路灯之间的距离；(2)当小明走到路灯BD时，他在路灯AC下的影长是多少？【答案】(1)两路灯的距离为25米(2)当小明走到路灯BD时，他在路灯AC下的影长是6.25米【分析】本题考查了相似三角形的应用．（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=15AB（2）如图2，当小明走到路灯BD时，他在路灯AC下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得BN【详解】（1）解：∵PM∥∴△APM∴APAB=PM∴AP=∴AP=而AP+∴15∴AB=25答：两路灯的距离为25米；（2）解：如图2，当小明走到路灯BD时，他在路灯AC下的影子为BN，∵BM∥∴△NBM∴BNAN=BM解得BN=6.25答：当小明走到路灯BD时，他在路灯AC下的影长是6.25米．题型十七与中位线有关的求解问题解｜题｜技｜巧掌握三角形中位线的性质是解题关键：三角形的中位线是指三角形两边中点的连线，它平行且等于底边的一半。【典例17】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则ABA．3cm B．6cm C．9cm【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由平行四边形的性质可得O是AC的中点，进而由E是BC的中点可得OE为△ABC【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又∵E是BC的中点，∴OE是△ABC∴AB=2故选：B．【变式1】(2425八下·江苏扬州仪征·期中)如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOFA．2 B．83 C．103【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质、三角形中位线性质定理，熟练掌握以上知识点是关键．连接AE，由矩形的性质得OA=OC=OB=OD，利用中位线性质可得AE=8【详解】解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=∵F是CE的中点，∴OF是△ACE∴OF∴AE在Rt△AEO中，由勾股定理得：∴故选：D．【变式2】(2425九上·广东河源龙川县金安中学·期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BA的延长线上一动点，连接OE交AD于点F，若CD=5，BC=8，AE=2A．169 B．167 C．17【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，过点O作OH∥AD，交AB于点H，证明OH是△ABD的中位线，求出OH=4，AH=【详解】解：过点O作OH∥AD，交AB于点∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=8，AB∴OH是△ABD∴OH=12∴EH=∵OH∥∴△EAF∴AFOH=AE∴AF=故选：A．【变式3】(2425九上·天津滨海新区大港第十中学·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AD、AB边上的中点，连接EF．若EF=3，AC=4，则菱形ABCDA．3 B．23 C．43 【答案】C【分析】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．根据中位线定理可得对角线BD的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案．【详解】解：∵E，F分别是AD、AB边上的中点，EF=∴BD=2又∵AC=4∴菱形ABCD的面积S=故选：C．题型十八与中位线有关的最值问题【典例18】(2425九上·江苏扬州江都区第三中学·期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，平面上有一点P，连接AP，CP，若CP=2，取AP的中点MA．13+1 B．15 C．215 【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取AC的中点N，连接MN,BN，则AN=12AC=2，根据勾股定理求出BN=13，由三角形的中位线定理得出MN=1【详解】解：取AC的中点N，连接MN，∵点N为AC中点，AC=4∴AN=∵在Rt△ABN中，∠BAN∴BN=∵点M为AP中点，点N为AC中点，CP=2∴MN=∴在△BMN中，BM<BN当点B、M、N在同一直线上时，BM=此时BM取最大值13+1故选：A．【变式1】(2425九上·湖南永州祁阳潘红军学校·期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=45°，AD=2，点M、N分别是边AB、BC上的动点，连接DN、MN，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EFA．1 B．2 C．22 D．【答案】C【分析】本题主要考查三角形中位线，平行四边形，勾股定理．解题关键是中位线性质．由已知可得，EF是三角形DMN的中位线，所以，当DM⊥AB时，DM最短，此时【详解】如图，连接DM，∵E、F分别为DN、MN的中点，∴EF是三角形DMN的中位线，∴EF=当DM⊥AB时，DM最短，此时∵∠A=45∴DM∴由勾股定理可得AM解得：AM=此时EF=故选C．【变式2】(2425八下·广西贵港港北区·期中)如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=45°，点E为CD边上一动点，连接BE，点F，G分别是AB，BE的中点，连接FG，则FGA．32 B．322 C．2【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，等角对等边，垂线段最短等知识；掌握这些知识是解题的关键；连接AE；则FG=12AE，当AE最小时，FG最小；当AE⊥CD时，AE最小；在【详解】解：如图，连接AE；∵点F，G分别是AB，BE的中点，∴FG是△BAE∴FG=∴当AE最小时，FG最小；当AE⊥CD时，AE最小，从而∵四边形ABCD是菱形，∠ABC∴∠D∵AE⊥∴∠EAD∴AE=在Rt△AED中，∴AE=∴FG即FG的最小值为32故选：B．题型十九与中位线相关的证明【典例19】(2425九上·湖北武汉·期中)如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，AC，BD．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)当AC，BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形．（不需要说明理由）．【答案】(1)见解析(2)当AC⊥BD时，四边形【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定．（1）由三角形中位线的性质可得EF=GH=（2）证明▱EFGH的一组邻边互相垂直即可得到四边形EFGH【详解】（1）证明：∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EF为△ABC的中位线，GH为△∴EF=12AC，EF∥∴EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：当AC⊥BD时，四边形理由如下：∵点E，H分别是AB，DA的中点，∴EH为△ABD∴EH∥∵AC⊥BD，∴EF⊥∴EF⊥∴平行四边形EFGH矩形．【变式1】(2425八下·广东江门恩平·期末)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)求证：AB−【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键．（1）延长CE交AB于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形BDEF是平行四边形；（2）由（1）可知，四边形BDEF是平行四边形，可得BF=DE．证明BF=DE=【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G，∵CE⊥AE，AE平分∴∠AEG=∠AEC在△AEG和△∠GAE∴△AGE∴GE=∵BD=∴DE为△CGB∴DE∥∵EF∥∴四边形BDEF是平行四边形．（2）证明：由（1）可知，四边形BDEF是平行四边形，∴BF=∵D、E分别是BC、GC的中点，∴BF=∵△AGE∴AG=∴BF=∴AB−【变式2】(2425九上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF，BF(1)若四边形ADCF是菱形，试证明△ABC(2)CG=4，求AG【答案】(1)证明见解析(2)AG【分析】（1）由菱形性质、AD是△ABC的中线，得到AD=DC（2）取BG中点M，连结MD，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到CG=2MD=4，MD【详解】（1）解：∵四边形ADCF是菱形，AD是△ABC∴AD=∴∠DBA∵∠DBA∴∠BAC∴△ABC（2）解：取BG中点M，连结MD，如图所示：∵AD是△ABC的边BC的中线，则D是BC∴DM是△∴CG∴MD∵E是AD的中点，∴AE在△AGE和△∠∴△AGE≌△∴AG=【点睛】本题考查几何综合，涉及菱形性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定义、直角三角形的判定、三角形中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟记相关几何判定与性质，灵活运用是解决问题的关键．题型二十求两个位似图形的位似比【典例20】如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为3:2，则△DEF与△A．4:9 B．9:4 C．2:3 D．3:2【答案】A【分析】本题主要考查了图形的位似，相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为∴△DEF与△ABC的相似比为根据面积比是相似比的平方，即△DEF与△ABC的面积比是故选：A．【变式1】(2425九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A【答案】3【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，可得C△【详解】解：∵△ABC与△A′∴C△∵△ABC∴△A′B故答案为：3【变式2】(2425九下·广东茂名高州·期中)如题图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA=AD，则△ABC【答案】1:4【分析】本题考查了位似三角形，相似三角形的性质等知识；利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质．【详解】解：∵△ABC与△∴△ABC与△即△ABC∵OA=∴OAOD∴S△故答案为：1:4．题型二十一画已知图形放大或缩小后的位似图形【典例21】(2425九上·甘肃天水市武夷山·期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC(1)画出△ABC向左平移4个单位长度的△(2)以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC位似图形△A2B2C2【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查了平移作图，位似作图．（1）根据题意作图即可；（2）根据题意作图即可．【详解】（1）解：△A（2）解：△A【变式1】(2425九上·安徽巢湖·期末)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为0,3，1,1，2,2．(1)以点C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A1B1C，画出△A1B1C(2)以点O为位似中心，将△ABC按相似比为2放大，得到△A2B2C2，在网络中画出△A2B2C2（点A【答案】(1)如图所示，A1(2)如图所示，C2【分析】本题考查了旋转作图和位似作图，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键．（1）先根据旋转的性质确定点A1，B1的位置，然后连线，再写出点（2）先根据位似的性质确定点A2，B2，C2【详解】（1）解：如图，△A1B（2）解：如图，△A2B【变式2】(2425九上·宁夏银川永宁三沙源上游学校·期中)如图，△ABC的顶点坐标分别为A1,1，B2,3(1)作出△ABC关于x轴对称的图形△(2)在第三象限内，以点O为位似中心作出△ABC的位似图形△A2(3)求出△A【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)10【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可；（2）根据位似图形的性质作图即可；（3）利用割补法计算即可求解；本题考查了作轴对称图形，作位似图形，三角形的面积，