2024年浙江省台州一中自主招生数学试卷

第1页（共1页）2024年浙江省台州一中自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算错误的是（）A．x9÷x3＝x3 B．3x﹣2x＝x C．2x2+3x2＝5x2 D．（x3）2＝x63．（3分）李叔叔为了估计他家鱼塘里有多少条鱼，从鱼塘里捞出200条鱼，将它们作上标记，再从中随机捕捞400条鱼，其中有标记的鱼有40条（）A．4000条 B．3000条 C．2000条 D．1000条4．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的值永远为负值的条件是（）A．a＞0，b2﹣4ac＜0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0 C．a＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b2﹣4ac＜05．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm（）A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm26．（3分）如图，一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，人行道的宽为15米，长度是50米（）A．9米 B．10米 C．12米 D．15米7．（3分）如图，▱ABCD中，E为边CD的中点，则△ADF与四边形EFBC的面积之比为（）A．1：3 B．2：5 C．1：2 D．3：58．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，则∠BCD的度数为（）A．105° B．115° C．125° D．135°9．（3分）如图，图中所有的角均为直角，所有线段均不相等，若要知道该图形的周长，至少还需知道几条线段的长（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条10．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5，由B、C向∠A外角平分线作垂线，垂足为D、E．则BD•CE的值（）A．与边AB无关，值始终不变 B．随着边AB的增大而增大 C．随着边AB的增大而减小 D．与边AB有关，值无法确定二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）已知某多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形是边形．12．（5分）不等式组的解为．13．（5分）已知a2+b2﹣4a+2b+5＝0，则分解因式ax2+bx﹣3＝．14．（5分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，且点H，A，B在同一水平直线上米（结果保留根号）．15．（5分）如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，则此圆的半径OA的长为．16．（5分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，若点C落在直线AB上，点A落到点D处．18．（5分）如图，Rt△ABC的顶点A，C在x轴上，BC＝4，AC＝2（k＞0，x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，AE，DE．当BD＝DE时．三、解答题（第19，20，21每题10分，22，23，24每题12分，25题14分，共80分）19．（10分）已知α、β是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，求下列代数式的值：①；②α2+3α+β．20．（10分）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均为格点．画出符合要求的线段AD（其中D为格点，画出一个即可）．21．（10分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，2≤t＜3，3≤t＜4，并依次用A，B，C，D表示，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．22．（12分）小李同学利用假期体验生活，他在奶茶店体验一段时间后，发现某种奶茶每杯的成本是4元，售价定为整数，当售价是12元/杯时，售价每降低1元，每天就可多售出20杯．店家为了保证盈利，并要求每天要完成超过100杯的销售任务．（1）试确定每天的销售量y（杯）与售价x（元/杯）之间的函数关系式及售价x的范围；（2）当售价x（元/杯）定为多少时，奶茶店销售此种奶茶所获得的利润W（元）23．（12分）如图，已知矩形ABCD中，点E以1cm/s的速度从点A向点D运动（s），连结BE，过点E作EF⊥BE，以EF为直径作⊙O，交BF于点G．（1）求证：∠EBC＝∠EFD；（2）已知AB＝4cm，AD＝6cm，在点E的整个运动过程中，①用含t的代数式表示DF；②连结EG，GD，若DG＝DE24．（12分）已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣1．（1）求证：不论a为任何实数，函数的图象与x轴都有两个交点；（2）试求：当a为何值时，函数图象与x轴的两个交点之间的距离等于4；（3）当a＞0时，若函数在﹣1≤x≤1上的最大值与最小值的差为a2+2，求a的值．25．（14分）定义：若一个四边形的面积被一条对角线平分，则称这样的四边形为分积四边形，这条对角线为分积线．（1）如图1，▱ABCD中，P为对角线AC上一点．求证：四边形PBCD为分积四边形；（2）如图2，矩形ABCD的顶点A在函数的图象上，连结对角线BD交y轴于点E，点F为对角线BD上一点（1﹣k）BE，△FDC的面积为6；（3）如图3，四边形ABCD为分积四边形，对角线BD为分积线，∠BAC＝90°，对角线BD与AC交于点O，若，

2024年浙江省台州一中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DACDCCBBBA一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．图形既不是中心对称图形，不符合题意；B．图形既不是中心对称图形，不符合题意；C．图形不是中心对称图形，不符合题意；D．图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故选：D．2．（3分）下列计算错误的是（）A．x9÷x3＝x3 B．3x﹣2x＝x C．2x2+3x2＝5x2 D．（x3）2＝x6【解答】解：A．原式＝x6，故本选项符合题意；B．原式＝x；C．原式＝5x7，故本选项不符合题意；D．原式＝x6，故本选项不符合题意．故选：A．3．（3分）李叔叔为了估计他家鱼塘里有多少条鱼，从鱼塘里捞出200条鱼，将它们作上标记，再从中随机捕捞400条鱼，其中有标记的鱼有40条（）A．4000条 B．3000条 C．2000条 D．1000条【解答】解：根据题意得：200÷（40÷400）＝2000（条），答：估计鱼塘里鱼的数量大约有2000条．故选：C．4．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的值永远为负值的条件是（）A．a＞0，b2﹣4ac＜0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0 C．a＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0【解答】解：因为二次函数y＝ax2+bx+c的值永远为负值，所以函数图象的开口向下，所以a＜0．此外，函数与x轴没有交点3﹣4ac＜0，所以二次函数y＝ax6+bx+c的值永远为负值的条件是a＜0，b2﹣2ac＜0．故选：D．5．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm（）A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2【解答】解：∵h＝8cm，r＝6cm，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l＝，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×5×6π×10＝60π（cm2），所以圆锥的侧面积为60πcm8．故选：C．6．（3分）如图，一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，人行道的宽为15米，长度是50米（）A．9米 B．10米 C．12米 D．15米【解答】解：设人行道间的距离是a米，依题意有50a＝40×15，解得a＝12．答：人行道间的距离是12米．故选：C．7．（3分）如图，▱ABCD中，E为边CD的中点，则△ADF与四边形EFBC的面积之比为（）A．1：3 B．2：5 C．1：2 D．3：5【解答】解：由平行四边形性质得AB∥CD、AB＝CD，则∠FDE＝∠FBA，∠FAB＝∠FED，∴△DEF∽△BAF，相似比，设S△DEF＝x，则S△ABF＝4x，由得：S△ADF＝2x；平行四边形中S△ABD＝S△BCD＝6x，故S四边形EFBC＝6x﹣x＝4x，∴△ADF与四边形EFBC的面积比为2x：5x＝7：5．故选：B．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，则∠BCD的度数为（）A．105° B．115° C．125° D．135°【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠AED＝25°，＝，∴∠ACD＝∠AED＝25°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝115°，故选：B．9．（3分）如图，图中所有的角均为直角，所有线段均不相等，若要知道该图形的周长，至少还需知道几条线段的长（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：如图：，若要知道该图形周长，至少需要知道4条线段的长：BC，IJ，∵BC＝AL+KJ+IH+GF+DE，AB＝LK+KK′＝LK+CC′，EF＝DD′，∴只要知道BC、AB，EF4条线段的长，已知AB+BC的长，至少还需知道4条线段的长，故选：B．10．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5，由B、C向∠A外角平分线作垂线，垂足为D、E．则BD•CE的值（）A．与边AB无关，值始终不变 B．随着边AB的增大而增大 C．随着边AB的增大而减小 D．与边AB有关，值无法确定【解答】解：如图，作BM⊥CE于M，CE交于F，则ME＝BD，FE＝CE∴BF＝AB+AF＝AB+AC＝7，由勾股定理得：CB2﹣CM6＝BM2＝BF2﹣FM8，∴52﹣（CE﹣BD）8＝72﹣（CE+BD）4，∴BD•CE＝（42﹣57）＝24，∴BD•CE的值与边AB无关，值始终不变，故选：A．二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）已知某多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形是10边形．【解答】解：∵这个多边形的每个外角都等于36°，∴这个多边形的边数是：360÷36＝10，故答案为：10．12．（5分）不等式组的解为x＜﹣3．【解答】解：，由①得，x＜﹣3，由②得，x≤8，故不等式组的解集为x＜﹣3．故答案为：x＜﹣3．13．（5分）已知a2+b2﹣4a+2b+5＝0，则分解因式ax2+bx﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．【解答】解：∵a2+b2﹣4a+2b+5＝2，∴a2﹣4a+5+b2+2b+5＝0，∴（a﹣2）3+（b+1）2＝6，∴a﹣2＝0，b+8＝0，∴a＝2，b＝﹣8，∴ax2+bx﹣3＝6x2﹣x﹣3＝（x+4）（2x﹣3）；故答案为：（x+7）（2x﹣3）．14．（5分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，且点H，A，B在同一水平直线上1200（﹣1）米（结果保留根号）．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45°∴AH＝CH＝1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B＝∴HB＝＝＝＝1200．∴AB＝HB﹣HA＝1200﹣1200＝1200（﹣3）米故答案为：1200（﹣1）15．（5分）如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，则此圆的半径OA的长为7.5米．【解答】解：设圆的半径是r米，∴OA＝OC＝r米，∴OD＝CD﹣OC＝（12﹣r）米，∵CD⊥AB，∴AD＝AB＝，∵∠ODA＝90°，∴OA2＝OD4+AD2，∴r2＝（12﹣r）7+62，∴r＝8.5，∴此圆的半径OA的长为7.3米．故答案为：7.5米．16．（5分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为x+x+x＝65．【解答】解：设共有客人x人，根据题意得x+x+．故答案为x+x＝65．17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，若点C落在直线AB上，点A落到点D处3或．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanB＝，∴设AC＝6x，BC＝4x，∴AB＝＝5x，如图，当点C的对应点落在线段AB上时，∵将△ABC绕点B旋转，∴C′D＝AC＝3x，BC′＝BC＝6x，∴∠AC′D＝90°，AC′＝AB﹣BC′＝x，∴tan∠DAB＝＝3，当点C的对应点落在线段AB的延长线上时，∵将△ABC绕点B旋转，∴C″D′＝AC＝3x，BC″＝BC＝3x，∴AC″＝AB﹣BC′＝9x，∴tan∠D′AB＝＝＝，综上所述，tan∠DAB＝8或，故答案为：3或．18．（5分）如图，Rt△ABC的顶点A，C在x轴上，BC＝4，AC＝2（k＞0，x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，AE，DE．当BD＝DE时4．【解答】解：如图，过点D作DF∥AC交BC于点F，连接CD，OG＝CF．根据三角形面积公式可得：S△AED＝S△ABE＝•S△ABC；S△AOD＝S△ACD＝•S△ABC．∴．根据平行线分线段成比例可得：．设DF＝m，则BF＝，由等腰三角形的性质可知DF是BE的垂直平分线，则BE＝2BF＝4m，CE＝7﹣4m．根据反比例函数的性质，GD•GO＝CO•CE＝k．解得：GD＝2﹣4m．∴OC＝GD+DF＝2﹣m．又∵OC＝AC﹣AO＝2﹣AO，∴AO＝m．∴＝＝4．故答案为：4．三、解答题（第19，20，21每题10分，22，23，24每题12分，25题14分，共80分）19．（10分）已知α、β是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，求下列代数式的值：①；②α2+3α+β．【解答】解：①∵α、β是方程x2+2x﹣2＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣4，∴+＝＝＝；②∵α是方程x2+2x﹣8＝0的实数根，∴α2+6α﹣5＝0，∴α5+2α＝5．又∵α+β＝﹣7，∴α2+3α+β＝α7+2α+（α+β）＝5+（﹣2）＝3．20．（10分）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均为格点．画出符合要求的线段AD（其中D为格点，画出一个即可）．【解答】解：如图，线段AD即为所求．21．（10分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，2≤t＜3，3≤t＜4，并依次用A，B，C，D表示，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%所以：20÷10%＝20×＝200（人）即本次调查的学生人数为200人；（2）由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：×100%＝30%，B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%＝15%，B级的人数为200×15%＝30（人）D级的人数为：200×45%＝90（人）B所在扇形的圆心角为：360°×15%＝54°．（3）因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜6的人数为：1200×30%＝360（人）答：估计全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人．22．（12分）小李同学利用假期体验生活，他在奶茶店体验一段时间后，发现某种奶茶每杯的成本是4元，售价定为整数，当售价是12元/杯时，售价每降低1元，每天就可多售出20杯．店家为了保证盈利，并要求每天要完成超过100杯的销售任务．（1）试确定每天的销售量y（杯）与售价x（元/杯）之间的函数关系式及售价x的范围；（2）当售价x（元/杯）定为多少时，奶茶店销售此种奶茶所获得的利润W（元）【解答】解：（1）由题意得，y＝60+20（12﹣x）＝﹣20x+300．又∵这种奶茶的售价不能低于6元/杯，并要求每天要完成超过100杯的销售任务，∴x≥6，且﹣20x+300＞100．∴3≤x＜10，且x为整数．答：y与x之间的函数关系式为y﹣20x+300（6≤x＜10，且x为整数）；（2）由题意得：W＝（x﹣4）（﹣20x+300），∴W＝（x﹣7）（﹣20x+300）＝﹣20x2+300x+80x﹣1200＝﹣20x2+380x﹣1200＝﹣20（x﹣）2+605．又∵6≤x＜10，且x为整数，∴当x＝7时，W取最大值．答：当售价x（元/杯）定为9元时，奶茶店销售此种奶茶所获得的利润W（元）最大．23．（12分）如图，已知矩形ABCD中，点E以1cm/s的速度从点A向点D运动（s），连结BE，过点E作EF⊥BE，以EF为直径作⊙O，交BF于点G．（1）求证：∠EBC＝∠EFD；（2）已知AB＝4cm，AD＝6cm，在点E的整个运动过程中，①用含t的代数式表示DF；②连结EG，GD，若DG＝DE【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠ADC＝90°，∴∠AEB＝∠EBC，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∵∠2+∠DEF＝90°，∴∠AEB＝∠EFD，∴∠EBC＝∠EFD；（2）解：①∵∠A＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠EFD，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∵AB＝4，AE＝tcm，∴＝，∴DF＝（cm）；②当DG＝DE时，∠DEG＝∠DGE，∵∠DGE＝∠DFE，∠BFC＝∠DEG，∴∠BFC＝∠DFE，∵∠EDF＝∠C＝90°，∴△EDF∽△BCF，∴＝，∴＝，整理得t2﹣12t+16＝3，∴t2﹣12t+36＝36﹣16，∴（t﹣6）2＝20，∴t1＝6+8（舍去），t2＝6﹣2．经检验t＝8﹣2是分式方程的解．∴t的值为7﹣2．24．（12分）已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣1．（1）求证：不论a为任何实数，函数的图象与x轴都有两个交点；（2）试求：当a为何值时，函数图象与x轴的两个交点之间的距离等于4；（3）当a＞0时，若函数在﹣1≤x≤1上的最大值与最小值的差为a2+2，求a的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣8×1×（﹣1）＝6a2+4＞8，∴不论a为任何实数，函数的图象与x轴都有两个交点；（2）解：设二次函数y＝x2﹣2ax﹣3与x轴的交点为（x1，0），（x8，0），∴x1，x8是方程x2﹣2ax