2025年电气工程学概论习题答案

2025年电气工程学概论习题答案一、已知图1所示电路中，U₁=12V，U₂=6V，R₁=2Ω，R₂=4Ω，R₃=6Ω，R₄=3Ω，其中受控电流源的电流I₀=0.5I₁（I₁为R₁支路电流，方向由a到b）。试求：（1）节点a的电位；（2）受控电流源的功率，并判断其是吸收还是发出功率。（1）采用节点电压法分析，以接地点为参考节点（电位为0），设节点a的电位为Vₐ，节点b的电位为Vᵦ。根据基尔霍夫电流定律（KCL），对节点a列方程：流入节点a的电流之和等于流出电流之和。R₁支路电流I₁=(V₁-Vₐ)/R₁=(12-Vₐ)/2（方向由左向右），R₂支路电流I₂=Vₐ/R₂=Vₐ/4（方向由a到地），受控电流源电流I₀=0.5I₁=0.5×(12-Vₐ)/2=(12-Vₐ)/4（方向由b到a）。对节点a，KCL方程为：I₁=I₂+I₀，即(12-Vₐ)/2=Vₐ/4+(12-Vₐ)/4。两边同乘4消分母得：2(12-Vₐ)=Vₐ+(12-Vₐ)，展开后24-2Vₐ=Vₐ+12-Vₐ→24-2Vₐ=12→2Vₐ=12→Vₐ=6V。（2）求节点b的电位Vᵦ。R₃支路电流I₃=(Vᵦ-U₂)/R₃=(Vᵦ-6)/6（方向由b到右），R₄支路电流I₄=Vᵦ/R₄=Vᵦ/3（方向由b到地）。对节点b列KCL方程：I₀=I₃+I₄，即(12-Vₐ)/4=(Vᵦ-6)/6+Vᵦ/3。代入Vₐ=6，左边=(12-6)/4=6/4=1.5A。右边=(Vᵦ-6)/6+2Vᵦ/6=(3Vᵦ-6)/6=(Vᵦ-2)/2。故1.5=(Vᵦ-2)/2→Vᵦ-2=3→Vᵦ=5V。受控电流源两端电压为Vₐ-Vᵦ=6V-5V=1V（a端电位高于b端），电流方向由b到a（与电压方向相反，即电流从低电位流向高电位）。功率P=U×I=1V×1.5A=1.5W。因电流方向与电压降方向相反（非关联参考方向），故P>0时为发出功率。二、一台三相异步电动机，额定数据为：P_N=11kW，U_N=380V，f=50Hz，n_N=1440r/min，η_N=88%，cosφ_N=0.85，定子绕组Δ形连接。试求：（1）额定电流I_N；（2）额定转差率s_N；（3）额定运行时的转子电流频率f₂；（4）若最大转矩倍数K_m=2.2，求最大转矩T_max。（1）额定功率P_N=√3U_NI_Ncosφ_Nη_N→I_N=P_N/(√3U_Ncosφ_Nη_N)=11×10³/(1.732×380×0.85×0.88)=11000/(1.732×380×0.748)=11000/(488.5)≈22.5A。（2）同步转速n₀=60f/p，n_N=1440r/min接近1500r/min（p=2时n₀=1500），故p=2。转差率s_N=(n₀-n_N)/n₀=(1500-1440)/1500=60/1500=0.04。（3）转子电流频率f₂=s_Nf=0.04×50=2Hz。（4）额定转矩T_N=9550P_N/n_N=9550×11/1440≈73.1N·m。最大转矩T_max=K_mT_N=2.2×73.1≈160.8N·m。三、某110kV单回输电线路，长度L=100km，导线采用LGJ-185型钢芯铝绞线（计算外径d=19mm），三相水平排列，线间距离D=4m。已知导线电阻率ρ=2.85×10⁻⁸Ω·m，相对介电常数εᵣ=1，空气磁导率μ₀=4π×10⁻⁷H/m。试计算：（1）线路每相电阻r₀；（2）线路每相电感l₀；（3）线路每相电容c₀（保留4位有效数字）。（1）电阻r₀=ρ/(S×10⁻⁶)=2.85×10⁻⁸/(185×10⁻⁶)=2.85×10⁻²/185≈0.154Ω/km（注意：实际计算中，LGJ-185的直流电阻约为0.17Ω/km，此处按给定电阻率计算）。总电阻R=r₀L=0.154×100=15.4Ω（若题目要求每相单位长度电阻，则r₀=0.154Ω/km）。（2）电感计算需考虑内电感和外电感。内电感l₀内=μ₀/(8π)=4π×10⁻⁷/(8π)=5×10⁻⁸H/m=0.05mH/km。外电感l₀外=(μ₀/(2π))ln(Dₘ/d)，其中几何均距Dₘ=√[D×D×2D]=D×√2=4×1.414≈5.656m（水平排列时，三相线间距离为D、D、2D，故Dₘ=³√(D×D×2D)=D׳√2≈4×1.26≈5.04m，此处可能存在不同计算方法，以标准公式为准：水平排列三相导线的几何均距Dₘ=³√(D×D×2D)=D×(2)^(1/3)≈4×1.26≈5.04m）。d=19mm=0.019m，故l₀外=(4π×10⁻⁷/(2π))ln(5.04/0.019)=2×10⁻⁷×ln(265.26)=2×10⁻⁷×5.58≈1.116×10⁻⁶H/m=1.116mH/km。每相电感l₀=l₀内+l₀外=0.05+1.116≈1.166mH/km。（3）电容c₀=2πε₀/ln(Dₘ/dₛ)，其中dₛ=d×e^(-1/4)=0.019×0.7788≈0.0148m（考虑导线表面电荷分布的等效半径）。ε₀=8.85×10⁻¹²F/m，故c₀=2π×8.85×10⁻¹²/ln(5.04/0.0148)=5.568×10⁻¹¹/ln(340.5)=5.568×10⁻¹¹/5.83≈9.55×10⁻¹²F/m=9.55nF/km（或按不考虑内电感的简化公式c₀=2πε₀/ln(Dₘ/d)，则d=0.019m，ln(5.04/0.019)=5.58，c₀=2π×8.85e-12/5.58≈1.0×10⁻¹¹F/m=10nF/km，具体数值因计算细节略有差异，需保留4位有效数字则为9.550nF/km）。四、分析单相桥式全控整流电路带阻感负载（L足够大，电流连续）时，触发角为α时的输出电压平均值U_d和电流平均值I_d，并推导当α=60°时，若交流电源电压u₂=U₂√2sinωt，负载电阻R=10Ω，求U_d、I_d及晶闸管的额定电流（考虑1.5~2倍安全裕量）。当L足够大时，负载电流连续且近似为平直波形。输出电压平均值U_d=(2√2U₂/π)cosα（α为触发角，0≤α≤90°）。电流平均值I_d=U_d/R=(2√2U₂/(πR))cosα。当α=60°，cosα=0.5，假设U₂=220V（单相交流电源常见值），则U_d=(2×1.414×220/3.1416)×0.5≈(622.7/3.1416)×0.5≈198.2×0.5=99.1V。I_d=99.1/10=9.91A。晶闸管承受的电流有效值I_T=I_d/√2≈9.91/1.414≈7.01A（因电流连续时，晶闸管导通角为π，电流波形为矩形波，有效值为I_d×√(π/2π)=I_d/√2）。晶闸管额定电流I_T(AV)需按有效值换算，通常晶闸管的额定电流是指通态平均电流，其有效值I_T=1.57I_T(AV)（正弦半波平均值与有效值的关系）。此处实际有效值为7.01A，故I_T(AV)=7.01/1.57≈4.46A。考虑1.5倍安全裕量，额定电流应选4.46×1.5≈6.69A，实际可选10A的晶闸管（标准规格）。五、已知系统开环传递函数为G(s)H(s)=K/[s(s+1)(s+2)]，试：（1）绘制根轨迹的大致形状；（2）确定系统稳定的K值范围；（3）若要求闭环主导极点的阻尼比ζ=0.5，求对应的K值。（1）根轨迹绘制步骤：开环极点p₁=0，p₂=-1，p₃=-2，无零点。实轴上的根轨迹段为(-∞,-2]和[-1,0]。渐近线与实轴夹角θ=(2k+1)π/n=π/3,π,5π/3（k=0,1,2），交点σ_a=(0-1-2)/3=-1。分离点：设闭环特征方程为s³+3s²+2s+K=0，求导得3s²+6s+2=0，解得s=(-6±√(36-24))/6=(-6±√12)/6=(-3±√3)/3≈-0.423或-1.577。其中-0.423在[-1,0]区间内，是分离点；-1.577在(-∞,-2]区间外，舍去。根轨迹从p₁,p₂,p₃出发，实轴段在(-∞,-2]和[-1,0]，分离点后进入复平面，以渐近线π/3和5π/3方向延伸，与虚轴交点可通过劳斯判据确定。（2）系统稳定条件为所有闭环极点实部小于0。特征方程s³+3s²+2s+K=0，列劳斯表：s³|12s²|3Ks¹|(6-K)/30s⁰|K当(6-K)/3>0且K>0时，系统稳定，故0<K<6。（3）主导极点设为s₁,₂=-ζω_n±jω_n√(1-ζ²)，ζ=0.5，故s₁,₂=-0.5ω_n±j(√3/2)ω_n。代入特征方程(s-s₁)(s-s₂)(s+p₃)=0（p₃为第三个极点，因主导极点近似，p₃远小于s₁,₂的实部，可忽略其影响）。展开得(s²+ζω_ns+ω_n²)(s+a)=s³+(a+ζω_n)s²+(aζω_n+ω_n²)s+aω_n²=0。与原特征方程比较系数：a+ζω_n=3→a=3-0.5ω_naζω_n+ω_n²=2→(3-0.5ω_n)×0.5ω_n+ω_n²=2→1.5ω_n-0.25ω_n²+ω_n²=2→0.75ω_n²+1.5ω_n-2=0解得ω_n=[-1.5±√(2.25+6)]/(2×0.75)=[-1.5±√8.25]/1.5≈[-1.5±2.872]/1.5，取正根ω_n≈(1.372)/1.5≈0.915rad/s。则a=3-0.5×0.915≈2.542，K=aω_n²≈2.542×(0.915)²≈2.542×0.837≈2.13。验证：将s=-0.5×0.915±j(√3/2)×0.915≈-0.457±j0.792代入特征方程s³+3s²+2s+K=0，计算模值得K≈2.1，与近似结果一致。六、分析新能源分布式发电（如光伏）接入配电网后对电能质量的影响及应对措施。影响主要体现在：（1）电压波动与闪变：光伏输出受光照强度变化影响，短时间内功率突变会引起并网点电压波动，尤其在弱电网（短路容量小）中更明显；（2）谐波污染：光伏逆变器的开关动作会产生谐波电流，注入电网后导致电压畸变率升高，影响敏感负载；（3）三相不平衡：分布式光伏多为单相接入低压配电网，若三相接入容量不均衡，会加剧三相电压和电流的不平衡度；（4）频率偏差：大规模分布式电源接入后，传统同步发电机的转动惯量占比降低，系统频率调节能力下降，频率波动可能增大。应对措施包括：（1）优化逆变器控制策略：采用自适应控制、虚拟同步机（VSG）技术，模拟同步发电机的惯性和阻尼特性，平滑输出功率，抑制电压波动；（2）加装滤波装置：在并网点配置有源电力滤波器（APF）或静止无功发生器（SVG），动态补偿谐波和无功，改善电能质量；（3）加强接入规划：在分布式电源接入前进行潮流计算和电能质量评估，限制单相接入容量，确保三相平衡；（4）建立微电网协调控制：通过微电网能量管理系统（EMS）实现分布式电源、储能装置和负荷的协调控制，平抑输出波动，提升系统对新能源的消纳能力；（5）升级电网设备：增大配电网短路容量（如更换大截面导线），提高线路传输能力，降低电压波动敏感度；（6）制定严格的接入标准：明确分布式电源的谐波发射限值、电压波动允许范围等技术指标，从源头上控制电能质量问题。七、推导麦克斯韦方程组的积分形式，并说明各方程的物理意义。麦克斯韦方程组积分形式如下：（1）电场的高斯定律：∮_SD·dS=∫_VρdV物理意义：穿过任意闭合曲面的电位移矢量通量等于该闭合曲面内的总电荷量，反映电场是有源场，电荷是电场的源。（2）磁场的高斯定律：∮_SB·dS=0物理意义：穿过任意闭合曲面的磁感应强度通量恒为零，说明磁场是无源场，不存在单独的磁荷（磁单极子）。（3）法拉第电磁感应定律：∮_lE·dl=-d/dt∫_SB·dS物理意义：电场强度沿任意闭合路径的线积分（感应电动势）等于