苏科版数学八年级上册3.3勾股定理的简单应用专项练习【含答案】

苏科版数学八年级上册3.3勾股定理的简单应用专项练习一、折枝问题1．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．52．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（）A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺3．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是多少米？4．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）A．x2=(x−1)C．x2=(x−1)5．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》)题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈①的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺(如图).如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?（①“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺.）6．如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB=DB），已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为多少？二、台风过境问题7．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以10km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？（2）如果在距台风中心B的200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？8．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300m和400m，又AB=500m，飞机中心周围260m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？9．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB=1000m，AC=600m，BC=800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离；（2）若该飞机的速度为14m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭．三、面积问题10．某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB=4m，AD=3m，BC=12m，CD=13m，∠A=90°．（1）求B、D之间的距离；（2）求四边形ABCD的面积．11．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，BD=5km．（1）求支渠AD的长度．（结果保留根号）（2）若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？12．综合与实践问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m，在CD上选取两点强强设计的铺设管道方案如下：方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了∠ABC=90°．（1）施工人员测量的是点与点之间的距离．（2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．（3）若∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．13．（1）问题背景在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5，10，请你将△ABC的面积直接填写在横线上：.（2）思维拓展我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法，若△ABC三边的长分别为5a，22a，（3）探索创新若△ABC三边的长分别为m2+16n四、滑梯、拉绳问题14．如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？15．如图所示，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙24米．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升8米（云梯长度不变），那么云梯底端在水平方向应滑动多少米？16．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）17．春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道靓丽风景线，某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想让风筝沿CD方向下降2米，则他应该往回收线多少米？18．某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE（即MD⊥DE，NE⊥DE）．一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD=7dm，顶端A到地面的距离（1）求梯子AB的长；（2）如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE=20dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长．19．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点B的位置后，关闭发动机，在离水面高度AC为5m的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号）（1）若工作人员以0.7m/s的速度收绳，10s后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少m？（2）若快艇关闭发动机后，保持2m/s的速度匀速靠岸，5s后快艇由点B移动到点E的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少m？20．综合实践【问题情境】

某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7（1）【独立思考】

这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？（2）【深入探究】

消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A'位置上（云梯长度不改变），AA'（3）【问题解决】

在演练中，高24m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的15，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达五、综合题21．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米.（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？22．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“无字证明”图形（如图①）．其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2（1）此图可以推导出你学过的什么定理？请写出定理的内容；（2）图②为美国第二十任总统伽菲尔德创造的“无字证明”图形，请你利用图②推导（1）中的定理．（3）根据（1）中的定理，解决下面的问题：如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？23．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：（1）大正方形的面积为；小正方形的面积为；（2）四个直角三角形的面积和为，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为；（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为.

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】18m4．【答案】C5．【答案】解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为x+1尺.由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺.在Rt△OAC中，由勾股定理，可得A即5解得x=12.12+1=13.因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.6．【答案】解：设CB为h米，∵在Rt△BCD中，BC=h，AB=BD=h+1，CD=3，

∴由勾股定理得：BD2=CD2+BC2，

即h+12=327．【答案】（1）解：由题意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160km，在Rt△ABD中，BD=A∴t=300÷10=30，答：台风中心经过30h从B点移到D点；（2）解：如图，在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，∵AD⊥BC，∴DE=DF，在Rt△AED中，ED=A∴EF=2ED=240km，∴t=240÷10=24，答：A市受到台风影响的时间持续24h．8．【答案】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，

如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，

∵AC=300m，BC=400m，AB=500m，

∴AC2+BC2=5002，AB2=5002

∴AC2+BC2=AB2（2）解：能，理由如下：

如图，以点C为圆心，260m为半径作圆，交AB于点E，F．

则CE=CF=260，

在Rt△CDE中，

ED=CE2−CD2=2602−2402=100，

∵CE=CF，CD⊥AB，

9．【答案】（1）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵AB=1000m，AC=600m，BC=800m，∴AC2+B∴AC∴△ABC是直角三角形，∴S∴CD=600×800∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，480<500，∴着火点C受洒水影响；（2）解：如图，当EC=FC=500m时，飞机正好喷到着火点C，∴ED=DE，在Rt△CDE中，ED=C∴EF=2ED=280m．∵飞机的速度为14m/s，∴280÷14=20(s)，∵20秒>15秒，

∴着火点C能被扑灭．答：着火点C能被扑灭．10．【答案】（1）解：连接BD，∵∠A=90°，∴BD===5m答：B、D之间的距离为5m；（2）解：∵5∴BD∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD=90°，∴四边形ABCD的面积===36(cm答：四边形ABCD的面积为36cm11．【答案】（1）解：由题意可知：AC⊥CB，∴∠C=90°，∵AC=6km，AB=10km，∴BC=A∴CD=BC−BD=8−5=3km，∴AD=A答：公路AD的长度为35​​​​​​（2）∵AC⊥BC，DH⊥AB，

∴S△ABD=12BD⋅AC=12AB⋅DH，

∴BD⋅AC=AB⋅DH，

12．【答案】（1）A；C（2）解：∵AD2+A∴AD∴∠DAC=90°，∴S△DAC∴S∴四边形ABCD的面积=60+53=114(m∴建造绿化地的费用100×114=11400（元）；（3）解：∵∠EGF=90°,EF=10m,EG=8m，∴FG=∵GH⊥EF，∴S△EGF∴HG=∴求得方案一：铺设管道所花的费用=(6+8)×50=700（元），方案二：铺设管道所花的费用=(10+24∵740>700∴铺设管道所需的最少费用为700元．13．【答案】（1）7（2）解：△ABC如图所示(位置不唯一)，S△ABC=2a×4a−（3）解：构造△ABC如图所示，S△ABC14．【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有12米高（2）当梯子的顶端下滑5米时，梯子的底端在水平方向后移了23015．【答案】（1）解：由题意得：AC=25米，BC=24米，则AB=A答：这个梯子的顶端距地面有7米；（2）解：由题意得：EA=8米，DE=AC=25米，则BE=15米，

BD=DE2−BE2=20（米），

∵BC=2416．【答案】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，∴AB=B∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD=17−1×7=10（米），∴AD=C∴BD=AB−AD=15−6=9（米），答：船向岸边移动了9米．17．【答案】（1）解：如图，在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD所以，CD=12（负值舍去），所以，CE=CD+DE=12+1.5=13.5（米)，答：风筝的高度CE为13.5米；（2）解：如图，由题意得，CM=2，∴DM=12−2=10，∴BM=DM2∴BC−BM=13−55（米∴他应该往回收线13−5518．【答案】（1）AB=25dm（2）DE=22dm19．【答案】（1）11（2）(13−20．【答案】（1）解：根据题意，AC=A∴这架云梯顶端距地面的距离AC的高为24m（2）解：A'B'∴B'