2021北京高一数学上学期期末汇编：集合与常用逻辑语解答题

1/12021北京高一数学上学期期末汇编：集合与常用逻辑语解答题一、解答题1．（2021·北京·清华附中高一期末）已知n为不小于3的正整数，记对于中的两个元素，，定义为，，…，中的最小值.（Ⅰ）当时，，，，求的值；（Ⅱ）若，为中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合.（Ⅲ）若，且对于任意的，均有，求L的最小值.2．（2021·北京二中高一期末）已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.3．（2021·北京·高一期末）已知集合.对于，定义：与的差为；与之间的距离为.（1）当时，设，求；（2）若对于任意的，有，求的值并证明：.4．（2021·北京市第六十六中学高一期末）已知全集，或，.（I）当时，求，，；（II）若，求实数a的取值范围.5．（2021·北京石景山·高一期末）已知集合，或，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求．6．（2021·北京高一期末（理））设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.（1）若集合，求集合的“耦合集”；（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；（3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.7．（2021·北京顺义·高一期末）已知集合，，.（1）求，；（2）若，求实数a的取值范围.8．（2021·北京市第八中学京西校区高一期末）已知M是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何(其中为函数的定义域)，均有成立.（1）已知函数，判断与集合M的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a，使得属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数，用表示集合M中定义域为区间的函数的集合，定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数T称为的“绝对差上界”，T的最小值称为的“绝对差上确界”，符号.求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.9．（2021·北京市第八中学京西校区高一期末）已知集合A是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数.使得成立.（1）判断幂函数是否属于集合A，并说明理由；（2）设，，若，求a的取值范围；

2021北京高一数学上学期期末汇编：集合与常用逻辑语解答题参考答案1．（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）利用定义计算即得;（Ⅱ）根据定义和条件得到不等式组，求解即得;（Ⅲ）先找一特例，使得,然后证明不可能更大即可.【详解】（Ⅰ），，，,=；（Ⅱ）若，，，,或.,解得或,即实数b的所有可能取值构成的集合;（Ⅲ）若，且对于任意的，均有，当时，，所以.若存在,使得,则,矛盾.所以L的最小值.【点睛】本题考查集合的新定义问题，关键是构造与证明相结合的思想方法.2．（1）；（2）.【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得集合；（2）对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）对于函数，，可得，解得，因此，；（2）由，可得.①当时，则有，解得，即，此时成立；②当时，因为，解不等式可得，即，因为，则，即，解得；③当时，，解不等式可得或，即或，此时成立；④当时，则有，解得，即，此时成立；⑤当时，，解不等式可得或，即或，此时成立.综上所述，实数的取值范围是.3．（1）；；（2）；证明见解析.【分析】（1）直接代入计算和；（2）根据，都有或，可计算得；然后表示出，分别讨论与两种情况.【详解】（1）；；（2）证明：因为，，所以对于任意的，即对，都有或，所以得.设则，当时，；当时，.所以【点睛】解答该题的关键是需要注意理解并表示出，然后代入化简判断与两种情况.4．（I），或，；（II）或【分析】（I）利用集合的交并补运算的定义求解即可；（II），即，列不等式可得实数a的取值范围．【详解】（I）当时，或，，则，或，，；（II），即则或，即实数a的取值范围是或5．（1）（2）【分析】（1）根据交集直接能算；（2）根据补集、并集运算求解.【详解】（1）因为，或，所以（2）由或，知，所以.6．（1）；（2）证明见详解；（3）5个【分析】（1）根据“耦合集”定义可得.（2）由条件②可知的可能元素为：；由条件③可知得同理其它比得证；（3）由（2）知得即，同理，故共5个元素.【详解】解：（1）由已知条件②得的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以；（2）证明：因为，由已知条件②得的可能元素为：，由条件③可知得，同理得，所以对于任意，有；（3）因为，由（2）知得即，同理，所以，又因为的可能元素为：，所以共5个元素.【点睛】解题关键是正确理解“耦合集”的定义.7．（1），（2）【分析】（1）由交集和并集运算直接求解即可.

（2）由，则【详解】(1)由集合，则，（2）若，则，所以8．（1），理由见解析；（2）存在，（3）证明见解析；【分析】（1）利用已知条件，通过任取，证明成立，说明属于集合；（2）若，则有，然后可求出当时，；（3）直接利用新定义加以证明，并求出的“绝对差上确界的值．【详解】解：（1）设，则，，，，函数属于集合；（2）若函数，属于集合，则当时，恒成立，即，对恒成立，，对恒成立，，，，解得：，存在实数，使得，属于集合，且实数的取值范围为；（3）取，则对区间的任意划分：，和式，集合中的函数是“绝对差有界函数”，且的“绝对差上确界”．【点睛】本题考查新信息问题，考查阅读理解和应用能力，具有一定的综合性，解题的关键是弄懂给出的定义，解题时始终要围绕着给出的定义进行验证、求解等．9．（1）,理由见解析；（2）【分析】（1）令，得出方程，解出判断即可；（2）先根据复合函数的单调性判断出的单调性，再根据得到，以及，化简得到，令，根据的范围，求出的范围，原式等价于有一个根，求解即可.【详解】解：（1）,理由如下：令，，即，化简得：，解得：或，即在定义域内存在实数，使得成立；故；（2），在上单调递增，在上单调递增，在上单调