2021北京重点校高一（上）期中数学汇编：函数的概念与性质2

第1页/共1页2021北京重点校高一（上）期中数学汇编函数的概念与性质2一、单选题1．（2021·北京·清华附中高一期中）已知函数，那么（

）A． B． C． D．2．（2021·北京·清华附中高一期中）下列函数中，值域为且为奇函数的是（

）A． B． C． D．3．（2021·北京八十中高一期中）下列函数中是偶函数的是（

）A． B．C． D．4．（2021·北京·101中学高一期中）设是奇函数，且在上是减函数，，则的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或5．（2021·北京市第九中学高一期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，6．（2021·北京十五中高一期中）若函数为偶函数，则下列结论正确的是（

）A．f(2a)>f(a)>f(0) B．f(2a)>f(0)>f(a)C．f(a)>f(2a)>f(0) D．f(a)>f(0)>f(2a)7．（2021·北京·景山学校高一期中）已知函数是上的减函数，则a的范围是（

）A． B． C． D．8．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）下列函数中在上单调递增的是（

）A． B． C． D．9．（2021·北京·人大附中高一期中）下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（

）A． B．C． D．10．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期中）下列各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，二、填空题11．（2021·北京十五中高一期中）若函数=x2+，则f(1)=___________.12．（2021·北京八十中高一期中）写出函数的单调递增区间________．13．（2021·北京市第九中学高一期中）函数的定义域是________．14．（2021·北京八十中高一期中）已知，若对，使得，则实数m的取值范围是________．15．（2021·北京·景山学校高一期中）已知，则的解析式为___________.16．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论：①在上单调递减；②存在，使得；③不等式的解集为；④关于的方程的解集中所有元素之和为.其中所有正确结论的序号是___________.17．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）函数的定义域为___________.18．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期中）函数的定义域是___________.三、解答题19．（2021·北京十五中高一期中）设函数.(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)用定义证明函数在区间上是单调减函数；(3)求函数在区间值域.20．（2021·北京十五中高一期中）已知二次函数=ax2+bx+c.(1)若f(﹣1)=0，试判断函数零点个数；(2)是否存在a，b，c∈R，使同时满足以下条件①当x=﹣1时，函数有最小值0；②对任意x∈R，都有；21．（2021·北京·101中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)若实数满足不等式，求的取值范围22．（2021·北京·101中学高一期中）已知二次函数满足：①；②当时，函数取得最小值2.(1)求的解析式；(2)记.①若是定义域上的单调函数，求在的取值范围；②记的最小值为，求方程的解集.23．（2021·北京市第九中学高一期中）已知函数．(1)判断该函数在上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间上的最大值和最小值．24．（2021·北京·景山学校高一期中）若非零函数对任意实数a，b均有，且当时，.(1)求证：；(2)求证：为减函数；(3)当时，解不等式.25．（2021·北京·景山学校高一期中）已知函数.(1)求的值；(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明.26．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知函数，（其中）.(1)若对任意，都有恒成立，求的值；(2)设关于x的函数的最小值为.①若，解不等式，并直接写出的值；②试判断是否为的函数？若是，直接写出的函数表达式（用分段函数形式表示）；若不是，说明理由.27．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）函数为定义在上的奇函数，已知当时，.(1)当时，求的解析式；(2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；(3)若，求的取值范围.28．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；（3）在（2）成立的条件下，解不等式.四、双空题29．（2021·北京市第九中学高一期中）已知函数，则________，的值域为________．30．（2021·北京市第九中学高一期中）已知函数，则________，________．

参考答案1．D【分析】把看作一个整体代入【详解】因为，把看作一个整体代入，得：故选：D2．C【分析】利用基本初等函数的奇偶性与值域可判断各选项.【详解】对于A，函数为偶函数，值域为，不满足条件；对于B，函数为非奇非偶函数，值域为，不满足条件；对于C，令，该函数的定义域为，，函数为奇函数，当时，，当时，，所以，函数的值域为，满足条件；对于D，函数为奇函数，值域为，不满足条件.故选：C.3．B【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A，因为函数的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A不符题意；对于B，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，故B符合题意；对于C，函数的定义域为，，所以函数不是偶函数，故C不符题意；对于D，函数的定义域为，因为，所以函数不是偶函数，故D不符题意.故选：B.4．D【分析】讨论和两种情况，结合单调性以及奇偶性解不等式即可.【详解】当时，得出，因为在上是减函数，所以；当时，得出，因为在上是减函数，所以即的解集是或故选：D5．B【分析】分别判断各个选项中两个函数的定义域和解析式是否相同，从而得到结果.【详解】对于A，定义域为，定义域为，与不是同一函数，A错误；对于B，与定义域均为，且，与是同一函数，B正确；对于C，定义域为，定义域为，与不是同一函数，C错误；对于D，定义域为，定义域为，与不是同一函数，D错误.故选：B.6．A【分析】根据函数的奇偶性求解参数a的值，再根据函数在上的单调性即可得出答案.【详解】根据题意，时，此时，根据可得，故又时，，在上为单调增函数，选项A正确.故选：A.7．A【分析】分段函数是上的减函数，不仅需要每一段是单调递减的，还需要左边一段的最低不高于右边一段的最高，据此列不等式求解即可.【详解】函数是上的减函数,则，解得故选：A.8．B【分析】由函数的单调性逐一判断即可求解【详解】对于A：在上单调递减，故A错误；对于B：在上单调递增，故B正确；对于C：在上单调递增，故C错误；对于D：在上单调递减，故D错误；故选：B9．C【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．【详解】对于，其对应函数的值域不是，错误；对于，图象中存在一部分与轴垂直，即此时对应的值不唯一，该图象不是函数的图象，错误；对于，其对应函数的定义域为，值域是，正确；对于，图象不满足一个对应唯一的，该图象不是函数的图象，错误；故选：．10．D【分析】确定函数的定义域是否相同，再判断对应法则是否相同即可得．【详解】首先四个选项中，函数或的定义域都是，而中定义域是，中定义域是，不合题意，C中与的对应法则不相同，不是同一函数，D中，定义域是，两个函数对应法则都是取绝对值，因此是同一函数．故选：D．11．2【分析】将x=1代入函数解析式求解.【详解】因为函数=x2+，所以，故答案为：212．和【分析】先化简函数函数得，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详解】由题意，函数，作出函数的图象如图所示：由图象知，函数的单调递增区间是和．故答案为：和13．【分析】满足函数有意义的条件，即，解得定义域.【详解】由题知，，解得或，故函数的定义域为：故答案为：14．【分析】根据对，使得，由求解.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为4，当，即时，，因为对，使得，所以，解得，此时；当，即时，，因为对，使得，所以，解得，此时；当，即时，，因为对，使得，所以，解得，此时；综上：实数m的取值范围是，故答案为：15．【分析】换元法求解析式即可.【详解】令，则，所以，因此，故答案为：.16．①③④【分析】由函数的奇偶性与单调性可判断①②③，令，则有，从而可求出，进而求出，即可判断④【详解】因为定义在上的偶函数在上单调，且，，因为，所以在上单调递增，所以在上单调递减，故①正确；因为偶函数在上单调递增，所以时，，故②错误；偶函数在上单调递增，，，由可得，所以，解得或，故③正确；令，则，可化为，解得或，即或，所以或，解得或或或，关于的方程的解集中所有元素之和为，故④正确.故答案为：①③④17．【分析】函数的定义域满足，解得答案.【详解】函数的定义域满足：，解得.故答案为：.18．【分析】要使函数有意义，则有，解出即可.【详解】要使函数有意义，则有，解得且所以函数的定义域是故答案为：19．(1)非奇非偶函数，证明见解析；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性；（2）利用定义法证明函数的单调性即可；（3）由（2）可知函数在区间上单调递减，从而求出函数的最值，即可求出函数的值域；(1)解：为非奇非偶函数，证明：因为，所以，解得，即函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数；(2)证明：任取，，且，，，所以，，所以，即，所以函数在上是减函数．(3)解：由（2）可知在上单调递减，所以，，所以20．(1)详见解析；(2)存在.【分析】（1）根据f(﹣1)=0，得到，再利用判别式法判断；（2）由x=﹣1时，函数有最小值0，得到，再由对任意x∈R，都有，令求解后验证即可.(1)解：因为f(﹣1)=0，所以，即，则，当时，函数有一个零点；当时，函数有二个零点；(2)因为当x=﹣1时，函数有最小值0，所以，即，；又因为对任意x∈R，都有；当时，，即，由，解得，此时，则，满足对任意x∈R，都有故存在a，b，c∈R，使同时满足以下条件①②.21．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由求得，再由求得，得解析式；（2）用增函数的定义证明；（3）由奇函数性质变形不等式，再由单调性化简后可得结论．(1)因为函数是定义在上的奇函数，所以，，又，所以，，满足．所以；(2)设，则，，，所以，即，所以是增函数；(3)不等式化为，是奇函数，所以，又是增函数且，所以，解得．所以的取值范围是．22．(1)(2)①；②【分析】（1）依题意设，，再根据，代入求出，即可求出函数解析式；（2）①首先求出的解析式，求出函数的对称轴，函数在区间单调，则对称轴不在区间内，即可得到不等式，解得即可；②根据对称轴与区间的位置分类讨论，求出函数的最小值，即可得到的解析式，再分类讨论计算可得；(1)解：依题意设，，又，所以，解得，所以；(2)解：①因为，所以，对称轴为，开口向上，所以或，解得或，即；②因为，对称轴为，开口向上，当，即时；当，即时；当，即时；所以，所以的图象如下所示：因为，所以或或解得或即的解集为23．(1)单调递减；证明见解析；(2)最大值为4；最小值为.【分析】（1）根据单调性定义判断函数单调性即可；（2）根据（1）中单调性结论，求得函数在区间内的最值.(1)函数在上单调递减，证明如下：取任意，由知，，，，故，即函数在上单调递减.(2)由（1）知函数在上单调递减，则在区间上的最大值为，最小值为.24．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）令,代入等式中,根据题意可以证明出；（2）根据单调性的定义,结合等式,利用(1)中的结论可以证明出为减函数；（3）结合等式,利用(2)中的结论,可以求出不等式的解集.(1),又∵,；(2)任取,,则,又∵为非零函数∴,∵,∴,∴为减函数(3)∵,,∴∴原不等式转化为,由（2）可知为减函数,∴,∴,故所求不等式的解集为.25．(1)(2)函数在区间上单调递增，证明见解析.【分析】（1）根据函数解析式代入计算即可求出结果；（2）设，且，做差，然后因式分解判断符号，结合函数单调性的定义即可得出结论.(1)因为，所以；(2)设，且，而因为，所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增.26．(1)(2)①，；②【分析】（1）根据题意得到不等式，计算得到答案.（2）①解不等式得到，画出函数图像，根据图像得到最值.②解不等式，讨论，，三种情况，根据二次函数性质计算最值得到答案.(1)对任意，都有恒成立，即，即，，即.(2)①若，，即，解得.故，画出函数图像，根据图像知.②，即，，当时，，；当时，；当时，；时，；当时，不等式恒成立，故，；当时，，.；综上所述：27．(1)；(2)在上的单调递增，证明见解析；(3)【分析】（1）由奇偶性的定义结合已知求解即可；（2）先判断，再用单调性的定义证明即可；（3）由函数的奇偶性与单调性求解即可(1)函数为定义在上的奇函数，时，.当时，，所以，所以时，求的解析式为；(2)在上的单调递增；证明：设，则，因为，所以，，即，所以在上的单调递增；(3)因为函数为定义在上的奇函数，且在上的单调递增，所以函数在上单调递增，由得，所以，解得，所以的取值范围是28．（1）奇函数，证明见解析；（2）单调增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）先求函数的定义域，再判断与的关系，即可得到答案；（2）任取，作差判