高二数学（人教A版）试题选择性必修二全册综合检测

全册综合检测A卷——基本知能盘查(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a9+a12=12,则S20=()A.240 B.60C.180 D.1202.已知数列{an}是等比数列,且a5=12,a17=3,则a11=()A.3 B.6C.3或3 D.6或63.已知函数f(x)=f'π4cos2x+sinx,则f(x)在x=π4处的导数为(A.26 B.C.22 D.4.已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和为Sn,若a2是a1与a5的等比中项,则S7等于()A.108 B.64C.49 D.485.已知f(x)=x3ax在[1,+∞)上单调递增,则a的最大值是()A.0 B.1C.2 D.36.若直线y=ax与y=lnx存在两个公共点,则实数a的取值范围为()A.−∞,1eln2C.0,1e D7.若对于任意的0<x1<x2<a,都有x2lnx1−x1lnx2A.1 B.eC.1e D.8.设数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,且(n+1)·Sn+1=(n+1)Sn+(n+2)an,若存在n∈N*,使得2Sn+22≤kan成立,则实数k的最小值为()A.45+1 B.8C.323 D.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是()A.若f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1B.若y=sin(x+1),则y'=cosxC.若y=1x,则y'=D.一质点A沿直线运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y=f(t)=t2+2t,则该质点在t=2s时的瞬时速度是6m/s10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an1−2ann∈N∗,数列{bn}满足bn=anan+1.记数列{bn}的前nA.a3=3 B.数列1aC.Sn<12 D.Sn≥11.著名的冰雹猜想,又称角谷猜想,它是指任何一个正整数x,若x是奇数,则先乘以3再加上1;如果是偶数,就除以2.这样经过若干次变换后,最终一定得1,若x是数列an=3n+1或bn=4n中的项,则下列说法正确的是()A.若x=a5,则需要4次变换得到1B.若x=b5,则需要7次变换得到1C.{an}中的项变换成1的次数一定少于{bn}中的项变换成1的次数D.存在正整数k,使得ak与bk的变换次数相同三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)12.已知{an}是等比数列,若公比为12,且2a1+a2=1,则a1=13.盐城沿海滩涂湿地现已发现高等植物559种、动物1665种,经研究发现其中某生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型N(t)=21+e−rt刻画,其中r是该种群的内禀增长率,若r=0.08,则t=0时,N(t14.在数列{an}中,a1=1,an+an+1=en,其中e是自然对数的底数,令Sn=a1+1ea2+1e2a3+…+1en−1an,四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分)已知公差为3的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=2a7.(1)求an;(2)若bn=(1)nan,记Tn=b1+b2+…+bn,求T20的值.16.(15分)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(1)n+1·4nanan+1,求{bn}17.(15分)(2024·全国甲卷)已知函数f(x)=a(x1)lnx+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a≤2时,证明:当x>1时,f(x)<ex1恒成立.18.(17分)已知函数f(x)=ex(a+1)x(其中e为自然对数的底数).(1)当a=0时,试求函数在[e,e]上的最值;(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N*,证明:1+12+13+…+1n>ln(n19.(17分)各项均为正数的数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,且(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1对一切n∈N*都成立.(1)求数列{an}的通项公式;(2)在ak和ak+1之间插入k个数,使这k+2个数组成等差数列,将插入的k个数之和记为ck,其中k=1,2,…,n.求数列{cn}的前n项和.B卷——高考能力达标(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=2x+1在[1,2]上的平均变化率是()A.212 B.C.76 D.2.已知函数f(x)=2x+1x,设f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'(1)的值为()A.1 B.2C.3 D.43.等比数列{an}的各项均为正数,已知a3=1,a4+a5=6,则公比q=()A.3或2 B.2C.2或3 D.34.中国古代数学名著《九章算术》中的“蒲莞生长”是一道名题,根据该问题我们改编一题:今有蒲草第一天长为三尺,莞草第一天长为一尺,以后蒲草的生长长度逐天减半,莞草的生长长度逐天加倍,现问几天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍,以下给出了问题的四个解,其精确度最高的是(结果保留一位小数,参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)()A.2.6日 B.3.0日C.3.6日 D.4.0日5.若曲线y=xlnx在P点处的切线平行于直线2xy+1=0,则P点的坐标为()A.(1,1) B.(e,1)C.(e,e) D.(1,0)6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状,后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,……,则第六层球的个数为()A.15 B.18C.20 D.217.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(2)=0,当x>0时,xf'(x)f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(∞,2)∪(0,2)B.(2,0)∪(2,+∞)C.(∞,2)∪(2,0)D.(0,2)∪(2,+∞)8.已知函数f(x)=x2−1,g(x)=sinx,a>b≥1,c>d>0,若f(a)f(b)=π,g(c)g(d)=π10,则(A.a+dbc>9π10 B.a+dbc<C.a+cbd>11π10 D.a+cbd<二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知等比数列{an},a1=1,q=2,则()A.数列1aB.数列1aC.数列{log2an}是等差数列D.数列{log2an}是递增数列10.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,且a1,a4,a6成等比数列,则()A.a10=0B.S20=0C.当d<0时,Sn的最大值是S9或S10D.当d>0时,Sn的最小值是S9或S1011.已知函数f(x)=x2lnx,则()A.f(x)≤0恒成立B.f(x)是(0,+∞)上的减函数C.f(x)在x=e−1D.f(x)在区间1e三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)12.已知等比数列{an}的公比q=12,则a1+13.已知数列{an}满足an+1=an2an+1(n∈N*),a5=110,14.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处的切线方程为.由导数的几何意义可知,当x无限接近于0时,ln(1+x)x的值无限接近于1.于是,当x无限接近于+∞时,1+四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分)已知函数f(x)=13x3ax2+10x(x∈R)(1)若a=3,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,试求a的取值范围.16.(15分)记Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1,an≠0,且anan+1=4Sn+1,n∈N*.(1)记bn=a2n,求数列{bn}的通项公式;(2)求S20.17.(15分)已知函数f(x)=(x1)lnx+(a1)x2.(1)当a=0时,讨论f'(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.18.(17分)已知函数f(x)=(xa)2(xb)(a,b∈R,a<b).(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.是否存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列?若存在,求出x4;若不存在,请说明理由.19.(17分)已知函数f(x)=exsinx.(e是自然对数的底数)(1)求f(x)的单调递减区间;(2)记g(x)=f(x)ax,若0<a≤1,试讨论g(x)在(0,π)上的零点个数.全册综合检测A卷——基本知能盘查1.选DS20=20(a1+a20)2=10(a9+a2.选B设等比数列{an}的公比为q(q≠0),∵a5=12,a17=3,∴a112=a5a17=36,∴a11=±6,又∵a11=a5q6=12q6>0,∴a11=6.故选3.选A由已知可得f'(x)=2f'π4sin2x+cosx,所以f'π4=2f'π4sin2×π4+cosπ4,所以f'π4.选C由题意知等差数列{an}的公差为2,因为a2是a1与a5的等比中项,可得a22=a1a5,即(a1+2)2=a1(a1+8),解得a1=1,所以S7=7a1+7×62d=7×1+7×62×2=495.选D∵f(x)=x3ax在[1,+∞)上单调递增,∴f'(x)=3x2a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2.∵x∈[1,+∞)时,3x2≥3恒成立,∴a≤3,∴a的最大值是3.故选D.6.选C由题可知ax=lnx有两个不等正根,所以a=lnxx有两个不等正根.设h(x)=lnxx,x>0,则h'(x)=1−lnxx2.由h'(x)>0可得x∈(0,e),h(x)单调递增;由h'(x)<0可得x∈(e,+∞),h(x)单调递减且恒大于0,且作出函数h(x)=lnxx,x>0和y=a的大致图象如图所示.由图象可知当a∈0,1e时,a=lnx7.选C∵0<x1<x2<a,∴x1x2<0,∴x2lnx1x1lnx2<2(x1x2),∴lnx1x1lnx2x2<2x22x1,∴lnx1+2x1<lnx2+2x2,∴函数f(x)=lnx+2x在定义域(0,a)内单调递增,∴f'(x)=1−(lnx+2)x2=−ln8.选D由(n+1)Sn+1=(n+1)Sn+(n+2)an,得(n+1)an+1=(n+1)Sn+1(n+1)Sn=(n+2)an,则有an+1n+2=ann+1对任意n∈N*成立,又a2=3,则ann+1=a23=1,故an=n+1,且an+1an=(n+2)(n+1)=1,则数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,则Sn=n(2+n+1)2=n(n+3)2.由2Sn+22≤kan,得n(n+3)+22≤k(n+1),分离参数得,k≥n(n+3)+22n+1,令n+1=t(t≥2,t∈N*),则g(t)=t2+t+20t=t+20t+1.令g(x)=x+20x+1(x>0),则g'(x)=120x2=x2−20x2,当x∈0,25时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈25,+∞时,g'(x)>0,g(x)单调递增.由t≥2,t∈N*,得当t≤4时,g(2)>g(3)>g(4),当t≥5时,恒有g(t)<g(t+1),又g(4)=g(5)=10,故g(t9.选AD对于A,f'(x)=lnx+x·1x=lnx+1,故A正确;对于B,若y=sin(x+1),则y'=cos(x+1),故B错误;对于C,若y=1x,则y'=1x2,故C错误;对于D,若f(t)=t2+2t,f'(t)=2t+2,f'(2)=6,故该质点在t=2s时的瞬时速度是6m/s,故D正确10.选BC由题意得1an+1=1−2anan=1an2,即1an+11an=2n∈N∗,所以数列1an是以1a1=1为首项,d=2为公差的等差数列,故B正确;由以上可知1an=12(n1)=32n,所以an=13−2nn∈N∗,从而a3=13,故A错误;而bn=anan+1=13−2n·11−2n=11.选ABD对于A,x=a5=16,变化过程为16→8→4→2→1,4次变换得到1,A正确;对于B,x=b5=20,变化过程为20→10→5→16→8→4→2→1,7次变换得到1,B正确;对于C,举例说明,当n=2时,a2=7,变化过程为7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1,16次变换得到1;b2=8,变化过程为8→4→2→1,3次变换得到1,C错误;对于D,举例说明,当k=1时,a1=b1=4,变换次数相同,D正确.故选ABD.12.解析:由等比数列{an}的公比为12,且2a1+a2=1,可得2a1+a1q=2a1+12a1=1,解得a1=答案:213.解析:当r=0.08时,N(t)=21+e−0.08t,则N'(t)=0.16e−0.08t(1+e−0.08t)2,则t=0时,N(答案:0.0414.解析:由Sn=a1+1ea2+1e2a3+…+1en−1an,得eSn=ea1+a2+1ea3+…+1en−2an,则(1+e)Sn=ea1+(a1+a2)+1e(a2+a3)+…+1en−2(an1+an)+1答案:1n15.解:(1)因为公差为3的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=2a7,所以5a1+5×42×3=5a1+30=2(a1+6×3)=2a1+36,解得a1=2所以an=2+3(n1)=3n1(n∈N*).(2)由题意b2k1+b2k=(1)2k1a2k1+(1)2ka2k=a2ka2k1=d=3(k∈N*),所以T20=(b1+b2)+…+(b19+b20)=3×10=30.16.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,又a1=1,则a2=a1+d=1+d,a5=a1+4d=1+4d,因为a1,a2,a5成等比数列,所以a22=a1a5,即(1+d)2=1×(1+4d),得d22d又因为{an}是公差不为零的等差数列,所以d=2,即an=a1+(n1)d=1+(n1)×2=2n1.(2)由(1)知bn=(1)n+1·4nanan+1=(1)n+1·4n(2T1012=b1+b2+b3+b4+…+b1011+b1012=1+1313+15+15+17117.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a1x=ax当a≤0时,f'(x)=ax−1x<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,x∈1a,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈0,1a时,f'(x)<0综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,当a>0时,f(x)在1a,+∞上单调递增,在(2)证明:当a≤2,且x>1时,ex1f(x)=ex1a(x1)+lnx1≥ex12x+1+lnx.令g(x)=ex12x+1+lnx(x>1),下证g(x)>0即可.g'(x)=ex12+1x,令h(x)=g'(x),则h'(x)=ex11显然h'(x)在(1,+∞)上单调递增,则h'(x)>h'(1)=e01=0,即g'(x)=h(x)在(1,+∞)上单调递增,故g'(x)>g'(1)=e02+1=0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,故g(x)>g(1)=e02+1+ln1=0,问题得证.18.解:(1)当a=0时,f(x)=exx,f'(x)=ex1,当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以函数f(x)在[e,0]内单调递减,在[0,e]内单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=e00=1,易知f(e)=eee>f(e)=ee+e=1ee+e,则最大值为f(e)=ee(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≥0恒成立,即ex≥(a+1)x恒成立.当x∈(0,+∞)时,a≤exx1令g(x)=exx1(x>0),则g'(x)=(x−1)e令g'(x)>0,则x>1,令g'(x)<0,则0<x<1,所以g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增.所以x=1时,g(x)取最小值e1,所以a∈(∞,e1].当x∈(∞,0]时,若a≥1时,ex≥(a+1)x恒成立;若a<1,取x=1a+1<0,则e1a+1<1显然不满足题意,综上,a∈[1,e1].(3)证明:在(2)中,令a=e1可知对任意实数x都有ex≥ex,当x=1时取等号,两边同量取对数得x≥1+lnx,当x=1时取等号,故lnx≤x1⇒ln(x+1)≤x(当x=0时取等号),所以ln1n+1<1n⇒lnn+1n<1n则ln21+ln32+ln43+…+lnn+1n<11+12+13+…+1n(n∈N*),即1+12+119.解:(1)由(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1,得Sn+1+1an+1=Sn+1an,所以Sn+1an=S1+1a1=a1+1a1=2,所以所以an=SnSn1=2an1(2an11)=2an2an1,所以an=2an1,所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n1.(2)由已知在ak和ak+1之间插入k个数,这k+2个数组成等差数列,所以ck=(ak+ak+1)k2设数列{cn}的前n项和为Tn,则Tn=32×1×20+32×2×21+32×3×22+…+32(n1)·2n2+322Tn=32×1×21+32×2×22+32×3×23+…+32(n1)·2n1+3所以Tn=32×1×20+32×21+32×22+…+32×2n2+32×2n132n·2n=32·20(1−2n)1−232n·所以Tn=32[(n1)·2n+1]B卷——高考能力达标1.选C由题意得平均变化率为f(2)−f(−1)2−(−1)=22+1−2.选A函数f(x)=2x+1x,求导得f'(x)=21x2,所以f'(1)=1.3.选B设等比数列的首项为a1,由题意,得a1>0,q>0,因为a3=1,a4+a5=6,所以a1q2=1,a1q3+a1q4=6,所以q2+q=6,4.选C由题意可知蒲草的生长长度是首项为3,公比为12的等比数列,莞草的生长长度是首项为1,公比为2的等比数列,设n天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍,则由等比数列前n项和公式,得1×(1−2n)1−2=2×3×1−12n1−12,解得2n=12.∴n=log212=log2(3×225.选Cy=xlnx,y'=lnx+1,设P点坐标为(x0,y0),则有lnx0+1=2,x0=e,则y0=x0lnx0=elne=e,所以P点的坐标为(e,e).故选C.6.选D根据题意,设各层球的个数构成数列{an},由题意可知,a1=1,a2=a1+2=1+2,a3=a2+3=1+2+3,…,an=an1+n=1+2+3+…+n,则有an=n(n+1)2,故第六层球的个数a6=6×727.选A令g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf'(x)−f(x)x2<0(x>0),g(2)=0,因为f(x)为奇函数,所以g(x)为偶函数,且在(∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,g(2)=g(2)=0,因此x>0,f(x)>0⇒g(x)>0=g(2)⇒0<x2.x2<0,f(x)>0⇒g(x)<0=g(2)⇒x<2,因此使得f(x)>0成立的x的取值范围是(∞8.选B设F(x)=xf(x)=xx2−1(x≥1),则F(x)=1x+x2−1在[1,+∞)上单调递减,因为a>b≥1,故F(a)<F(b),即af(a)<bf(b),所以ab<f(a)f(b)=π,设G(x)=xg(x)=xsinx(x>0),则G'(x)=1cosx≥0,故G(x)=xg(x)在(0,+∞)上单调递增,因为c>d>0,故G(c)>G(d),即cg(c)>dg(d),所以cd>g(c)g(d)=π10,由于ab<π,cd>π10,故dc<π10,则ab+dc<9π10,即a+dbc<9π10,所以A错误,B正确;由ab<π,cd>π10,无法确定a+cbd>11π10还是a+9.选ACD由a1=1,q=2得an=2n1,1an=12n−1,所以数列1an是等比数列且为递减数列,故A正确,B不正确;log2an=n1,数列{log2an}是递增的等差数列,故C10.选ACD因为a1,a4,a6成等比数列,所以a42=a1a6,即(a1+3d)2=a1(a1+5d),解得a1+9d=0,即a10=0,故A正确;S20=20(a1+a20)2=10(2a1+19d)=10(18d+19d)=10d≠0,故B错误;Sn=na1+n(n−1)d2=9nd+n(n−1)d2=d2(n219n),所以当d>0时,由二次函数性质,知n=9或10时,Sn的最小值是S9或S10,当d<0时,由二次函数性质11.选CD因为f(x)=x2lnx,该函数的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=2xlnxx=x(2lnx+1),令f'(x)>0,可得0<x<e−12,令f'(x)<0,可得x>e−12,所以当0<x<e−12时,函数f(x)单调递增,当x>e−12时,函数f(x)单调递减,所以f(x)极大值=fe−12=e1lne−12=12e,故B错误,C正确;当0<x<1时,lnx<0,此时f(x)=x2lnx>0,A错误;由题可知函数f(x)在区间1e,e内单调递减,而12.解析:a1+a4+a7答案:213.解析:由an+1=an2an+1得1an+1=2an+1an=1an+2,则数列1a答案:114.解析:∵f(x)=ln(1+x),∴f'(x)=11+x,∴f(0)=0,f'(0)=1,∴切线方程为y=x,即xy=0.∵1+2xx=1+2xx22=ex2ln1+2x2=e2ln1+2x2x,答案:xy=0e215.解:(1)因为函数f(x)=13x3ax2+10x(x∈R),所以f'(x)=x22ax+10因为a=3,所以f'(x)=x26x+10=(x3)2+1,设P(x0,y0),所以切线斜率k=f'(x0)=x026x0+10=(x03)2所以当x0=3时,切线斜率最小,最小值为1,此时切线过点P(3,12),所以过点P(3,12)的切线方程为y12=x3,即xy+9=0.(2)因为f'(x)=x22ax+10,函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以对任意的x∈(0,+∞),恒有f'(x)=x22ax+10≥0,即a≤x2+102x=因为x2+5x≥10,当且仅当x=10时“=”成立,所以a≤所以a的取值范围为(∞,10].16.解:(1)因为anan+1=4Sn+1,①所以an+1an+2=4Sn+1+1,②②①得,an+1(an+2an)=4an+1,因为an≠0,所以an+2an=4,所以数列{an}的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列,将n=1代入anan+1=4Sn+1,得a1a2=4S1+1,由a1=S1=1,得a2=5,所以b1=a2=5,bn+1bn=a2n+2a2n=4,所以数列{bn}是公差为4,首项为5的等差数列,其通项公式为bn=4n+1.(2)当n为奇数时,an=2n1,当n为偶数时,an=2n+1,所以S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=(1+5+…+37)+(5+9+…+41)=190+230=420.17.解:(1)当a=0时,f(x)=(x1)lnxx2(x>0),f'(x)=lnx+x−1x2x,设g(x)=f'(x),g'(x)=1x+1x22=当x>1时,g'(x)<0,f'(x)在(1,+∞)上单调递减;当0<x<1时,g'(x)>0,f'(x)在(0,1)内单调递增.故f'(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)由f(1)≥0,得a≥1.当a≥1时,f(x)=(x1)